人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：8 3 2　獨(dú)立性檢驗(yàn)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE18.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)變量χ2的意義.2.通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法．導(dǎo)語最新研究發(fā)現(xiàn)，花太多時間玩電腦游戲的兒童，患多動癥的風(fēng)險會加倍．青少年的大腦會很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測的電腦游戲，一旦如此，他們在教室等視覺刺激較少的地方，就很難集中注意力．研究人員對1323名年齡在7歲到10歲的兒童進(jìn)行調(diào)查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們在13個月里玩電腦游戲的習(xí)慣．同時，教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題．統(tǒng)計獲得下列數(shù)據(jù)：注意力不集中注意力集中合計不玩電腦游戲268357625玩電腦游戲489209698合計7575661323從這則新聞中可以得出哪些結(jié)論？有多大把握認(rèn)為你所得出結(jié)論正確？一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解問題1由2×2列聯(lián)表，如何判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)？XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d〖提示〗假設(shè)H0表示{X＝1}和{Y＝1}沒有關(guān)系(通常稱H0為零假設(shè))．問題2假若分類變量X與Y沒有關(guān)聯(lián)，則X＝1與Y＝1、X＝0與Y＝1、X＝0與Y＝0、X＝1與Y＝0有什么關(guān)系？并能得到什么結(jié)論？〖提示〗相互獨(dú)立，eq\f(a,n)－eq\f(a＋b,n)·eq\f(a＋c,n)≈0；eq\f(b,n)－eq\f(a＋b,n)·eq\f(b＋d,n)≈0；eq\f(c,n)－eq\f(c＋d,n)·eq\f(a＋c,n)≈0；eq\f(d,n)－eq\f(c＋d,n)·eq\f(b＋d,n)≈0.問題3用一個什么量來刻畫這種差異呢？〖提示〗為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).知識梳理1．獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.注意點(diǎn)：(1)卡方越小，獨(dú)立性越強(qiáng)，相關(guān)性越弱；卡方越大，獨(dú)立性越弱，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．例1(1)為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績，并制成下面的2×2列聯(lián)表：X成績合計及格不及格很少使用手機(jī)20525經(jīng)常使用手機(jī)101525合計302050參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績無關(guān)”B．依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績無關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有關(guān)”〖答案〗D〖解析〗零假設(shè)為H0：經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績無關(guān)，由題中數(shù)據(jù)可得，χ2＝eq\f(5020×15－5×102,25×25×30×20)＝eq\f(25,3)≈8.333>7.879＝x0.005，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用手機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有關(guān)”．(2)依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”，隨機(jī)變量χ2必須滿足()α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.大于10.828 B．大于3.841C．小于6.635 D．大于2.706〖答案〗B〖解析〗查表可知犯錯誤的概率不超過0.05時對應(yīng)的χ2為3.841，所以確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”時，隨機(jī)變量χ2需大于3.841.反思感悟根據(jù)所給的觀測值，與所給的臨界值表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練1(1)為了判定兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)法算的χ2為5.003，又已知P(χ2≥3.841)＝0.05，P(χ2≥6.635)＝0.01，則下列說法正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”B．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系”C．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”D．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系”〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?.841<χ2＝5.003<6.635＝x0.01，又P(χ2≥3.841)＝0.05，所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”．(2)有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的四個命題，其中不正確的是()A．兩個變量的2×2列聯(lián)表中，對角線上數(shù)據(jù)的乘積之差的絕對值越大，說明兩個變量有關(guān)系成立的可能性就越大B．對分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2來說，χ2越小，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大C．由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知：在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)，我們說某人禿頂，那么他有95%的可能患有心臟病D．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，是指在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)〖答案〗C〖解析〗對于A，兩個變量的2×2列聯(lián)表中，對角線上數(shù)據(jù)的乘積之差的絕對值越大，說明兩個變量有關(guān)系成立的可能性就越大，所以A正確；對于B，對分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2來說，χ2越小，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大，所以B正確；對于C，由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知：在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)，不是說某人禿頂，那么他有95%的可能患有心臟病，所以C錯誤；對于D，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，是指在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，所以D正確．二、有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”例2甲、乙兩機(jī)床加工同一種零件，抽檢得到它們加工后的零件尺寸x(單位：cm)及個數(shù)y，如下表：零件尺寸x1.011.021.031.041.05零件個數(shù)y甲37893乙7444a由表中數(shù)據(jù)得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸為1.03±0.01cm.完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析加工零件的質(zhì)量與甲、乙是否有關(guān)．機(jī)床加工零件的質(zhì)量合計合格零件數(shù)不合格零件數(shù)甲乙合計解eq\x\to(x)＝1.03，eq\x\to(y)＝eq\f(a＋49,5)，由eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x，知eq\f(a＋49,5)＝－91＋100×1.03，所以a＝11.由于合格零件尺寸為1.03±0.01cm，故甲、乙加工的合格與不合格零件的數(shù)據(jù)表為機(jī)床加工零件的質(zhì)量合計合格零件數(shù)不合格零件數(shù)甲24630乙121830合計362460零假設(shè)為H0：加工零件的質(zhì)量與甲、乙無關(guān)．則χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10>6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立．即認(rèn)為加工零件的質(zhì)量與甲、乙有關(guān)．反思感悟用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗(yàn)”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，試根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡體育還是文娛與性別是否有關(guān)系．性別喜歡合計體育文娛男生212344女生62935合計275279解零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系．∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(79×21×29－23×62,44×35×27×52)≈8.106>7.879＝x0.005.根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)．三、有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”例3某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．解(1)2×2列聯(lián)表如表所示：教師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650(2)零假設(shè)為H0：對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)．由公式得χ2＝eq\f(50×10×6－24×102,34×16×20×30)≈4.963<6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)．反思感悟運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法(1)列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)公式計算χ2.(2)比較χ2與xα的大小作出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3學(xué)校舉行運(yùn)動會，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運(yùn)動，其余人不喜愛運(yùn)動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：運(yùn)動的喜好合計喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動男1016女614合計30(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與喜愛運(yùn)動有關(guān)？解(1)喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動合計男10616女6814合計161430(2)零假設(shè)為H0：喜愛運(yùn)動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可得χ2＝eq\f(30×10×8－6×62,10＋66＋810＋66＋8)≈1.1575，因?yàn)?.1575<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為性別與喜愛運(yùn)動無關(guān)．1．知識清單：(1)2×2列聯(lián)表．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)、χ2公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：對獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解，導(dǎo)致不會用χ2分析問題．1．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如表．非一線一線合計愿生452065不愿生132235合計5842100由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2＝eq\f(100×45×22－20×132,65×35×58×42)≈9.616.參照下表：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828下列結(jié)論正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”C．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”D．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”〖答案〗C〖解析〗因?yàn)棣?≈9.616>6.635＝x0.01，所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”，故選C.2．對兩個分類變量A，B的下列說法中正確的個數(shù)為()①A與B無關(guān)，即A與B互不影響；②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)．A．0B．1C．2D．3〖答案〗B〖解析〗①正確，A與B無關(guān)即A與B相互獨(dú)立；②不正確，χ2的值的大小只是用來檢驗(yàn)A與B是否相互獨(dú)立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.3．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀及格合計甲班113445乙班83745合計197190則χ2約為()A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004〖答案〗A〖解析〗根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝eq