函數(shù)的性質(zhì)之單調(diào)性(精講)

[函數(shù)的性質(zhì)之單調(diào)性(精講)

考點(diǎn)1.區(qū)間與無(wú)窮的概念

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

設(shè)?！础?，①開區(qū)間：{^a<x<b]=(a,b)

②閉區(qū)間：{x\a^x^b}=[a9h]

③半開半閉區(qū)間:{x|qVxWb}=(〃，b]{x|a^x<Z>}=[a,b)

正無(wú)窮：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，表示某一大于零的有理數(shù)或無(wú)理數(shù)數(shù)值無(wú)限大的一種方式，沒有具體數(shù)

字，但是正無(wú)窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都大的數(shù)值.符號(hào)為+8.數(shù)軸上可表示為向右箭頭無(wú)限遠(yuǎn)的

點(diǎn).

負(fù)無(wú)窮：某一負(fù)數(shù)值表示無(wú)限小的一種方式，沒有具體數(shù)字，但是負(fù)無(wú)窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都

小的數(shù)值.符號(hào)為-8.

{x|Wx}=[a,+°°)

(x\a<x}—(a,+0°)

{小■}=(-8,0

{小<〃}=(-8,〃)

{x|xGR}=(-°O,+8)

【例題1】(2018秋?尋甸縣校級(jí)期中)區(qū)間(0,1)等于()

A.{0,1}B.{(0,1)}C.{x|0<x<l}D.[x\(^ic1)

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，即可得出區(qū)間(0,1)表示的集合是什么.

【解答】解：根據(jù)區(qū)間的定義知，區(qū)間(0,1)等于集合“I0VXV1}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了區(qū)間的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

【例題2】(2018秋?潮安區(qū)校級(jí)月考)下列集合不能用區(qū)間形式表示的是()

?A=｛1,2,3,4)

②｛x|x是三角形｝

③｛x|x>l,且xeQ｝

④0

⑤｛x|%,0,或x..3｝

⑥*|2<%，5,xwN｝

A.①②③B.③④⑤C.⑤⑥D(zhuǎn).①②③④⑥

【分析】由區(qū)間可以表示一個(gè)或多個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)集合逐一核對(duì)六個(gè)集合得答案.

【解答】解：對(duì)于①，集合A中的元素是不連續(xù)的四個(gè)實(shí)數(shù)，故不能用區(qū)間表示；

對(duì)于②，所有三角形構(gòu)成的集合只能用描述法表示，不能用區(qū)間表示；

對(duì)于③，集合｛x|x>l,且xeQ｝中的元素不連續(xù)，不能用區(qū)間表示；

對(duì)于④，空集中不含任何元素，不能用區(qū)間表示；

對(duì)于⑤，集合或x..3｝可以區(qū)間表示為(-8,01IJ13,+<?)；

對(duì)于⑥，集合｛x|2<%,5,xeN｝中的元素不連續(xù)，不能用區(qū)間表示.

不能用區(qū)間表示的有①②③④⑥.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查區(qū)間與無(wú)窮的概念，考查集合的表示方法，是基礎(chǔ)題.

【例題3】(2020秋?路北區(qū)校級(jí)期中)集合A=｛x|%,5且衣1｝用區(qū)間表示—(ro—DUQ—SL

【分析】由題意利用集合表示法，區(qū)間的定義，得出結(jié)論.

【解答】解：集合A=｛x|%,5且XH1｝用區(qū)間表示為(YO,1)U(1,5J,

故答案為：(-00,1)U(1,5].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合表示法，區(qū)間的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【例題4】(2018秋?峨山縣校級(jí)期中)集合｛x|-2,x<l或*>1｝用區(qū)間表示為_[-2rl)U(lr+oo)

【分析】由題意利用區(qū)間的定義和表示法，得出結(jié)論.

【解答】解：集合｛x|-2,x<l或x>l｝用區(qū)間表示為[-2,1)D(1,-HO),

故答案為：[-2,1)0(1,+00).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查區(qū)間的定義和表示法，屬于基礎(chǔ)題.

【例題5】（2017秋?滄縣校級(jí)期中）用區(qū)間表示數(shù)集｛x|2<%,4｝=_（2-4]

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，可得答案.

【解答】解：數(shù)集｛x|2,4｝=（2,4],

故答案為：（2,4]

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是區(qū)間的概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

舉「反三

【變式1】（2015秋?無(wú)為縣校級(jí)期中）集合｛打工.2｝表示成區(qū)間是（）

A.（2,+oo）B.[2,+00）C.（-oo,2）D.（―oo,2]

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，可得答案.

【解答]解:集合｛x|x..2｝表示成區(qū)間是衣,+oo）,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是區(qū)間與無(wú)窮的概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

【變式2](2014秋?縉云縣校級(jí)月考)不等式-&,x<15寫出區(qū)間形式是()

A.(15,-8)B.(-8,15]C.[-8,15)D.[-8,15]

【分析】寫成區(qū)間形式時(shí)，包含端點(diǎn)時(shí)用中括號(hào)，不包含用小括號(hào).

【解答】解：不等式-的區(qū)間形式是[-8,15).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了區(qū)間的概念，屬于基礎(chǔ)題.

【變式3](2014秋?清流縣校級(jí)月考)下列四個(gè)區(qū)間能表示數(shù)集A={x|0,,x<5或x>10}的是()

A.(0,5)U(10.+oo)B.[0,5)U(10,-H?)

C.(5,0||Jll0,+oo)D.[0,5]|J(10,+oo)

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義將集合表示為區(qū)間即可.

【解答】解：根據(jù)區(qū)間的定義可知數(shù)集4={》|0,,%<5或x>10}可以用區(qū)間[0,5)D(10,+oo)表示.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查區(qū)間的定義，比較基礎(chǔ).

【變式4】(2017秋?伊寧市校級(jí)月考)集合A={x|x..O且XH1}用區(qū)間表示—[0--+8)_.

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，結(jié)合已知中集合4={》|"0且XW1},可得答案.

【解答】解：集合A={x|x..O且xwl}用區(qū)間表示為：[0,1)D(1,+oo),

故答案為：[0,1)51，+℃).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是區(qū)間法表示集合，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

【變式5](2015秋?承德校級(jí)月考)用區(qū)間表示{x|x<0或x..l}=_(-8,0)|J[l

【分析】直接把集合寫成區(qū)間的形式，注意含有等于號(hào)的用閉區(qū)間，不含等于號(hào)的用開區(qū)間.

【解答】解：{x|x<0或x..l}=(-co,0)UU，+oo)>

故答案為：(-<?,O)|J[1,+00)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了區(qū)間與無(wú)窮的概念，是基礎(chǔ)的概念題，關(guān)鍵是注意無(wú)窮處應(yīng)是開區(qū)間.

【變式6](2015秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考)將下列集合用區(qū)間表示出來(lái).

(1){x|x..1}=_[1,+00)_.

(2){x|2^ijc8)=.

⑶{yly=-}=-

X

【分析】直接把集合寫成區(qū)間的形式，注意含有等于號(hào)的用閉區(qū)間，不含等于號(hào)的用開區(qū)間.

【解答】解：(1){X|X..1}=[1,+00).

(2){x|2麴Jr8}=[2,8].

(3){y|y=i)=(-oo,0)D(0,+oo).

x

故答案為：(1)：[1,+oo),(2)：[2,8],(3)：(-00,0)50,+oo).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了區(qū)間與無(wú)窮的概念，是基礎(chǔ)的概念題，關(guān)鍵是注意無(wú)窮處應(yīng)是開區(qū)間.

知識(shí)點(diǎn)精析

考點(diǎn)2.函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，設(shè)函數(shù)f（X）的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量XI,

X2,

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有了（XI）</（%2）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間O上是增函數(shù)；當(dāng)X1<T2時(shí)，都有

/（XI）>/（★）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/（X）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性,

【例題1】（2021?河北區(qū)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f（x）=x2-丘-8在區(qū)間[5,20]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)左

的取值范圍是（）

A.（-oo,10]|Jl40,+oo）B.（-00,-40j|jL-10,+8）

C.[10,+oo）D.[40,+00）

【分析】根據(jù)題意，求出二次函數(shù)〃x）=x2-質(zhì)-8的對(duì)稱軸，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得2,5或￡.20,

22

再求出人的取值范圍即可.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=f-履-8為二次函數(shù)，其開口向上，對(duì)稱軸為x=t，

若函數(shù)=/-履-8在區(qū)間［5,20］上具有單調(diào)性，

則2,5或￡.20,解得幺,10或k.40,

22

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是（-8,10］U（40,+00）;

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【例題2】（2021秋?懷仁市校級(jí)月考）若函數(shù)y=x2+2,nr+l在［2,+oo）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值

