人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：7 3 2　離散型隨機變量的方差

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.3.2離散型隨機變量的方差課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.通過研究離散型隨機變量的方差，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主梳理1.離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(D（X）)為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).2.幾個常見的結(jié)論(1)D(aX＋b)＝a2D(X).(2)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p).1.方差也可以用公式D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)pi－(E(X))2計算(可由D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi展開得到).2.當(dāng)a，b均為常數(shù)時，隨機變量η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ).自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定.(×)〖提示〗隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定.(2)若a是常數(shù)，則D(a)＝0.(√)(3)離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度.(√)(4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，在實際問題中應(yīng)用更廣泛.(√)2.若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p＝0.5,則E(X)和D(X)分別為()A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.75〖答案〗A〖解析〗E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.3.設(shè)隨機變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為()A.2 B.3C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.4.隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)X的方差為______.〖答案〗eq\f(35,12)〖解析〗拋擲一枚骰子所得點數(shù)X的分布列為X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×eq\f(1,6)＝eq\f(21,6)＝eq\f(7,2).所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)＋\f(9,4)＋\f(1,4)＋\f(1,4)＋\f(9,4)＋\f(25,4)))×eq\f(1,6)＝eq\f(35,12).題型一求離散型隨機變量的方差角度1用定義求離散型隨機變量的方差〖例1〗設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(X)等于()A.eq\f(29,12) B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144) D.eq\f(17,12)〖答案〗C〖解析〗由題意知，E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).角度2求兩點分布的方差〖例2〗若某運動員投籃命中率p＝0.8，則該運動員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為__________.〖答案〗0.16〖解析〗依題意知：X服從兩點分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.思維升華求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是兩點分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解.(3)未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況.〖訓(xùn)練1〗袋中有大小相同的四個球，編號分別為1，2，3，4，每次從袋中任取一個球，記下其編號.若所取球的編號為偶數(shù)，則把該球編號改為3后放回袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號為奇數(shù)，則停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到球的編號為偶數(shù)，記第二次和第一次取球的編號之和為X，求X的分布列和方差.解(1)記A＝“第二次取球后才停止取球”.易知第一次取到偶數(shù)球的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，第二次取球時袋中有三個奇數(shù)，所以第二次取到奇數(shù)球的概率為eq\f(3,4)，而這兩次取球相互獨立，所以P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).(2)若第一次取到編號為2的球，則第二次取球時袋中有編號為1，3，3，4的四個球；若第一次取到編號為4的球，則第二次取球時袋中有編號為1，2，3，3的四個球.所以X的可能取值為3，5，6，7，所以P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝7)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,4)＝eq\f(1,4)，所以X的分布列為X3567Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)均值E(X)＝3×eq\f(1,8)＋5×eq\f(3,8)＋6×eq\f(1,4)＋7×eq\f(1,4)＝eq\f(11,2)，方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).題型二方差的性質(zhì)的應(yīng)用〖例3〗已知離散型隨機變量X的分布列為：X01xPeq\f(1,2)eq\f(1,3)p若E(X)＝eq\f(2,3).(1)求D(X)的值；(2)若Y＝3X－2，求eq\r(D（Y）)的值.解由分布列的性質(zhì)，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋p＝1，解得p＝eq\f(1,6).∵E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)x＝eq\f(2,3)，∴x＝2.(1)D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(15,27)＝eq\f(5,9).(2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴eq\r(D（Y）)＝eq\r(5).思維升華求隨機變量Y＝aX＋b方差的方法求隨機變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.〖訓(xùn)練2〗設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)若Y＝2X＋2，則D(Y)等于()A.－eq\f(1,3) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,9) D.eq\f(20,9)〖答案〗D〖解析〗由題意知，E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×eq\f(5,9)＝eq\f(20,9).題型三均值與方差的綜合應(yīng)用〖例4〗有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下：XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好).解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)，故兩種材料的抗拉強度的平均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性好.思維升華(1)均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)模€需比較它們的取值的離散程度，即通過比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛?(2)離散型隨機變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時也應(yīng)注意合理選擇公式，簡化問題的解答過程.〖訓(xùn)練3〗袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號.(1)求X的方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)