專題3-18 函數(shù)中的折疊問題（鞏固篇）-【挑戰(zhàn)滿分】2023年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精練

專題3.18函數(shù)中的折疊問題(鞏固篇)

一、單選題

1.如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、0C分別落在x軸，y軸

上，連0B,將紙片OABC沿0B折疊，使點A落在A，的位置，若0B=逐，tanZBOC-y,

則點A，的坐標(biāo)()

2.如圖，已知點A的坐標(biāo)為(-3,9),過點A作x軸的垂線交x軸于點B,連接A。，現(xiàn)

將AABO沿A。折疊，點8落在第一象限的8，處，則直線與x軸的交點。的坐標(biāo)為()

A.(5,0)B.C0亞。)D.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-^x+5與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點

C(0,a)(0<a<5)是y軸上一點.把坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，則a

值為().

12r5-13-5

A.—B.—C.—D.—

512513

4.如圖菱形。4BC,在平面直角坐標(biāo)系中，點A(8,0),ZC=60°,點P為。4上的一

點，且點尸(3,0),。是BC邊上的一個動點，將四邊形OPQC沿直線P。折疊，0的對應(yīng)

點。'，當(dāng)80'的長度最小時，則點0的坐標(biāo)為()

A.(-1,46)B.(-2,4+)C.(-3,4用D.(0,44)

5.如圖，在Rt_ABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,動點P從點A出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿線段A8勻速運動，當(dāng)點P運動到點8時，停止運動，過點尸作

交AC于點。，將△APQ沿直線P2折疊得到aA/Q,設(shè)動點P的運動時間為1秒，4尸。與

43c重疊部分的面積為S,則下列圖象能大致反映S與f之間函數(shù)關(guān)系的是（）

6.將拋物線y=x2-2x-3沿x軸折疊得到的新拋物線的解析式為()

A.y=-x2+2x+3B.y=-x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2-2x+3

7.如圖，矩形ABC。中，AB=3,8C=5,點尸是BC邊上的一個動點（點P不與點8,

C重合），現(xiàn)將△PC。沿直線PO折疊，使點C落下點。處；作N8PG的平分線交AB于點

E.設(shè)8P=x,BE=y,那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致應(yīng)為（）

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形0ABe的邊OC、Q4分別在x軸和y軸上,

。4=5,點。是邊A8上靠近點A的三等分點，將△OAD沿直線。。折疊后得到△047）,

9.如圖，以矩形OABC的長0C作x軸，以寬。4作y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

OA=4,OC=8,現(xiàn)作反比例函數(shù)y=A(ZwO)交BC于點E,交4?于點F,沿EF折疊，點

X

B落在OC的點G處，OG=3GC,則上的值是()

A.8B.12C.15D.16

10.如圖，矩形AOBC的兩條邊OA,。8分別落在x軸、y軸上，A點坐標(biāo)為(-8,0),

B點坐標(biāo)為(0,10),點。在線段3c上，沿直線AZ)將矩形折疊，使點C與》軸上的點E重

合，則點。的坐標(biāo)為()

V

A.(-3,10)B.(TIO)C.(-5,10)D.(3,10)

二、填空題

12

II,如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-《X+12,與y、X軸分別相交于A、8兩點,

將.AOB沿過點B的直線折疊，使點A落在X軸負半軸上的點4處，，折痕所在直線交y軸

正半軸于點C.把直線AB向左平移，使之經(jīng)過點C,則平移后直線的函數(shù)關(guān)系式是

12.如圖，在直角坐標(biāo)系中有一矩形A8C￡>,A8在y軸上，且A8=4,AO平行于x軸,

且A￡>=5,將矩形ABC。沿。。折疊，使得點A落在BC邊上的點E處，P是x軸上一動點,

則PA+PD的最小值為.

13.如圖，拋物線y=-x?+x+6交x軸于A、B兩點(A在B的左側(cè))，交N軸于點C,點

。是線段AC的中點，點P是線段A8上一個動點，沿OP折疊得△APQ,則線段A'B

的最小值是.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-2)jg經(jīng)過原點0,與x軸的另一個交點為A.將

拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象

組成的新圖象記為G,過點B(0,l)作直線1平行于x軸，當(dāng)圖象G在直線1上方的部分對應(yīng)的

函數(shù)y隨x增大而增大時，x的取值范圍是—.

15.將拋物線y=-x2-4x(-4WxS0)沿y軸折疊后得另一條拋物線，若直線y=x+b

與這兩條拋物線共有3個公共點，則b的取值范圍為.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8CO,點3(10,8),點。在8c邊上，連接A。，

把△ABO沿AD折疊，使點8恰好落在OC邊上點E處，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點。，則k

17.如圖，把面積為1的正方形紙片ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，點B、C在x軸

上，A、D和B、C關(guān)于y軸對稱將C點折疊到y(tǒng)軸上的C處，折痕為BP,現(xiàn)有一反比例

函數(shù)的圖象經(jīng)過P點，則該反比例函數(shù)的解析式為.

18.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，OA=8,點D為對角

線OB的中點，若反比例函數(shù)y=2在第一象限內(nèi)的圖象與矩形的邊BC交于點F,與矩形

X

邊AB交于點E,反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點D,且tan/BOA=g,設(shè)直線EF的表達式為

y=k2X+b.將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕與x軸正半軸交于點H,與y軸正半軸交

于點G,直接寫出線段OG的長.

三、解答題

19.如圖，在直角坐標(biāo)系中，長方形紙片A8CO的邊AB〃CO,點3坐標(biāo)為(9,3),若

把圖形按如圖所示折疊，使8、。兩點重合，折痕為EF.

(1)求證：。瓦■為等腰三角形；

(2)求EF的函數(shù)表達式

(3)求折痕EF的長.

20.如圖，矩形4JCO中，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標(biāo)是(-12,16),矩

形A8CO沿直線8。折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與Q4、x軸分別交于

點D、F.

(1)直接寫出線段。8的長；

(2)求直線8。解析式；

(3)若點N在直線BO上，在x軸上是否存在點M,使以M、N、E、。為頂點的四邊形

是平行四邊形？若存在，請求出一個滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

21.已知：如圖，拋物線y=-x2+foc+c經(jīng)過原點。，它的對稱軸為直線x=2,動點P

從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向下運動，設(shè)動點P運動的時間

為/秒，連接0P并延長交拋物線于點8,連接。4,AB.

(1)求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三點A,O,B構(gòu)成以為0B為斜邊的直角三角形時，求f的值；

(3)將，沿直線P8折疊后，那么點A的對稱點A能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，

22.矩形0A8C的頂點A,C分別在x,y軸的正半軸上，點尸是邊8C上的一個動點(不

與點、B,C重合)，過點F的反比例函數(shù)y=、(x>0)的圖象與邊AB交于點E(8M),A8=4.

(1)如圖1,若BE=34E.

①求反比例函數(shù)的表達式；

②將矩形0ABe折疊，使。點與F點重合，折痕分別與x,y軸交于點H,G,求線段

0G的長度.

(2)如圖2,連接。凡EF,請用含機的關(guān)系式表示0AE尸的面積，并求。的面積

的最大值.

23.如圖，二次函數(shù)yugd+bx+c與x軸交于。(0,0),A(4,0)兩點，頂點為C,連接

0C、AC,若點B是線段上一動點，連接BC,將，A5C沿BC折疊后，點A落在點A的

位置，線段A'C與x軸交于點。，且點。與0、A點不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)①求證：.；

②求”的最小值；

24.矩形A03C中，0B=4,0A=3.分別以05、04所在直線為x軸、y軸，建立如

圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.尸是8C邊上一個動點(不與8、C重合).過點尸的反比例函

數(shù)(左＞0)的圖象與邊AC交于點E.

X

(1)當(dāng)點尸運動到邊BC的中點時，點E的坐標(biāo)為；

(2)連接EF求NFEC的正切值；

(3)如圖2,將ACEF沿EF折疊，點C恰好落在邊08上的點G處，求BG的長度.

參考答案

1.C

【分析】即求4點關(guān)于。8的對稱點的坐標(biāo).通過解方程組求解.

解：：tan/80C=；,：.OC=2BC.

VOC2+BC2^OB2=5,，8C=1,0C=2.

所以4(I,0),B(1,2).

直線08方程：y-2=2(x-1),4和A關(guān)于08對稱，假設(shè)4(初，yo),AA'中點為M

(x,y),則后1,y=等.

22

VM(x,y)在直線OB：y-2=2(x-1)上，二/-2=2(-1),即y(f=2(^1).

22222

xo+yo=OA'=OA=lf/.A7?+4(XO+1)=1,5xcr+Sxo^3=O.

A.3

解得：xo--1或者xcr--,

當(dāng)xo=-1時，yo=O,不合題意，舍去；

當(dāng)xo=-1時，yo=y?

所以人('美3),4

故選C.

【點撥】主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和翻折變換，三角函數(shù)的運用以及

一次函數(shù)的應(yīng)用.要熟練掌握才會靈活運用.

2.D

【分析】根據(jù)對稱性得至IJNBAONCAO,由A8〃y軸得/COA=/8A。,可推出CA=CO,

再根據(jù)勾股定理即可求得0C,進而求出直線解析式即可得結(jié)論.

解：根據(jù)翻折可知：

O

ZBAO=ZCAO9ZABO=ZAB'O=90,AB=AB=9,OB'=OB=3.

???A3J_x軸，

???A8〃y軸，

：.ZBAO=ZCOA,

：.ZCAO=ZCOAf

:?CA=CO,

設(shè)C4=x,則C。=x,C8=9-尤，

在RS0C8中，根據(jù)勾股定理，得

2

O^OB'^B'C,即/=32+(9-X)2,

解得：x=5,

：.OC=5,

AC(O,5),

設(shè)直線AO解析式為產(chǎn)奴+4

將A(-3,9),C(0,5)代入，得

b=5,-3k+5=9,

解得：k=~1，

直線AO解析式為y=-gx+5,

當(dāng)-0時,x=—,

二力點的坐標(biāo)為(二，0).

故選：D.

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定、翻折變換、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)

勾股定理求得OC的長.

3.A

【分析】過C作COJ_48于。，先求出A,8的坐標(biāo)，分別為(12,0),(0,5),得至"

A8的長,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到4c平分/0A8,得到CD=CO=a,0A=04=12,則DB=13-12=1,

BC=5-a,在必△BCD中，利用勾股定理得到。的方程，解方程求出〃即可.

解：過C作CD_LA8于。，如圖，

對于直線'=一亮x+5,

當(dāng).v=0,得產(chǎn)5,

當(dāng)y=0,x=12,

.'.A(12,0),B(0,5),即0A=12,0B=5,

."8=doA+OB?=,122+5?=13?

又???坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點3剛好落在x軸上，

???AC平分NO4B,

：.CD=CO=a.則8。=5-〃，

.\DA=OA=\2,

/.DB=13-12=1,

在放aBCO中，DC2+BD2=BC2,

/.n2+l2=(5-6()2,

解得斫?12，

故選:A.

【點撥】本題考查了求直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)的方法：分別令戶0或)=0,求對應(yīng)的

y或x的值；也考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理.

4.C

【分析】連接BP,設(shè)BC交)，軸于T,首先求出P8的長，由題意，當(dāng)點0,落在8尸上

時，8。'的值最小，此時/OPQ=ZQPB,證明8。=8P=7,可得結(jié)論；

解：如圖，連接8P,設(shè)8c交y軸于T.

：.OA=OC=BC=S,

VZC=60°,ZOTC=90°,

.?.CT=；OC=4,OT=[OC2_CT2=7^^=48，

：.B（4,4百），

?:P（3,0）,

:?PB=Ji?+（4A^）=7,

,:OP=PO'=3,

.??當(dāng)點O'落在3P上時，30'的值最小，此時NOPQ=NQP"

■:BC//OA,

:?/BQP=/OPQ,

:.NBPQ=/BQP,

:,BQ=BP=7,

：.CQ=BC-BQ=8-1=\,

：.Q(-3,4回；

故選：C.

【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形對稱變化，翻折變換，等邊三角形的

判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】由題意易得—anNA=g,則有PQ=?,進而可分當(dāng)點尸在A8中點

的左側(cè)時和在AB中點的右側(cè)時，然后分類求解即可.

解：VZABC=90°,AB=2BC=4,

tanZA=—,

2

由題意知：AP=f,

PQ=AP.tanNA=5,

由折疊的性質(zhì)可得：A'P=AP,ZAPQ=ZA'PQ=90°,

當(dāng)點。與43中點重合時，則有1=2,

當(dāng)點P在AB中點的左側(cè)時，即0Wf<2,

.?.“A'PQ與ABC重疊部分的面積為S4P/0=；入；1=(?；

當(dāng)點尸在A8中點的右側(cè)時、即2WY4,如圖所示：

由折疊性質(zhì)可得：=AP=t,ZAPQ=^A!PQ=90°,tan乙4=tanNA=；,

???BP=4-r,

A'3=2r-4,

，8￡>=A0tanZA'=f-2,

二A'P。與一4?C重疊部分的面積為

S）?“，2=；（BO+PQ）.M=；（5+f-2）（4T）=-$2+4r-4；

綜上所述：能反映.A'PQ與重疊部分的面積S與1之間函數(shù)關(guān)系的圖象只有D選

項；

故選D.

【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及三角函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】利用原拋物線上的關(guān)于X軸對稱的點的特點：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

就可以解答.

解：拋物線y=x2-2x-3關(guān)于X軸對稱的拋物線的解析式為：-y=x2-2x-3,

HPy=-x2+2x+3,

故選A.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解決本題的關(guān)鍵是抓住關(guān)于x軸對稱的

坐標(biāo)特點.

7.C

解：由翻折的性質(zhì)得，/CPD=/CPD,

〈PE平分NBPCi,

：./BPE=/CiPE,

.??NBPE+NCPD=9。。,

VZC=90°,

,ZCPD+ZPDC=90°,

:.NBPE=NPDC,

又???/8=NC=90。，

：?4PCDs/\EBP,

.BEPB

**PC-CD*

即“

：.y=-x(5-x)=--(x--)2+竺,

-33212

???函數(shù)圖象為C選項圖象.

故選C.

【點撥】考點：動點問題的函數(shù)圖象、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

8.B

【分析】過/V作EF_LOC「R交設(shè)則。尸=加,4尸=〃，通過證

m_n_o

明4Ao/S.DYE,得到。=—5=3,解方程組求得加、〃的值，即可得到A，的坐標(biāo),

m—

3

代入y工0）即可求得k的值.

解：過今作EFJLOC于凡交AB于E,

：.ZOA,F-hZDA,E=90°.

NOA/+Z/VO/=90。，

.??ZDAE=ZAOF,

,：ZAFO=ZDEA;f

：...AOFsD4，E,

.OFA'FOA'

"^E~~DE~7JD

設(shè)4(見〃),

OF=肛A'F=n,

由折疊得：OA=OA,AD=AD,

:0A=5，點。是邊AB上靠近點A的三等分點,

OA:OAAB個

：.OA=BC=AB=5AD=--;—--=3,

f3A'DADAD

DE=tn—,

3

易得四邊形。心是矩形,

???EF=OA=5,

f

???AE=5-nf

mA-

--5-n

tn——

3

解得：m=3,n=4,

：.N(3,4),

?反比例函數(shù)y=：(/HO)的圖象經(jīng)過點”,

.?.々=3x4=12,

故選：B.

