中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-反比例函數(shù)與幾何綜合 (一)

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破一一反比例函數(shù)與幾何綜合

4

1.如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)所A(-3,0),在X軸正半軸上有一點(diǎn)D,且tanNB。。

4Ak

=-?過點(diǎn)。作co垂直于X軸，交直線廣§.r+6于c點(diǎn)，反比例函數(shù)y=、(x>0)經(jīng)

過點(diǎn)C

(1)求b和反比例函數(shù)的解析式；

(2)將點(diǎn)B向右平移機(jī)個單位長度得到點(diǎn)P,當(dāng)四邊形8CPD為菱形時，求出m的值；

(3)點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，且是等腰三角形，求所有點(diǎn)E的坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知“BC中，A5=AC,NBAC=90。已知點(diǎn)A(0,-6)

、C(-3,-7),點(diǎn)8在第三象限內(nèi).

(2)將一ABC以每秒2個單位的速度沿y軸向上平移，秒，若存在某一時刻3使在第

二象限內(nèi)點(diǎn)反C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)￡,C'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時，

的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的情況下，問：是否存在x軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q,使得

以P、。、B：C'四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出符合題意的點(diǎn)

。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(1)下列關(guān)于反比例函數(shù)y=9的性質(zhì)，描述正確的有.(填所有描述正確

x

的選項(xiàng))

A.丁隨工的增大而減小

B.圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

c.圖像關(guān)于直線y=x成軸對稱

D.把雙曲線y=9繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90?？梢缘玫诫p曲線)，=-2

XX

(2)如圖，直線4B、8經(jīng)過原點(diǎn)且與雙曲線y=2分別交于點(diǎn)4、B、C、D.點(diǎn)4、

x

。的橫坐標(biāo)分別為孫〃(m連接AC、CB、BD、DA.

①判斷四邊形AC8D的形狀，棄說明理由；

②若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，〃=3,四邊形AC6O的面積為5,求5與〃之間的函數(shù)表達(dá)式；

③當(dāng)機(jī)、〃滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形AC8O是矩形？并說明理由.

4.定義：與坐標(biāo)軸不重合的直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)(A、B不重合)，若拋物線L

過點(diǎn)A,點(diǎn)B,則稱此拋物線為直線的“友誼線”

(1)若拋物線L為直線y=-x+3的“友誼線”，且過點(diǎn)(-1,0),求此拋物線的解析

式；

112

(2)已知直線y=kx+b的“友誼線”為y=--x2+尸+1，且直線與雙曲線V=一交于M,

N,求線段的長；

(3)若有直線y=，加+〃，且加+〃=1,對任意的實(shí)數(shù)m一定存在其“友誼線”為拋物線

L：y=ax2+bx+c,求人的取值范圍.

5.如圖，將邊長為5的菱形ABCP放置于直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)B,C在K軸上，反比

例函數(shù)y=-：*<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4-1，。)，并與線段A8交于點(diǎn)ES，g),反比例函數(shù)

"勺x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，AO交y軸于點(diǎn)G.點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)

尸作y軸的垂線，分別交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)M，N,

試卷第2頁，共9頁

（1）b=k=

（2）當(dāng)CM=CN時，求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，直線4。上是否存在點(diǎn)Q,使以4,E,N,。為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

6.如圖所示，正方形AO8C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)A、8分別在￥軸、x軸的正

半軸上，點(diǎn)E是。8邊上的動點(diǎn)（不與0、9重合），連接AE,過E作石尸交BC于

點(diǎn)、D,反比例函數(shù)），=與的圖象過正方形的頂點(diǎn)。（2,2）.

X

（1）求反比例函數(shù)y=七的解析式

X

（2）當(dāng)E點(diǎn)在。8上運(yùn)動時，設(shè)=試求梯形A0BD面積的最小值：

（3）設(shè)點(diǎn)G為雙曲線y上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)G到點(diǎn)M（-2&,-26），N（2&,2a）的

距離的差的絕對值等于一個常數(shù)，請直接寫出這個常數(shù).

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=如與反比例函數(shù)丫=工，的圖象交于

X

A、P（.?6,2萬）兩點(diǎn)，點(diǎn)B（右，375）與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對稱，連接AB,作

co〃y軸交直線AP于點(diǎn)C.

（3）連接4。、BC,求四邊形ABC。的面積.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8CO的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，點(diǎn)B在＞軸的正

半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)廣：僅＞0.x＞0）的圖象上，點(diǎn)Z）的坐標(biāo)為（4.3）.

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若將菱形邊。。沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)。落在函數(shù)＞=々無＞0/＞0）的圖象上時，

X

求線段0。掃過圖形的面積.

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)尸使R4+總有最小值，若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存

9.已知：如圖，雙曲線y=々2工0）與直線丁=，處（加工0）交于A（后,3）、3兩點(diǎn)，將直

x

線A8向下平移〃個單位，平移后的直線與雙曲線在第一象限的分支交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是x

軸上一動點(diǎn).

（1）求雙曲線和直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接AO,當(dāng)點(diǎn)C是線段,4。中點(diǎn)時，求〃的值：

（3）若點(diǎn)E是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)VAOE是以4E為斜邊的直角三角形，且

NZME=30。時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

試卷第4頁，共9頁

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q4BC的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,04、OC分別

落在落在X軸和y軸上，。8是矩形的對角線.將AQAA繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落

在y軸上,得到Aa把,。。與C8相交于點(diǎn)F,反比例函數(shù)y=*>0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)F,

交A3于點(diǎn)G.

（1）填空：女的值等于二

（2）連接AG,圖中是否存在與ABFG相似的三角形？若存在，請找一個，并進(jìn)行證明；

若不存在，請說明理由；

（3）在線段04上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得尸G是等腰三角形.請直接寫出0P的

長.

11.如圖，一次函數(shù)乂=奴+"與反比例函數(shù)必=W(用工°)在第一象限的圖象交于40，4)，

3(4,〃)兩點(diǎn).

(2)根據(jù)圖像直接寫出為時x的取值范圍；

(3)在)，軸上找一點(diǎn)P,使P4+P8的值最小，求出Q4+P8的最小值和點(diǎn)尸的坐標(biāo).

12.我們知道求函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以聯(lián)立兩個函數(shù)解析式組成方程組，方程組的

解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).如：求直線y=2x+3與y=-x+6的交點(diǎn)坐標(biāo)，我們可以聯(lián)立兩個

解析式得至方程組P'=2"+：,解得所以直線y=2x+3與y=—x+6的交點(diǎn)坐

[y=-x+6[y=5

標(biāo)為(L5).請利用上述知識解決下列問題：

試卷第6頁，共9頁

(1)已知直線y=Ax-2和雙曲線y=9,

x

①當(dāng)％=4時，求直線與雙曲線y=9的交點(diǎn)坐標(biāo)；

X

②當(dāng)攵為何值時，直線與雙曲線y=g只有一個交點(diǎn)？

X

(2)已知點(diǎn)4&0)是x軸上的動點(diǎn)，以0,4啦)，以4B為邊在右側(cè)作正方形ARCD,

當(dāng)正方形A8CO的邊與反比例函數(shù))，=里的圖像有4個交點(diǎn)時，試求〃的取值范圍.

X

13.如圖，正六邊形48coM的對稱中心P在反比例函數(shù)y=±(k>0,x>0)的圖象

x

上，邊C。在x軸上，點(diǎn)8在)，軸上，已知CD=4

(1)點(diǎn)A是否在該反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由.

(2)若該反比例函數(shù)圖象與。E交于點(diǎn)。，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；

(3)平移正六邊形ABCDEF,使其一邊的兩個端點(diǎn)恰好都落在該反比例函數(shù)的圖象上，

試描述平移過程.

14.如圖，直線丁=一工+1與X,丫軸分別交于A、B兩點(diǎn),2(“力)為雙曲線y=](x>0)

上的一動點(diǎn)，尸知_14軸與加，交線段AB于尸，PN_Ly軸于N,交線段48于E.

(1)求E、/兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用。，匕的式子表示)；

3

(2)當(dāng)。=:時，求正0F的面積.

4

(3)當(dāng)戶運(yùn)動且線段PM、PN均與線段48有交點(diǎn)時，探究：BE、EF、母這三條

線段是否能組成一個直角三角形？說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC,ZABC=90°,頂點(diǎn)A在第一象

限，B,C在x軸的正半軸上（C在B的右側(cè)），BC=2,AB=2V3,△ADC與△ABC關(guān)

于AC所在的直線對稱.

（1）當(dāng)OB=2時，求NACB度數(shù)及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)A和點(diǎn)D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求0B的長；

（3）如圖2,將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為AIBCIDI,

過點(diǎn)Di的反比例函數(shù)y="（k/））的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P.問：

x

①連接PA-AA.,則NAA1P=.。；

②在平移過程中，是否存在這樣的匕使得以點(diǎn)P,Ai,D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角

形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁=以+人（。工0）的圖象與反比例函數(shù)y="

X

（女工0）的圖象交于A、3兩點(diǎn)，與“軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)〃，點(diǎn)0

是線段的中點(diǎn)，AC=4>5，8$/4€7/=亭，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,〃）.

（1）求該反比例函數(shù)和?次函數(shù)的解析式;

試卷第8頁，共9頁

(2)求“8”的面積；

(3)觀察圖象，直接寫出or+b>'的x取值范圍..

X

A

17.若一個圓的圓心P(x,y)落在反比例函數(shù)y=一在第一象限的圖象上，則稱這個

x

圓為“比心圓”.

(1)當(dāng)比心圓同時與X軸和y軸相切時，求圓心P的坐標(biāo)和。P半徑；

(2)若比心圓以0P為半徑，交x軸和y軸分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,判斷AOAB的面積是

否為定值？如果是定值請求出，如果不是請說明理由；

(3)若比心圓的半徑為1,請直接寫出當(dāng)比心圓與“軸或y軸相交時的圓心P的橫坐標(biāo)

18.(I)已知直線)，="一2和拋物線y=f-2X+3,

①當(dāng)％=4時，求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)2為何值時，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)？

(2)己知點(diǎn)440)是x軸上的動點(diǎn)，以0,4&),以AB為邊在A8右側(cè)作正方形A8CO,

當(dāng)正方形月以力的邊與反比例函數(shù))，=里的圖像有4個交點(diǎn)時，試求〃的取值范圍.

參考答案：

1.(1)力=4,y=—；(2)6；(3)點(diǎn)E坐標(biāo)為(6，0)或(-折，0)或(6,0)或

X

(?,0).

6

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出》=4,進(jìn)而求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后

用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；

(2)利用菱形的性質(zhì)判斷出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)E(〃，0),結(jié)合C(3,8),O(0,0),得到△COE三條邊的長度，利用等腰三角

形的性質(zhì)列出方程并解答.由于沒有指出等腰三角形的底邊或腰長，所以需要進(jìn)行分類討論.

4

【解析】解：(1)???直線經(jīng)過A(-3,0),

.??-4+力=0,

4

???直線的解析式為+

：.B(0,4).

：,OB=4.

?：tanZBDO=—=~,

OD3

VOD=3,

：.D(3,0),

4

把x=3代入產(chǎn)針+4=8,

AC(3,8),

?.?反比例函數(shù)y="經(jīng)過點(diǎn)C,

x

.??2=3x8=24,

24

，反比例函數(shù)解析式為)，=一；

x

???將點(diǎn)B向右平移m個單位長度得到點(diǎn)P,

答案第10頁，共36頁

??P（/n,4）.

???當(dāng)四邊形BCPD是菱形時，C（3,8）,D（3,0）,

???CO_Lx軸，

，點(diǎn)尸和點(diǎn)B關(guān)于CO對稱，

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（6,4）,

=6,4x6=24=2,

???點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，

???反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P,使四邊形BCPO為菱形，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,4）；

（3）設(shè)E（〃,0）.

VC（3,8）,

:?OC=M+G=g。七=后=同'CE=7（?-3）2+82r

△COE是等腰三角形，分三種情況：

①OC=OE,則@=|川，

，尸舊或〃=-6.

???符合條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為（）萬，0）或（?J萬，0）;

②OC=CE,則\J13=-3）~+82.

此時〃=6或〃=0（舍去）.

符合條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為（6,0）；

?OE=CE,則同=J（〃_3『+82.

73

此時".

6

符合條件的點(diǎn)E坐標(biāo)是（片73，0）.

6

73

綜上所述，符合條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為（J萬，0）或（-J萬，0）或（6,0）或（2，0）.

【點(diǎn)評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)以及對稱的性質(zhì)，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解出本題的關(guān)鍵.

2.（1）（-1,-3）；（2）/=-,y=-一；（3）（-1,4）或（:，-4）或（一?，8）

2x224

【分析】（1）過點(diǎn)8作3E_L），軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF_L），軸于點(diǎn)凡證明AAC尸g/XBAE

得出BE與。上的長度便可求得5點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先用/表示￡和C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)“8、。正好落在某反比例函數(shù)的圖象上“得方和C

點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積相等，列出，的方程求得，，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的解析式；

（3）分兩種情況：4'C為平行四邊形的邊，qC為平行四邊形的對角線.分別解答問題.

答案第11頁，共36頁

【解析】解：(1)如圖，過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)￡,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)尸,

則N4尸。=NAE8=90。，

???點(diǎn)A(0,-6)、C(-3,-7),

:?CF=3,AF=\,

:△ABC中，AB=AC,ZSAC=90°,

/.NCAF+NBAE=NCAF+NACF=90。,

:.ZACF=ZBAEt

???△AC修△84E(A45),

：.CF=AE=3fAF=BE=\,

OE=OA-AE=6-3=3,

A^=-lx(-3+2力=-3(-7+2/),

g

解得，r=p

：.k=-\x(-3+20=3-9=-6,

，反比例函數(shù)的解析式為：y=--；

X

(3)設(shè)P5,0),

由(2)知⑶(-1,6),C(-3,2),

①當(dāng)8c為平行四邊形的邊時，KJB'C//QP,BC=QP,

:.Q(〃+2,4)或(〃-2,-4),

把。(〃+2,4)代入丁=一9中，得，4(〃+2)=-6,

X

答案第12頁，共36頁

,7

解得，n=-

:，Q(-I，4)，

把。(止2,-4),代入)，=一2中，得，4(〃-2)=-6,

X

解得，

3

??Q(-?-4)?

②當(dāng)8c為對角線時，則8C的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4),

???P。的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4),

:.Q(4〃，8),

把。點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-9中，得，B(-〃-4)=-6,

x

13

解得，〃二,

4

3

:.Q8),

4

綜上，存在x軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q,使得以P、。、8、C四個點(diǎn)為頂點(diǎn)

333

的四邊形是平行四邊形.。點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,4)或(?，4)或(-=,8).

224

【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待

定系數(shù)法，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明全等三角形和分情況

討論.

3.(1)BCD-(2)①平行四邊形，理由見解析；②S=}-4〃：③加〃=6

【分析】(1)利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，找出結(jié)論；

(2)①由正、反比例函數(shù)的對稱性可得出。4=OC=OD,進(jìn)而可證出四邊形ACBO

為平行四邊形；

②由小的值可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)軸于點(diǎn)尸，過

AOACMCFAFE

點(diǎn)C作CMJLx軸于點(diǎn)M,由^=S矩)即+S梯形-S0C-S1sj0A可求出AOAC的面積，再

利用平行四邊形的性質(zhì)，即可求出S與〃之間的函數(shù)表達(dá)式；

③利用矩形的判定定理可得出：當(dāng)。4=0C時，四邊形AC8。是矩形，由點(diǎn)A,C的坐標(biāo)結(jié)

合04=0。，即可得出川+與=)+當(dāng)，再結(jié)合機(jī)>〃>0即可找出當(dāng)四邊形AC8O是矩形時

mn

利，〃之間的關(guān)系.

【解析】解：(1)6>0,

答案第13頁，共36頁

二在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，A不符合題意；

.y=9為反比例函數(shù).

x

???函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，函數(shù))，=2的圖象關(guān)于直線丁=工成軸對稱，B,。符

XX

合題意；

設(shè)點(diǎn)(。,3為反比例函數(shù)y=2上任意一點(diǎn)，

ax

.將該點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為("，。)，--x?=-6,

aa

???把雙曲線y=-繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90。可以得到雙曲線_y=--,D符合題意.

xx

故答案為：BCD.

(2)①四邊形AC8。為平行四邊形，理由如下：

?直線A3,8經(jīng)過原點(diǎn)且與雙曲線y=2分別交于點(diǎn)A,B,C,D,雙曲線y=2的圖

xx

象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，

???點(diǎn)A,8關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)、C、。關(guān)于原點(diǎn)對稱，

:.OA=OB,OC=OD,

二?四邊形AC8O為平行四邊形.

②當(dāng)加=3時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2).

過點(diǎn)A作AE_Lx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作。7軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作CM_Lx軸于點(diǎn)M,如圖

所示.