范圍是（）

A.［-2,+oo）B.［2,+00）C.（-oo,2）D.（-oo,2］

【分析】根據(jù)題意，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得-科,2,解可得機(jī)的取值范圍，即

可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)丫=/+2如+1為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為*=-,“，

函數(shù)y=x2+2〃a+1在［2,+oo）上單調(diào)遞增，

則—，”,2,解得加..—2,即川的取值范圍為［-2,-KO）；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【例題3】（多選）如圖是函數(shù)）=/⑴的圖象，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與圖象的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：函數(shù)單調(diào)遞增，則對(duì)應(yīng)圖象上升，

則f（x）的遞增區(qū)間為［-2,-1）,［0,1）,

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用是單調(diào)性與圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

【例題4】（2021春?涼州區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)/（x）=x3-3x+l的單調(diào)減區(qū)間為

【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于零，解此不等式即可求得函數(shù)y=f-3x+l的單調(diào)遞減區(qū)間.

【解答】解：令r（x）=3f-3<0

解得一1cx<1,

二.函數(shù)y=Y一3x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1,1）.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，一般步驟是先求定義域，然后令/'（x）>0求出

單調(diào)增區(qū)間，令/'（x）<0求出單調(diào)減區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.

【例題5】（2020秋?河西區(qū)期末）函數(shù)f（x）=3x-x3的單調(diào)增區(qū)間為

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0,解不等式即可得到增區(qū)間.

【解答】解：函數(shù)/（尤）=3x—V的導(dǎo)數(shù)為r（x）=3—3V,

令_/”（x）>0,即有d<l,

解得，

則增區(qū)間為（-1,1）.

故答案為：（-1,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【例題6】（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)/（X）=J2x-出的單調(diào)遞增區(qū)間是—[0一]]_.

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答】解：^t=2x-x2,則y=?為增函數(shù)，

由2犬-/..0,得帽左2,即函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2],

函數(shù)r=2x-d的對(duì)稱軸為x=l,

要求/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)r=2x-x2的單調(diào)遞增區(qū)間，

?門=2x-V的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1],

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1],

故答案為：[0,1]

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利用換元法是解決本

題的關(guān)鍵.

【例題7】(2020秋?玄武區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)y=，--2x_3的遞減區(qū)間是_(-00遞增區(qū)間

是—.

【分析】先求出該函數(shù)定義域?yàn)閧xlx,-1,或x..3},可以看出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)y=V-2x-3在定

義域上的單調(diào)區(qū)間一致，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可得出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：解/一2X-3..0得，用，—1,或X..3；

函數(shù)y=/-2x-3在(-co,T]上單調(diào)遞減，在[3,+8)上單調(diào)遞增；

該函數(shù)的遞減區(qū)間為(YO,-1J,遞增區(qū)間為[3,+00).

故答案為：(-00,-1],[3,+00).

【點(diǎn)評(píng)】考查解一元二次不等式，復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，以及二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法.

【變式1](2020秋?工農(nóng)區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)/(x)=T—的單調(diào)遞增區(qū)間是()

廠-2x

A.(-oo,1]B.(-oo,0),(0,1)C.(-oo,0)U(0,1)D.(l,+oo)

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則“同增異減”，可得答案.

【解答】解：由「=犬-2》工0,

可知函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸x=l,XK0且XH2.

可得(ro,0),(0,1)單調(diào)遞減，

原函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(-oo,0),(0,1).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，注意函數(shù)的定義域，考查運(yùn)算能力，屬于易錯(cuò)題.

【變式2】(2020春?天津期末)下列函數(shù)中，在(0,+oo)上為增函數(shù)的是()

A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=--D.f(x)=—|x|

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,/(x)=3-x為一次函數(shù)，在(0,+oo)上為減函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于3,/(x)=V-3x為二次函數(shù)，在(0上)上為減函數(shù)，不符合題意；

2

對(duì)于C,為反比例函數(shù)，在(0,”)上為增函數(shù)，符合題意；

X

對(duì)于。，f(x)=-\x\,當(dāng)x>0時(shí)，.f(x)=-x，則函數(shù)f(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

【變式3](2020?北京模擬)函數(shù)y=J--5x+4的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[—,+℃)B-[—,4)C.[4>+oo)D.Ll?-),l4,+oo)

【分析】解不等式，求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可.