【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形

的判定和性質(zhì)等知識，求得4的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】根據(jù)0G=3GC且0C=8可求得GC的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=EG,CE=x,

貝ijBE=EG=4-x,在RfAECG中根據(jù)勾股定理可求得CE的長，從而求得點E的坐標(biāo)，即可求

得答案.

解：'：0G=3GC,0C=8,

：.GC=2,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=EG,

設(shè)CE=x,則詆EG=4-x,

?.?四邊形0A8C是矩形，

???NOCB=90。,

在即AECG中，EG2=GC2+CE\即(4—X)2=2?+/,

3

解得：x=],

3

???點七的坐標(biāo)為(8,y),

3k

將(8,；)代入y=2,

2x

3

攵=8x—=12,

2

故選：B.

【點撥】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，還考查了矩形的性質(zhì)，折

疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求得點E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】設(shè)。。=再確定33=8?羽再求解3E=4,再利用勾股定理列方程求解即可.

解：矩形AO3C,A點坐標(biāo)為(—8,0),5點坐標(biāo)為(0,10),

\OA=BC=8,AC=OB=lO,

設(shè)CO=x,

結(jié)合對折可得：

CD=DE=x,AC=AE=lO,

\OE=J102-82=6,BE=4,而BD=8-x,

由勾股定理可得：X2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

\80=3,0(-3,10).

故選A

【點撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟

練的利用軸對稱的性質(zhì)確定相等的邊是解本題的關(guān)鍵.

1210

11.y=--x+—

53

【分析】先求得48的坐標(biāo)，然后由勾股定理求出A3,再由折疊的性質(zhì)得出

AB=AB=13,求得4(一8,0),在RtZXA'OC中，根據(jù)勾股定理HC?=OC?+A'O),列出方

程，解方程即可求得點C的坐標(biāo)，即可求得平移后的解析式.

12

解：?.?直線y=-1x+12,與八x軸分別相交于A、B兩點，

令x=0,解得y=12,令y=0,解得x=5,

.-.4(0,12),8(5,0),

ACM=12,08=5,

；ZAOB=ZAOC=90°,

■■AB=^O^+OB1=V122+52=13-

A'B=AB=]3,

4(-8,0),

設(shè)OC=x,

A'C=AC=12-x,

在RlA/TOC中，

A'C2=OC2+A'O2,

BP(12-X)2-X2+82,

解得x=?，

.??平移后的直線的解析式為y=-日龍+號.

故答案為：'=_￡彳+與

【點撥】本題考查了勾股定理與折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交

點，求得點c的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

12.572

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=4O=5,CD=AB=4,ZBAD—ZC—ZAA?C=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE=AD^5,/￡>EO=/BAO=9(T,OE=AO,根據(jù)勾股定理得到CE,

求得BE=2,根據(jù)勾股定理得到0A,作點4關(guān)于x軸的對稱點4,連接DY交x軸于尸，

則布+尸。的值最小，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

解：；四邊形4BCO是矩形，

：.BC^AD=-5,CO=4B=4,NC=NA8C=90°,

???將矩形ABCD沿0D折疊，使得點A落在BC邊上的點E處，

：.DE=AD=5,NDEO=NBAD=90°,OE=AO,

???CEVDP-CD2=6_42=3,

BE=2,

,/OE2=OB2+BE2,

二OH=（4-OA）2+22,

/.0A=—,

2

作點4關(guān)于x軸的對稱點4,連接04交x軸于P,則以+尸力的值最小,

則04=04=2.5,

.?.A4'=5,

二川+的最小值=A'D=752+52=50,

故答案為：572.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，正確地找到

點P的位置是解題的關(guān)鍵.