點(diǎn)C的坐標(biāo)為,

n

OM=n,ME=3-n,CM=—,

n

SMMC=S拒形0MCF+S梯形c-SMJCF-S"ME，

答案第14頁，共36頁

=6+—x(―+2)x(3-n)—x6—x6,

2n22

四邊形AC8D為平行四邊形，

/.5=4SA<MC=^-4n.

③當(dāng)。4=OC時，四邊形AC8O是矩形.

丁點(diǎn)A,C的橫坐標(biāo)分別為加，n(m>n>O)t

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(肛色)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(九3,

mn

又Q>〃>0,

2

/.nrn=36f

：.fnn=6,

???當(dāng)m〃=6時，四邊形AC8D是矩形.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩

形的判定、勾股定理、反比例函數(shù)系數(shù)2的幾何意義以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：(1)

利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，找出結(jié)論；(2)①利用正、反比例函數(shù)的對稱性，找出04=08,

OC=OD；②利用分割圖形求面積法，用含〃的代數(shù)式表示出AOAC的面積；③利用兩點(diǎn)間

的距離公式，找出相，〃之間的關(guān)系.

4.(1)y="+2x十3；(2)30；(3)b>l

【分析】(1)求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)，再將所求兩個交點(diǎn)(3,0),(0,3)

與已知點(diǎn)(T,0)代入拋物線解析求解即可；

(2)求出y=+gX+]與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再由直線與雙曲線),=*交于M,N,可知直

線經(jīng)過第一、三象限，從而確定直線經(jīng)過(0,1)、(-1,0),求出直線的解析式y(tǒng)=x+L

再聯(lián)立方程1°,求出M與N點(diǎn)的坐標(biāo)即可求MN的長；

y=2x

1_m

(3)求出直線y=〃a+(1-w)與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入產(chǎn)加+兒+小得到——

nr

[a(1-用)+/w?-〃[2]=o,當(dāng)帆=i時，y=x與坐標(biāo)的兩個交點(diǎn)重合，不合題意；則可知a

(1-w)+加L//=0,由〃z的存在性可知△=(a+6)2-46?>0,得到

答案第15頁，共36頁

再由對任意的實(shí)數(shù)。，直線產(chǎn)的“友誼線”一定存在，則有△=（264）2-4代0,即

可求出b>\.

【解析】解：（1）直線y=r+3與x軸交點(diǎn)為（3,0）,與y軸交點(diǎn)為（0,3）,

???拋物線L為直線y=r+3的“友誼線”，

???拋物線L經(jīng)過點(diǎn)（3,0）,（0,3）,

又???拋物線又過點(diǎn)（T,0）,

9a+3b+c=0a=-\

，,c=3,解得：<b=2,

a-b+c=01c=3

工拋物線解析式為：丁=-《+2￥+3；

（2）???令x=0,則y=l,

y=-g/+；x+[與），軸的交點(diǎn)為（0,1）,

令y=0,則一:Y+4x+l=0,解得：3=2或x=T,

22

?'?y=-g%2+；x+l與x軸的交點(diǎn)為（2,0）、（-1,0）?

2

???直線與雙曲線丁二一交于M,N,

x

,直線丁=履+6經(jīng)過第一、三象限，

???直線y=kx+b的“友誼線”為y=~x2+gx+1,

???直線y="+b經(jīng)過點(diǎn)（0,1）、（-1,0）,

（b=\[k=\

???/八八，解得：工

|-2+匕=0[b=\

，y=x+1,

…P=X+1fx=lfx=-2

聯(lián)立方程：2,解得：?；颉?/p>

y=-1y=2（y=-i

x

:,M(1,2),N(-2,-1),

(3)..,直線y=〃Li+〃，且〃?+〃=l,

，y=/nr+(1-w),

令x=0,y=\-m令y=0,x=1一--,

tm

，直線y=，〃x+(l-/n)與x軸的交點(diǎn)為(1,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,l-/n),

m

答案第16頁，共36頁

2

???直線丁=松+(IF)的“友誼線''為拋物線L：y=ax+bx+ct

，拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1-，,0).(0.1-m).

m

??a(1-----)2+Z?(I——)+(1-m)=0,

mm

1—m

整理得：一廠[a(1-m)+bin-n^]=0,

m-

..m=1?￡a(1-w)+bm~m2=0-

當(dāng)/n=l時，y=xf此時y=x與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)重合，不合題意；

??a(1-m)-{-bm-m2=0BPnv~(。+。)機(jī)+a=0,

A>0,即(a+b)2-4a>0,

.??a2+2aA4a+力川2,

:對任意的實(shí)數(shù)〃，直線y=mx+〃的“友誼線''一定存在，

???△=(264)2-*0,

：.b>\.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解定義，能夠?qū)⒁淮魏瘮?shù)、二次函數(shù)、

反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

12204

5.(1)-3,4,16；(2)P(0,6)；(3)存在，N(g,1或(12?)

