2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明2.2.2反證法學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE2.2.2反證法內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法；2.理解反證法的思索過程，會用反證法證明數(shù)學問題.加強數(shù)學運算嚴格邏輯推理提高直觀想象授課提示：對應學生用書第41頁[基礎相識]學問點反證法eq\a\vs4\al(預習教材P89－91，思索并完成以下問題)王戎小時候，愛和小摯友在路上玩耍．一天，他們發(fā)覺路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小摯友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，等到小摯友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子確定是苦的．”本故事中王戎運用了什么論證思想？提示：運用了反證法思想．學問梳理(1)定義：假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最終得出沖突，因此說明假設錯誤，從而證明白原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．(2)反證法常見的沖突類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突．這個沖突可以是與已知條件沖突，或與假設沖突，或與定義、公理、定理、事實沖突等．思索：1.反證法的思維過程是怎樣的？提示：否定結(jié)論?推演過程中引出沖突?否定假設確定結(jié)論，即否定——推理——否定(經(jīng)過正確的推理導致邏輯沖突，從而達到新的否定，即確定原命題)．反證法的證明過程可以用以下框圖表示：eq\x(\a\al(確定條件p，,否定結(jié)論q))→eq\x(\a\al(導致邏,輯沖突))→eq\x(原命題成立)2．反證法的證明步驟是怎樣的？提示：用反證法證明命題時，要從否定結(jié)論起先，經(jīng)過正確的推理導致邏輯沖突，從而達到新的否定(即確定原命題)．這個過程包括下面三個步驟：(1)反設——假設命題的結(jié)論不成立，即假設原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬——由“反設”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出沖突；(3)存真——由沖突結(jié)堅決定反設錯誤，從而確定原結(jié)論成立．即反證法的證明過程可以概括為：反設——歸謬——存真．[自我檢測]1．證明“在△ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應假設()A．三角形中至少有一個直角或鈍角B．三角形中至少有兩個直角或鈍角C．三角形中沒有直角或鈍角D．三角形中三個角都是直角或鈍角解析：“至多有一個”的否定是“至少有兩個”．答案：B2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為()A．確定是異面直線 B．確定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線解析：假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b是異面直線沖突，故c與b不行能是平行直線．答案：C3．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一個三角形中不能有兩個直角．③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.正確依次的排列為________．解析：反證法的步驟是：先假設命題不成立，然后通過推理得出沖突，最終否定假設，得到命題是正確的．答案：③①②授課提示：對應學生用書第42頁探究一用反證法證明否定性命題[例1]已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.[證明]假設a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因為ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，則a＝b＝c＝d＝0，這與已知條件ad－bc＝1沖突．故假設不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.方法技巧(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較詳細，適合運用反證法．(2)用反證法證明數(shù)學命題的步驟跟蹤探究1.已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明：假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則2eq\r(b)＝eq\r(a)＋eq\r(c)，∴4b＝a＋c＋2eq\r(ac).①∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，②由②得b＝eq\r(ac)，代入①式，得a＋c－2eq\r(ac)＝(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，∴a＝c，從而a＝b＝c，這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相沖突，∴假設不成立．故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．探究二用反證法證明“至多、至少”問題[例2]已知a，b，c∈(0,2)，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.[證明]假設(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因為a，b，c∈(0,2)，所以2－a＞0,2－b＞0,2－c＞0.所以eq\f(2－a＋b,2)≥eq\r(2－ab)＞1.同理eq\f(2－b＋c,2)≥eq\r(2－bc)＞1，eq\f(2－c＋a,2)≥eq\r(2－ca)＞1.三式相加，得eq\f(2－a＋b,2)＋eq\f(2－b＋c,2)＋eq\f(2－c＋a,2)＞3，即3＞3，沖突．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.延長探究已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證明：假設(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a，b，c都是小于1的正數(shù)，∴1－a,1－b,1－c都是正數(shù)．∴eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).同理，eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，明顯不成立．∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).方法技巧應用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設詞”當命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時，干脆證明不易入手且探討較困難．這時，可用反證法證明，證明時常見的“結(jié)論詞”與“反設詞”如：結(jié)論詞反設詞結(jié)論詞反設詞至少有一個一個也沒有對全部x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對隨意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n－1個p或q綈p且綈q至多有n個至少有n＋1個p且q綈p或綈q跟蹤探究2.用反證法證明：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實數(shù)根．(不考慮重根)證明：假設方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實數(shù)根，設α，β為它的兩個實數(shù)根，則f(α)＝f(β)＝0.因為α≠β，不妨設α＜β，又函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)＜f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0沖突，所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實數(shù)根．探究三用反證法證明唯一性命題[例3]用反證法證明：過已知直線a外一點A有且只有一條直線b與已知直線a平行．[證明]由兩條直線平行的定義可知，過點A至少有一條直線與直線a平行．假設過點A還有一條直線b′與已知直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，由平行公理知b′∥b.這與假設b∩b′＝A沖突，所以假設錯誤，原命題成立．方法技巧“唯一性”問題是數(shù)學中的常見問題，常見的詞語有“唯一”“有且只有一個”“僅有一個”等．這類問題通常既要證明“存在性”，又要證明“唯一性”．證明“存在性”一般比較簡潔，多數(shù)采納干脆證明的方法，但“唯一性”的證明須要用反證法，通常可假設“存在兩個……”或“至少有兩個”等，再經(jīng)過推理論證，得出沖突.授課提示：對應學生用書第43頁[課后小結(jié)]用反證法證題要把握三點(1)必需先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的；(2)反證法必需從否定結(jié)論進行推理，且必需依據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面動身進行論證，就不是反證法；(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突，這個沖突可以與已知沖突，或與假設沖突，或與定義、公理、定理、事實沖突，但推導出的沖突必需是明顯的．[素養(yǎng)培優(yōu)]反設錯誤或不全面致誤易錯案例：已知x，y∈R，且x2＋y2＝0.求證：x，y全為零．易錯分析：在利用反證法證明時，關(guān)鍵是嫻熟駕馭常用詞語的否定，如“全是”的否定是“不