【解答】解：令爐-5X+4..0,

解得:乂.4或％,1,

而函數(shù)>-5x+4的對(duì)稱軸是：x=|.

由復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，

故函數(shù)y=Jx?-5x+4的單調(diào)遞增區(qū)間是[4,+oo),

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性問題，考查二次函數(shù)以及二次根式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

【變式4】(2021?北京學(xué)業(yè)考試)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞減的是()

A.y=x2B.y=4xC.y=2xD.y=(；)*

【分析】利用基本初等函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,y=V在區(qū)間(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,y=6在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞增，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=2"在區(qū)間(0,—)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,y=在區(qū)間(0,物)上單調(diào)遞減，故O正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本初等函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，屬于基礎(chǔ)題.

【變式5]（多選）（2020秋?梅州期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,”）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=xB.y=-C.y--x2D.y=（^）x

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,y=x,是正比例函數(shù)，在區(qū)間（0,內(nèi)）上單調(diào)遞增，不符合題意，

對(duì)于B,y=~,是反比例函數(shù)，在區(qū)間（0,長(zhǎng)0）上單調(diào)遞減，符合題意，

x

對(duì)于C,y=是開口向下，對(duì)稱軸為y軸的二次函數(shù)，在區(qū)間（0,位）上單調(diào)遞減，符合題意，

對(duì)于。，y=是指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間（0,收）上單調(diào)遞減，符合題意，

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

【變式6]（2019秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)/。）=-丁+2》的單調(diào)遞增區(qū)間為_（YO「1]一

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得/（X）的對(duì)稱軸以及開口方向，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得

答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/（X）=-X2+2X=-（X-1）2+1,是開口向下的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=l,

故/（幻的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,1]：

故答案為：（-8,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【變式7】（2020?通州區(qū)校級(jí)開學(xué)）函數(shù)/（》）=—/+2|x|+3的單調(diào)減區(qū)間為—[TJ0L[1J+OO）_.

【分析】討論x>0,x<0,從而去掉絕對(duì)值號(hào)，在每種情況下，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法寫出每種

情況的/（x）的單調(diào)減區(qū)間即可得出了（x）在R上的單調(diào)減區(qū)間.

【解答】解：（1）x>0時(shí)，f（x）=-x2+2x+3；

此時(shí)f（x）的對(duì)稱軸為x=l;

此時(shí)/（X）的減區(qū)間為[1,+00）;

(2)x<0時(shí)，f(x)=-x2-2x+3；

/(X)此時(shí)的對(duì)稱軸為X=-1；

此時(shí)/(%)的減區(qū)間為[-1,0]；

綜上得，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為[-1,0],[1,+00).

故答案為:[-1,0],[I,+oo).

【點(diǎn)評(píng)】考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，

要熟悉二次函數(shù)的圖象.

【變式8](2019秋?思明區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)f(x)=x\x-2\的單調(diào)減區(qū)間為_口_2]_.

【分析】根據(jù)所給的帶有絕對(duì)值的函數(shù)式，討論去掉絕對(duì)值，得到一個(gè)分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性

即可得到減區(qū)間.

【解答】解：當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=x2-2x,

當(dāng)用,2時(shí)，/(x)=-x2+2x,

這樣就得到一個(gè)分段函數(shù)/(x)=廠：2x'x>2.

[-X2+2元及,2

/(x)=9-2x的對(duì)稱軸為：x=\,開口向上，x>2時(shí)是增函數(shù)；

f(x)=-x2+2x,開口向下，對(duì)稱軸為x=l,

則x<l時(shí)函數(shù)是增函數(shù)，l<x<2時(shí)函數(shù)是減函數(shù).

即有函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[1,2].

故答案為：口，2].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，把函數(shù)化成基本初等函數(shù)，可以通過

函數(shù)的性質(zhì)或者圖象得到結(jié)果.

知識(shí)點(diǎn)精析

考點(diǎn)3.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量XI,

X2,

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有一(XI)</(X2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間O上是增函數(shù)；當(dāng)加>暇時(shí)，都有

/(XI)<f(X2),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/(X)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

區(qū)間D叫做y=/G)的單調(diào)區(qū)間.

