2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.2事件的相互獨立性同步練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價四十二事務的相互獨立性(15分鐘30分)1.若P(AB)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE,P(B)=QUOTE,則事務A與B的關系是 ()A.事務A與B互斥B.事務A與B對立C.事務A與B相互獨立D.事務A與B既互斥又獨立【解析】選C.因為P(QUOTE)=QUOTE,所以P(A)=QUOTE,又P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事務A與B相互獨立但不肯定互斥.2.如圖,在兩個圓盤中,指針落在圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等,那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.題圖中左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為QUOTE=QUOTE,題圖中右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率也為QUOTE,所以兩個指針同時落在奇數(shù)區(qū)域的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE.【補償訓練】甲、乙兩班各有36名同學,甲班有9名三好學生,乙班有6名三好學生,兩班各派1名同學參與演講活動,派出的恰好都是三好學生的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.兩班各自派出代表是相互獨立事務,設事務A,B分別為甲班、乙班派出的是三好學生,則事務AB為兩班派出的都是三好學生,則P(AB)=P(A)P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知A,B是相互獨立事務,若P(A)=0.2,P(AB+QUOTEB+AQUOTE)=0.44,則P(B)等于 ()A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【解析】選A.因為A,B是相互獨立事務,所以QUOTE,B和A,QUOTE均相互獨立.因為P(A)=0.2,P(AB+QUOTEB+AQUOTE)=0.44,所以P(A)P(B)+P(QUOTE)P(B)+P(A)P(QUOTE)=0.44,所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,解得P(B)=0.3.【補償訓練】已知A,B是兩個相互獨立事務,P(A),P(B)分別表示它們發(fā)生的概率,則1-P(A)P(B)是下列哪個事務的概率 ()A.事務A,B同時發(fā)生B.事務A,B至少有一個發(fā)生C.事務A,B至多有一個發(fā)生D.事務A,B都不發(fā)生【解析】選C.P(A)P(B)是指A,B同時發(fā)生的概率,1-P(A)P(B)是A,B不同時發(fā)生的概率,即至多有一個發(fā)生的概率.4.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,當事務A,B相互獨立時,P(A∪B)=.

【解析】因為A,B相互獨立,所以P(AB)=P(A)·P(B),所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65.答案:0.655.甲袋中有8個白球、4個紅球,乙袋中有6個白球、6個紅球,從每袋中任取一球,則取到相同顏色的球的概率是.

【解析】由題意知P=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】荷花池中,有只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時,均從一葉跳到另一葉),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設現(xiàn)在青蛙在A葉上,則跳三次之后停在A葉上的概率是.