44

【分析】(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入)，=-上*<0)計(jì)算小把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入1y=計(jì)

XX

算從利用菱形的性質(zhì)，得AO=5,AD/7BC,計(jì)算點(diǎn)。的坐標(biāo)，繼而確定左值；

(2)設(shè)點(diǎn)尸(0,〃?)，分別表示出M,N的坐標(biāo)，根據(jù)CM=CM利月兩點(diǎn)間的距離公式列

式計(jì)算即可；

(3)存在，利用AE=QV,AE//QN,利用兩點(diǎn)間距離公式，直線平行的性質(zhì)，列式計(jì)算即

可.

44

【解析】解：(1)???反比例函數(shù))、=一一*<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)ES,;),

x3

.444

??a=-----=4,—,

-13b

??a=4,b=-3；

?"(-1,4),

???菱形ABC。的邊長為5,

：.AD=5,AD〃BC,

：.D(j,4),

々>-(-1)=5,

答案第17頁，共36頁

??X/）=4,

r.D（4,4）,

AF=4X4=16,

故答案為：b=-3,a=4,Z:=16；

（2）過點(diǎn)。作軸，垂足為點(diǎn)尸，

由（1）可得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,4）,且8=5,

:.DF=4,根據(jù)勾股定理可得C/=3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,0）

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,m）,

〈MN公軸,

yin),N(L,M，

mm

W3-1

mm

解得：m=6

J點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,6）

（3）存在.理由如下:

4

VA(-1,4),E(-3,-),

:，AE=J(-1-(-3)>+(4-=—

設(shè)直線AE的解析式為y=px+q,

_p+q=4

根據(jù)題意，得.4?

-3p+q=§

4

p=-

解得3,

q=4

4

???直線AE的解析式為y=§x+4,

???四邊形AEQV是平行四邊形,

答案第18頁，共36頁

：.AE=QN,AE/7QN,

設(shè)Q(〃，4).N(n,—),

n

?,八2/62/。、2100

+(__4)=(-)=丁

設(shè)直線QN的解析式為y=n+r,

dr+t=4

根據(jù)題意，得16，

nr+t=一

16)

-----4

n___

n-d

解得

16d

4A〃----

_____n

n-d

16.16d

??直線QN的解析式為y=7x+吁工,

n-dn-d

：AE//QN,

3-44

E

,.(3-4)2*

n9

?.94/或回4」

n3n3

12

經(jīng)檢驗(yàn)〃=j或"=12都是原方程的根,

,?陽￡,,)或(129.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定，直線平行的條件，兩點(diǎn)間的

距離公式，菱形的性質(zhì)，分式方程，算術(shù)平方根，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，平行線的條

件，算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

441

6.⑴尸二⑵豆⑶4a

【分析】（D待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

（2）梯形的下底和高是定值，所以當(dāng)梯形的上底8。最小時，梯形面積最小，BD=y,結(jié)

合正方形的性質(zhì)證得然后利用相似三角形的性質(zhì)求得y與x的函數(shù)關(guān)系式,

答案第19頁，共36頁

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值：

（3）設(shè)反比例函數(shù)上的點(diǎn)然后根據(jù)勾股定理計(jì)算兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】.解：（1）???反比例函數(shù)y=￡的圖象過點(diǎn)C（2,2）

，左=2x2=4

k4

???反比例函數(shù)y=2的解析式為y=-

xx

（2）由（1）知，正方形4O8C的邊長為2,

貝ij8E=2—x.設(shè)8。=），

,：EFA.AE

/.Z4EF=90°

/.ZAEO+ZFEB=90°

YAOBC是正方形，ZAOB=ZOBC=90°

:.NAEO+NOAE=90°

NOAE=/FEB

：.△AOESAEBD

I.旦絲，即久J

BEBD2-xy

此拋物線的頂點(diǎn)是H）,且-g<o,拋物線的開口向下

所以，當(dāng)時，y隨人的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小

13

當(dāng)時,X+—

28

答案第20頁，共36頁

當(dāng)時,"白

J10

??2<之

188

?,?當(dāng)OE=w時，8￡）有最小值為三

3lo

,此時梯形面積的最小值為S網(wǎng)s=；x償+2卜2=巳

，\lo）lo

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)性

所定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵.