7

【例題1】(2021?四川模擬)已知函數(shù)f(x)==(xe［2,6］),貝I")

x-1

A./(x)是單調(diào)遞增函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的最大值為/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

【分析】根據(jù)題意，先分析f(x)的單調(diào)性，據(jù)此分析選項(xiàng)，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)=^(xe［2,6］),在區(qū)間［2,6］上，/&)為減函數(shù),

x-1

據(jù)此分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,/(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，力錯(cuò)誤；

對(duì)于3,f(x)的定義域?yàn)椋?,6］,不是奇函數(shù)，3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,f(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，則八幻的最大值為/(2),C正確；

對(duì)于O,f(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，則/(3)>f(4)>f(5),O錯(cuò)誤；

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，注意分析函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4

【例題2】(2021春?白城期末)設(shè)函數(shù)/(x)=,nr+—+2在(0,+oo)上的最小值為7,則/(幻在(ro,0)上

X

的最大值為()

A.-9B.-7C.-5D.-3

【分析】令g(x)=/nr+g,則g(x)是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得了⑶在(-oo,0)

X

上的最大值.

【解答】解：令g(x)=;nr+q,則g(x)是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，

X

4

,Jf(x)=2+2在(0,丑0)上的最小值為7,g(x)在(0,內(nèi))內(nèi)的最小值為5,

x

可得g(x)在(YO,0)上的最大值為-5,

貝ij/(x)在(-oo,0)上的最大值為—5+2=-3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

【例題3】(多選)(2020秋?錦州期末)已知函數(shù)f(x)的定義域是［-1,5］,且.f(x)在區(qū)間［-1,2)±

是增函數(shù)，在區(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，則以下說法一定正確的是()

A.f(2)>f(5)

B./(-1)=/(5)

C./(x)在定義域上有最大值，最大值是/(2)

D./(0)與/(3)的大小不確定

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)是否在x=2處連續(xù)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：因?yàn)樵趨^(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，故f(2)>f(5)成立，A正確；

因?yàn)?(x)在區(qū)間［-1,2)上是增函數(shù)，在區(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，但在x=2處不一定連續(xù)，故無(wú)法比較/(0)

與/(3)的大小，3不正確，。正確，

當(dāng)函數(shù)在x=2處連續(xù)時(shí)，x=2處函數(shù)的最大值，當(dāng)函數(shù)在x=2處不連續(xù)時(shí)，x=2時(shí)，函數(shù)不能取得最大

值，C錯(cuò)誤；

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

【例題4】(多選)(2021?芝景區(qū)校級(jí)開學(xué))若函數(shù)/(x)="+(”>0且axl)在A上為單調(diào)

［3+(〃—l)x,x<0

函數(shù)，則。值可以是()

A.-B.-C.>/2D.2

33

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答】解：?.?函數(shù)Ax)」""、'"'。(a>0且axl)在R上為單調(diào)函數(shù)，

l3+(n-l)x,x<0

a>1

①當(dāng)/(九)為增函數(shù)時(shí)，則,

。+L.3

0<?<1

②當(dāng)為減函數(shù)時(shí)，則<a-l<0,「.0vQVl,

3..ZZ+1

綜上，“值可以是1或2或2.

33

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

【例題5】(2018秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(-1,0)和U—+8)一

【分析】由題意畫出/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得它的單調(diào)增區(qū)間.

【解答】解：函數(shù)/3=卜-1|=｛：］；：%二-1,

如圖所示：

故它的單調(diào)增區(qū)間(-1,0)和口，+00),

故答案為:(-1,0)和［1,+00).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

【例題6】(2020秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末)若函數(shù)f(x)=*-在區(qū)間(0,+oo)是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

x+1

值范圍是_(0,+oo)_.

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可.

【解答】解：設(shè)

則/a)-/(x,)=Rax2*一々)

X,+1x2+\(X1+l)(x,+1)

若函數(shù)f(x)=工在區(qū)間(0,+oo)是嚴(yán)格增函數(shù)，

X+1

則/(國(guó))-〃々)=「：'、尸)>0,

a+i)(芻+i)

x,+1>0,jc2+1>0,-x2>0,

.'.a>0,

故答案為：(0,+oo).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，考查定義的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

(2020秋?喀什市校級(jí)期末)已知

【例題7】是定義在R上的減函數(shù)，那么。的

取值范圍是[-,-).

-7-3一

【分析】由題意可得由此求得.的取值范圍?

【解答】解：由于是定義在R上的減函數(shù)，..他一：。

[-X+l,x.l[(3〃-1)+4a..-1+1

求得

73

故答案為：,g).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要求函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【例題8】(2021?三元區(qū)校級(jí)開學(xué))已知函數(shù)人幻=:4，xe[3,5].