【解析】青蛙跳三次要回到A葉只有兩條途徑.第一條:按A→B→C→A,P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;其次條:按A→C→B→A,P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以跳三次之后停在A葉上的概率為P=P1+P2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.一個家庭中有若干個小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一個家庭中既有男孩又有女孩},B={一個家庭中最多有一個女孩}.對下述兩種情形,探討A與B的獨立性:(1)家庭中有兩個小孩.(2)家庭中有三個小孩.【解析】(1)有兩個小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形為Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4個基本領件,由等可能性知概率都為QUOTE.這時A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},于是P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE.由此可知,P(AB)≠P(A)P(B),所以事務A,B不相互獨立.(2)有三個小孩的家庭,小孩為男孩、女孩的全部可能情形為Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.由等可能性知這8個基本領件的概率均為QUOTE,這時A中含有6個基本領件,B中含有4個基本領件,AB中含有3個基本領件.于是P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE=QUOTE,P(AB)=QUOTE,明顯有P(AB)=QUOTE=P(A)P(B)成立.從而事務A與B是相互獨立的.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設兩個獨立事務A和B都不發(fā)生的概率為QUOTE,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事務A發(fā)生的概率P(A)是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由P(AQUOTE)=P(BQUOTE),得P(A)P(QUOTE)=P(B)P(QUOTE),即P(A)=P(B),又P(QUOTE)=QUOTE,則P(QUOTE)=P(QUOTE)=QUOTE.所以P(A)=QUOTE.2.從甲袋中摸出一個紅球的概率是QUOTE,從乙袋中摸出一個紅球的概率是QUOTE,從兩袋各摸出一個球,則QUOTE等于()A.2個球不都是紅球的概率B.2個球都是紅球的概率C.至少有1個紅球的概率D.2個球中恰有1個紅球的概率【解析】選C.分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事務A,B,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,由于A,B相互獨立,所以1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.依據(jù)互斥事務可知C正確.3.甲、乙兩隊進行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲得冠軍,乙隊須要再贏兩局才能得到冠軍,若兩隊勝每局的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設Ai(i=1,2)表示接著競賽時,甲在第i局獲勝,B事務表示甲隊獲得冠軍.方法一:B=A1+QUOTEA2,故P(B)=P(A1)+P(QUOTE)P(A2)=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.方法二:P(B)=1-P(QUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.一個電路如圖所示,A,B,C,D,E,F為6個開關,其閉合的概率都是QUOTE,且是相互獨立的,則燈亮的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設A與B中至少有一個不閉合的事務為T,E與F中至少有一個不閉合的事務為R,則P(T)=P(R)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以燈亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=QUOTE.【補償訓練】某種開關在電路中閉合的概率為p,現(xiàn)將4只這種開關并聯(lián)在某電路中(如圖所示),若該電路為通路的概率為QUOTE,則p= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為該電路為通路的概率為QUOTE,所以該電路為不通路的概率為1-QUOTE,只有當并聯(lián)的4只開關同時不閉合時該電路不通路,所以1-QUOTE=(1-p)4,解得p=QUOTE或p=QUOTE(舍去).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.分別拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣,設事務A是“第一枚為正面”,事務B是“其次枚為正面”,事務C是“兩枚結果相同”,則下列事務具有相互獨立性的是 ()A.A與B B.A與CC.B與C D.都不具有獨立性【解題指南】依據(jù)事務相互獨立的定義推斷,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成馬上可.【解析】選ABC.易知P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以驗證P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以依據(jù)事務相互獨立的定義,事務A與B相互獨立,事務B與C相互獨立,事務A與C相互獨立.6.某商場推出二次開獎活動,凡購買肯定價值的商品可以獲得一張獎券.獎券上有一個兌獎號碼,可以分別參與兩次抽獎方式相同的兌獎活動.假如兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05,則兩次抽獎中 ()A.都抽到某一指定號碼的概率為0.05B.都沒有抽到某一指定號碼的概率為0.95C.恰有一次抽到某一指定號碼的概率為0.095D.至少有一次抽到某一指定號碼的概率為0.0975【解析】選CD.記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事務A,“其次次抽獎抽到某一指定號碼”為事務B,則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事務AB.由于兩次抽獎結果互不影響,因此A與B相互獨立.于是由獨立性可得,兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025.同理“兩次抽獎都沒有抽到某一指定號碼”的概率P(QUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=0.95×0.95=0.9025;“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(AQUOTE)∪(QUOTEB)表示.由于事務AQUOTE與QUOTEB互斥,依據(jù)概率加法公式和相互獨立事務的定義,所求的概率為P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095;“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可用(AB)∪(AQUOTE)∪(QUOTEB)表示.由于事務AB,AQUOTE和QUOTEB兩兩互斥,據(jù)概率加法公式和相互獨立事務的定義,所求的概率為P(AB)+P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=0.0025+0.095=0.0975.三、填空題(每小題5分,共10分)7.事務A,B,C相互獨立,假如P(AB)=QUOTE,P(QUOTEC)=QUOTE,P(ABQUOTE)=QUOTE,則P(B)=,P(QUOTEB)=.

【解析】由題意可得QUOTE解得P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(QUOTEB)=P(QUOTE)P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.水平相當?shù)乃娜舜蚵閷?彼此之間互不影響,也不受上局勝敗的影響,甲連和4局的概率為,乙4局均不和的概率為.

【解析】由題意,每局每人和牌的概率為QUOTE,且相互獨立,故甲連和4局的概率為QUOTE=QUOTE;每局每人不和牌的概率都是QUOTE,且相互獨立,故乙4局均不和的概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.據(jù)大地保險公司統(tǒng)計,某地車主購買車損險的概率為0.5,購買第三者人身平安險的概率為0.6,購買兩種保險相互獨立,各車主間相互獨立.(1)求一位車主同時購買車損險與第三者人身平安險保險的概率.(2)求一位車主購買第三者人身平安險但不購買車損險的概率.【解析】記A表示事務“購買車損險”,B表示事務“購買第三者人身平安險”,則由題意,得A與B,A與QUOTE,QUOTE與B,QUOTE與QUOTE都是相互獨立事務,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)記C表示事務“同時購買兩種保險”,則C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)記D表示事務“購買第三者人身平安險但不購買車損險”,則D=QUOTEB,所以P(D)=P(QUOTEB)=P(QUOTE)P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.10.A,B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗組進行對比試驗,每個試驗組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后視察療效,若在一個試驗組中,服用A有效的白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗組為甲類組.設每只小白鼠服用A有效的概率為QUOTE,服用B有效的概率為QUOTE.(1)求一個試驗組為甲類組的概率.(2)視察3個試驗組,求這3個試驗組中至少有一個甲類組的概率.【解析】(1)設Ai表示事務“一個試驗組中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事務“一個試驗組中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.據(jù)題意有:P(A0)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(A1)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(A2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B0)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B1)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所求概率為P=P(B0A1)+P(B0AP(B1A2)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)所求概率P′=1-QUOTE=QUOTE.1.同學甲參與某科普學問競賽,需回答三個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響,