7.（1）加=-2,〃=-3,4（75,-26）；（2）乎：（3）60

【分析】（1）把P點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=松與丁=巴3即可求得；

X

（2）根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的對稱性求得4的坐標(biāo)，即可得出A8〃y軸,"=56,

然后通過證得△C￡>PgZ\A8P,得到AB=CO=5G，CP=AP,即可證得四邊形A8CO是菱

形，根據(jù)勾股定理求得AP,即可求得P&解直角三角形即可求得結(jié)論；

（3）由菱形的性質(zhì)可知S*"BCD=4SACP8,求得aCPB的面積，即可求得四邊形ABCZ）

的面積.

【解析】解：⑴???正比例函數(shù)尸〃比與反比例函數(shù)尸巴0的圖象交于4、P（?73,273）

x

答案第21頁，共36頁

兩點(diǎn)，

___n-3

’26=-/加，2y/3=-j^t

解得，m=-2,n=-3；

由題意可知A與P關(guān)于原點(diǎn)對稱，且P（-G，273）,

?"（G，?26）；

（2）（石，3百）且A（6,-273）,

：.AB//y^h,

?"8=5>/5,

???C￡）〃y軸，

：.AB//CDt

：?4CDP=4ABP,

?1點(diǎn)B（73,3>/3）與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對稱，

.*.AC±BDfPD=PB,

在4COP和△A8P中，

"CDP=NABP

<PD=PB,

ZCPD=ZAPB

:.△CDP92ABP（ASA）,

:,AB=CD=5g,CP=AP,

又???ACJ_8￡）,PD=PB,

，四邊形ABC。是菱形,

VP（?G，275）,A（73,?2G）,

???PC=PA=J（6百）2i（2百i2百）2=2715，

PC2715_275

，sinNCOB

~CD56~

⑶?:P（-G，26）,B（75,36），

?*-PB=7（-73->/3）2+（2^-3>/3）2=V15，

【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,

軸對稱的性質(zhì)，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對稱性，菱形的判定和性質(zhì)，三角形面積以及解

直角三角形等，證得四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵.

答案第22頁，共36頁

8.(1)y=—(x>0)；(2)20；(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)(二,0)

x13

【分析】(1)過過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為尸，先根據(jù)勾股定理求出0。的長，利用菱形

性質(zhì)得到4。長，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到反比例函數(shù)解析式；

32

(2)將。。沿x軸正方向平移，使得點(diǎn)。落在函數(shù)y=—(x>0)的圖象。點(diǎn)處，

x

過點(diǎn)D做x軸的垂線，垂足為尸.先根據(jù)平移及反比例函數(shù)性質(zhì)求出ZX的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

平行四邊形性質(zhì)求得面積；

(3)找B(0,5)則關(guān)于x軸對稱點(diǎn)〃(0,-5),Q4+P8有最小值時，點(diǎn)尸在直線A汗與工軸交

點(diǎn)處，先計(jì)算出直線A廳的解析式，再求出P點(diǎn)即可.

【解析】(1)過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為F,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,3),

OF=4,DF=3OD=5

丁四邊形ABC。為菱形，AAD=5

，點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,8),

，攵=母=4x8=32，k=32：

32

/.y=—(x>0)

(2)將。。沿k軸正方向平移，使得點(diǎn)。落在函數(shù)y=J(x>0)的圖象D點(diǎn)處,

過點(diǎn)D做x軸的垂線，垂足為尸.

,:DF=3,戶'=3,

，點(diǎn)Z7的縱坐標(biāo)為3,

???點(diǎn)〃在尸；的圖象上

解得：x=—???。(§,3)

又；0。掃過圖形為平行四邊形,

???平行四邊形面積為20.

答案第23頁，共36頁

（3）存在.

???0B=0D=5tA8（0,5）則關(guān)于X軸對稱點(diǎn)810,—5）

則點(diǎn)尸在直線A夕與x軸交點(diǎn)處.