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并證明；

(2)求函數(shù)f(x)的值域.

【分析】(1)判斷函數(shù)f(x)是定義域[3,5]上的單調(diào)增函數(shù)，用定義證明即可;

(2)根據(jù)函數(shù)/(x)在定義域[3,5]上的單調(diào)性求出最值，即可求出/(x)的值域.

【解答】解：(1)函數(shù)/*)=士1=1一一—,xe[3,5],

x+2x+2

函數(shù)f(x)是定義域[3,5]上的單調(diào)增函數(shù)，證明如下：

任取內(nèi)、毛€[3,5],且王<々，貝iJ/(X|)—/(x)=(l——^—)-(1——一：、/“：、

2%+2馬+2(西+2)(犬2+2)

因?yàn)殍。?lt;入25,所以％-工2<0，%+2>0,x2+2>0,

所以/(5)-r(w)<0,即/&)</(/)，

所以/(x)是定義域[3,5]上的單調(diào)增函數(shù)；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是定義域[3,5]上的單調(diào)增函數(shù),

3-12

且/(3)

3+25

f(5)5-1!-=-4；

5+27

所以/(X)的值域是［|,yl.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理證明能力，是基礎(chǔ)題.

舉一反三

【變式1](2021春?瑤海區(qū)月考)設(shè)函數(shù)/")=卜'-3'，％，",若“幻無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

[-2x,x>a

是()

A.(TO,—1)B.(-oo,-1JC.(-oo,2]D.(-1,2]

【分析】利用分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)8。)=與1-3;1:直線〃(x)=-2x的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)

的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析求解即可.

【解答】解：因?yàn)榘嘶?卜,-3樂蒼,J

[-2x,x>a

作出函數(shù)g(x)=與x3-3x直線〃(x)=-2x的圖象，

它們的交點(diǎn)時(shí)A(-l,2),0(0,0),B(l,-2),

由g'(x)=3f—3,則令g，(x)=0,可得x=—l或x=l,

當(dāng)x<-l或x>l時(shí)，g\x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減，

所以x=-1是g(x)的極大值點(diǎn)，x=1是g(x)的極小值點(diǎn),

由圖象可知，當(dāng)...-1時(shí)，f(x)有最大值f(-l)=2,

當(dāng)a<-l時(shí)，有/一3a<-2a,此時(shí)/(x)無(wú)最大值，

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-oo,-l).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)最值的理解和應(yīng)用，分段函數(shù)的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合法轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系進(jìn)行研究，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

。11

【變式2](2021?江蘇一模)若〃x)=x是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

-x+3a,x<1

4-oo)_?

qxi

【分析】若/(x)=X是R上的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)第二段函數(shù)為減函數(shù)，故第一段也應(yīng)該為減函數(shù)，

一x+3a,x<1

且x=l時(shí)，第二段的函數(shù)值不小于第一段的函數(shù)值，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【解答】解：?."(x)=3"是R上的單調(diào)函數(shù)，

-X4-3?,X<1

廣，

1—1+3a..u

解得：a」，

2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［L+00),

2

故答案為：［；,+00)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于。的不等式組，是解答的關(guān)鍵.

【變式3】(2020秋?金安區(qū)校級(jí)月考)已知=:3)x+7a-2,x<l在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的

［-ax~+x,x..1

取值范一圍是_停9,3)_.

【分析】當(dāng)函數(shù)y=(a-3)x+7〃-2在(YO,1)上單調(diào)遞減，且函數(shù)y=-62+*在(l,+oo)上單調(diào)遞減，且分段

點(diǎn)處左邊界不小于右邊界時(shí)，單調(diào)遞減.

【解答】解：若函數(shù)y=3-3)x+7a-2在(-8,1)上單調(diào)遞減，則”一3<0,得”3；

一。<0

若函數(shù)y=-ax2+x在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，則1,得

丁,，12

2a

a<3

故，若/(x)在R上遞減，貝IJ,解得$,a<3.

(a—3)+7a—2…—a+1

故答案為：［2,3).

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4］(2020秋?鼎城區(qū)校級(jí)期中)/(x)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且/(7-加)</(2加+1),

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是_(-oo,2)

【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可直接求解.

【解答】解：因?yàn)?(x)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且/(7-加)<〃2加+1),

所以7—機(jī)>2m+1,

解得，m<2.

