人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 3 2　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主梳理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))增減性與最大值增減性：當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增大而增大；由對稱性可知，當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增大而減小.最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)與相等，且同時取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和①Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1，即在(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和對二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的三點(diǎn)說明(1)對稱性：源于組合數(shù)的性質(zhì)“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”，基礎(chǔ)是Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)＝1，然后從兩端向中間靠攏，便有Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(n－2,n)，….(2)最大值：①當(dāng)n是偶數(shù)時，(a＋b)n的展開式共n＋1項(xiàng)，n＋1是奇數(shù)，這時展開式的形式是中間一項(xiàng)是第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)是，它是所有二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值；②當(dāng)n是奇數(shù)時，(a＋b)n的展開式共有n＋1項(xiàng)，n＋1是偶數(shù)，這時展開式的形式是中間兩項(xiàng)是第eq\f(n＋1,2)，eq\f(n＋3,2)項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)是，，這兩個系數(shù)相等，并且是所有二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，源于(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn中，令a＝1，b＝1，即得到Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng)).(×)〖提示〗二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))，但是項(xiàng)的系數(shù)的最大值與項(xiàng)其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān).(2)二項(xiàng)展開式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.(×)〖提示〗在二項(xiàng)式(a＋b)n中只有當(dāng)a，b的系數(shù)相同時，展開式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和才等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.(3)二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的.(×)〖提示〗二項(xiàng)式系數(shù)是隨n的增加先增后減的，二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)和a，b的系數(shù)有關(guān).(4)(3x＋2)5的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為25＝32.(√)2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開式中第8項(xiàng)是常數(shù)，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A.第8項(xiàng) B.第9項(xiàng)C.第8項(xiàng)和第9項(xiàng) D.第11項(xiàng)和第12項(xiàng)〖答案〗D〖解析〗二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))eq\s\up12(n－k)·(x－1)k＝Ceq\o\al(k,n)·xeq\f(1,2)n－eq\f(3,2)k，令k＝7，則eq\f(1,2)n－eq\f(21,2)＝0，解得n＝21，通項(xiàng)可化簡為Ceq\o\al(k,21)·xeq\f(21－3k,2).由于n＝21，故展開式中一共有22項(xiàng)，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)相同，故系數(shù)最大的項(xiàng)為k＝10，11兩項(xiàng)，即展開式的第11項(xiàng)和第12項(xiàng).3.在(x＋y)n的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A.第6項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第5，6項(xiàng) D.第6，7項(xiàng)〖答案〗A〖解析〗由題意，得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質(zhì)，得n＝10.∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，它也是系數(shù)最大的項(xiàng).4.若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8＝________.〖答案〗180〖解析〗由題意可知a8是x8的系數(shù)，所以a8＝Ceq\o\al(8,10)·22＝180.題型一二項(xiàng)展開式的系數(shù)的和問題〖例1〗已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.〖遷移1〗(變換所求)例1條件不變，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解∵(2x－1)5的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：〖2×(－1)－1〗5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.〖遷移2〗(變換所求)例1條件不變，求a1＋a3＋a5的值.解由上題得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，))兩式相減得a1＋a3＋a5＝eq\f(1,2)×(1－243)＝－121.思維升華(1)賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)和及有關(guān)問題的常用方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項(xiàng).(2)一般地，對于多項(xiàng)式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)，奇次項(xiàng)系數(shù)和為eq\f(1,2)〖f(1)－f(－1)〗，偶次項(xiàng)系數(shù)和為eq\f(1,2)〖f(1)＋f(－1)〗，a0＝f(0).〖訓(xùn)練1〗已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：(1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(1,2)×(28＋48)＝32896.(3)由于(1－3x)8＝Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(1,8)×(－3x)＋Ceq\o\al(2,8)×(－3x)2＋…＋Ceq\o\al(8,8)×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.題型二二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用〖例2〗已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解令x＝1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分別為T3＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))3·(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))2·(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·3k·xeq\f(2,3)(5＋2k)，假設(shè)Tk＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k－1,5)3k－1，,Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k＋1,5)3k＋1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5！,（5－k）！k！)×3≥\f(5！,（6－k）?。╧－1）！)，,\f(5！,（5－k）！k！)≥\f(5！,（4－k）！（k＋1）！)×3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)≥\f(1,6－k)，,\f(1,5－k)≥\f(3,k＋1)，))∴eq\f(7,2)≤k≤eq\f(9,2).∵k∈N，∴k＝4，∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝Ceq\o\al(4,5)xeq\f(2,3)(3x2)4＝405xeq\f(26,3).思維升華(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進(jìn)行討論.①當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.②當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項(xiàng)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))解出k，即得出系數(shù)的最大項(xiàng).〖訓(xùn)練2〗求(x－y)11的展開式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(5)各項(xiàng)系數(shù)的和.解(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)：T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(2)(x－y)11的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,11)x11－k(－y)k＝Ceq\o\al(k,11)(－1)kx11－kyk，∴項(xiàng)的系數(shù)的絕對值為|Ceq\o\al(k,11)·(－1)k|＝Ceq\o\al(k,11)，∴項(xiàng)的系數(shù)的絕對值等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，其最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng)，T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對值相等，又∵第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5.(4)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,11)＋Ceq\o\al(1,11)＋Ceq\o\al(2,11)＋…＋Ceq\o\al(11,11)＝211.(5)令x＝