設(shè)直線A夕的表達(dá)式：），=履+力

將點(diǎn)A的坐標(biāo)（4,8）,點(diǎn)用的坐標(biāo)（。,-5）代入：

得直線關(guān)系式為：y==13x-5.

當(dāng)y=o時解得”=得

工。點(diǎn)坐標(biāo)（520,0）

【點(diǎn)評】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，解題關(guān)鍵在于能夠求出反例函數(shù)解析式.

9.（1）雙曲線的表達(dá)式為），="，直線A8的解析式為丁=氐；（2）〃=￡；（3）點(diǎn)E的

x2

坐標(biāo)為七（3石,1）或E（-x/3,-3）.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法將4行,3）分別代入求解即可；

（2）點(diǎn)。在x軸上，設(shè)點(diǎn)。（如0）,過點(diǎn)A作4MJ_x軸交X軸于點(diǎn)M,過。作CNJ_x

軸交x軸于點(diǎn)N,借助△AMDsACM）,可表示C點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求解，

再利用待定系數(shù)法即可求得困數(shù)解析式；

（3）分點(diǎn)七再第一?象限和第三象限的函數(shù)圖象上兩種情況討論，借助相似表示點(diǎn)上坐標(biāo),

代入反比例函數(shù)解析式求解即可.

【解析】解：（1）雙曲線＞=々2工0）與直線￥=儂加工。）交于40,3）、8兩點(diǎn)，

x

工3=專，解得&=3石，

3=Mm,解得〃?=6,

，雙曲線的表達(dá)式為），=邁，宜線AB的解析式為），=屈；

x

（2）將直線A8向下平移〃個單位，得直線y=J§x-%

答案第24頁，共36頁

直線y=與雙曲線y=2亙交于點(diǎn)C,

x

過點(diǎn)A作AMLr軸交x軸于點(diǎn)M.過C作CMLx軸交x軸于點(diǎn)N,

???AM//CN,

:.XAMDsXCND,

???。為A。的中點(diǎn)，

.CNDNDC\

即N為MO的中點(diǎn)，CN=；AM,

.+6八、廠,，〃十百3、

??N（——,0），C（^—,-），

廠33后

將c（噌r5代入），=斗得，5二近五，

X2

解得加=30,

經(jīng)檢驗(yàn)：m=3百是原方程的根，且符合題意，

即。（2得），

將。合石卷）代入y=y/3x一〃得"I=百x2石-〃，

解得〃=不9

答案第25頁，共36頁

（3）當(dāng)點(diǎn)￡在第一象限時，如下圖，

過點(diǎn)4作A”_Lr軸交x軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EP_Lx軸交x軸于點(diǎn)P,

?,A（石,3）,

??OH=6,AH=3,

??VADE是以4E為斜邊的直角三角形，且/m￡=30°,

??AD=y/3DE，NADH+ZEDP=90°,

軸，

*.ZADH+ZHAD=90°tNAHD=/EPD=9。。,

\ZEDP=ZHADt

*.AAHDs4DPE,

.AHHDR

*~DP~~PE~~DE~

設(shè)點(diǎn)0（〃?，0）,則HD=OD-OH=m—6,

??E（m+區(qū)曲合）

.百加-3_38

解得加=2、與或m=-2>/5（舍去）,

3"?+百

??七（3衣1）,

當(dāng)點(diǎn)石在第三象限時，如下圖,

同理可證4AHDs2DPE,

.AHHDADh

9~DP~~PE~~DE~'

答案第26頁，共36頁

**?------=-----廣，解得加=2、與(舍去)或〃?=—2百，

3m+，3

:.七(-6,-3),

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(36,1)或E(-逐，-3).

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合.涉及的知識點(diǎn)有相似三角

形的性質(zhì)和判定，含30。角的直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移等.能

正確構(gòu)造相似三角形，借助相似表示點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)犍.

10.(1)k=2；(2)存在，AAOBsgFG；(3)4.而或3或竺叵

82

【分析】(1)證明ACO尸SZXAOB,則二二烏與，求得：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2),即可求解；

ABOA

(2)ACOFS^BFG；&AOBSDBFG\AODESABFG；△CBO^^BFG.證

4824

404--——=-

△OAB^/\BFG：—=BG33,即可求解；

BF3-

(3)分GF=