故答案為：(YO,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在求解不等式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

【變式5】(2020秋?沙市區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)/(x)=x|x|,若/(2〃+1)../(4-〃)，則a的取值范圍是

[1,-KX))_.

【分析】畫出函數(shù)/(X)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于〃的不等式，解出即可.

fx0

【解答】解：由題意f(x)=,

-x",x<0

顯然函數(shù)f(x)在R遞增，

若/(2a+l)../(4—a),

貝i]2a+L.4-a,解得：a.A,

故答案為：[1,-HO).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題.

【變式6](2020?和平區(qū)校級(jí)開學(xué))函數(shù)y=-x?+4x+3,xe[0,3]的單調(diào)遞增區(qū)間是_[0-2]

【分析】由已知結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解.

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-f+4x+3的開口向下，對(duì)稱軸x=2,

所以3]的單調(diào)遞增區(qū)間[0,21，

故答案為：[0，2]

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

【變式7](2021?江州區(qū)校級(jí)開學(xué))已知f(x)=x+±

(I)證明：/(x)在[2,+8)單調(diào)遞增;

（II）解不等式：f（x2-2x+4）?f（7）.

【分析】（/）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可.

（〃）由（/）知函數(shù)/（x）在[2,+8）上單調(diào)遞增，利用函數(shù)單調(diào)性，由y值的大小轉(zhuǎn)化為比較x的大小即可.

【解答】證明：（/）▼%，x2G[2,4-00）,且大<%2，

則/（與）-/。,）=%+巴一電一3=宜二里匆上二少，

X]x2x1x2

x2G[2,+8）,/.—4>0,x1x2>0,又,.?X]VJC2,

..（3一3）（平2-4）<。即八大）</（馬），

中2

.?./3）在[2,+8）單調(diào)遞增.

解：（//）?.,x2-2x+4=（x-1）2+3..3,x2-2x+4e[2,+oo）,

在[2,+oo）單調(diào)遞增，所以要使f，-2x+4）,J（7）,

則要使％2-2x+4,,7,即丁-2x-20,3,

.?.不等式/，-2x+4）,J（7）的解集為[-1,3].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【變式8】（2020秋?溫州期末）已知函數(shù)7?（X）=X2-X+4-2（X>0）.

X

（I）用定義證明/（尢）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減；

（II）證明/（X）存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)內(nèi),，且玉+%>2.

【分析】（I）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.

（II）判斷當(dāng)X>1時(shí)為增函數(shù)，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷兩個(gè)零點(diǎn)的范圍進(jìn)行判斷

即可.

【解答】解：（I）設(shè)0<%<工2<1，

則/（玉）—/（毛）=片—玉----2—x^+x,-------i"2=x；—x；+X,—x,H-------=（玉+々）（玉一乂）+（工2一N）+-

X1--工2大工2'X|X2

=（工2一%）口■*------（芭+工2）]

g

?/0<X]<x2<1,

x2-xi>0,O<X|X><1,0<Xj4-x2<2,>1,

中2

則1H------（%+X2）>0，

%七

即（巧）>0,得/（芭）>/（入2），即/。）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減.

（II）證明:同理可知當(dāng)％>1時(shí),/（?在（l,+oo）上為增函數(shù),

f（1）=1-1+1-2=-1<0,

f(2)=4—2+——2=—?

22

必有一個(gè)根不￡（g，1）,另外一個(gè)根/七弓，2）,

13

則百+￡>—+^=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及利用函數(shù)

與方程的關(guān)系結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判斷條件是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

知識(shí)點(diǎn)精析

考點(diǎn)4.函數(shù)的最值及其幾何意義

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)

或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得.

（啰?例題精講

【例題1】（2020秋?連云港期末）函數(shù)y=x+*_,xe（-2,+oo）的最小值是（）

x+2

A.4B.6C.8D.16

【分析】利用基本不等式即可求解最小值.

【解答】解：函數(shù)丫=%+旦=》+2+工-2..2、/（》+2）-^--2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x+2=4,即x=2時(shí)，取

x+2x+2Vx+2

等號(hào)；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用基本不等式的性質(zhì)即可求解，屬于基礎(chǔ)題.

【例題2】（多選）（2020秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）若xeR,/*）是y=2-V,y=x這兩個(gè)函數(shù)中的較小

者，則/（%）（）

A.最大值為2B.最大值為1C.最小值為-1D.