13.5-Vio##->/io+5

【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點A,B,C坐標(biāo)，從而得出。4=2,OB=3,OC=6,

再根據(jù)勾股定理求出AC的長度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出A，在以。為圓心，A4為半徑的

圓弧上運動，當(dāng)D,4,B在同一直線上時，碗最?。贿^點。作垂足為E,由

中位線定理得出DE,0E的長，然后由勾股定理求出80,從而得出結(jié)論.

解：令y=o,則一%2+%+6=0,

解得者=-2,x2=3,

A（-2,0）,8（3,0）,

OA—2,OB—3,

令兀=0,則y=6,

.?.C（6,0）,

OC=6,

AC=拒+62=2而,

。為AC中點，

￡>A=DC=VlO>

^APD由△APD沿。尸折疊所得，

:.DA=DA',

A'在以。為圓心，DA為半徑的圓弧上運動,

二當(dāng)。，4,5在同-一直線上時，碗最小，

/.AE=OE=1,DE=3,

1.BE=4,

.-.BD=y/32+42=5-

又DA=DA'=y/lQ,

3A'的最小值為5-710,

故答案為：5->/10.

【點撥】本題考查了拋物線與x軸的交點，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知

識，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出A,B,C的坐標(biāo).

14.l<x<2或x>2+近.

【分析】先寫出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象計算可得對應(yīng)取值范圍.

解：由題意可得拋物線：y=；(x-2)T，

對稱軸是：直線x=2,由對稱性得：A(4,0),

沿x軸折疊后所得拋物線為：y=-；(x-2)?+：；

如圖，由題意得：

14

當(dāng)y=l時，-(x-2)2-=l,

解得：X\=2+S,X2=2-幣,

/.C(2-V7,l),F(2+>/7,1),

14

當(dāng)y=i時,-3(x-2)2+fi,

解得：XI=3,X2=1,

.,.D(1,1),E(3,1),

由圖象得：圖象G在直線1上方的部分，當(dāng)l<x<2或x>2+近時，函數(shù)y隨x增大而增

大；

故答案為l<x<2或x>2+不.

【點撥】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線與坐標(biāo)軸的交點，

解題關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖象進行解答.

9

15.0<b<-

4

【分析】畫出圖象，利用圖象法解決即可.

解:將拋物線y=-x2-4x(-4WxW0)沿y軸折疊后得另一條拋物線為y=-x2+4x(0<x<4)

畫出函數(shù)如圖，

由圖象可知，

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過原點時有兩個公共點，此時b=0,

[y=x+b

解廠，，，整理得x2-3x+b=0,

[y=-*-+4X

若直線y=x+b與這兩條拋物線共有3個公共點，

則A=9-4b>0,

解得匕<：9

4

所以，當(dāng)0<bV92時，直線y=x+b與這兩條拋物線共有3個公共點，

9

故答案為0<6<J.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖像的折疊問題，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出二

次函數(shù)折疊后的圖像，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.

16.30

【分析】首先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，可得AE=AB=10,OA=BC=8,DE=B。；然后設(shè)點

。的坐標(biāo)是(10,b),在RACDE中，根據(jù)勾股定理，求出的長度，進而求出左的值.

解：???△48。沿AO折疊，使點8恰好落在0c邊上點E處，點3(10,8),

：.AE^AB=\Q,OA=BC=8,DE=BD,

OE=yjAE2-O^=6,CE=]0_6=4,

設(shè)點。的坐標(biāo)是(10,b),則CD=b,DE=BD=8-b,

CD2+CE2=DE2,

.?"2+4?=(8-6)2,

解得：。=3,

.??點。的坐標(biāo)是(1(),3),

k

?反比例函數(shù)y='的圖象經(jīng)過點。，

X

...々=3x10=30.

故答案為：30.

【點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特點，

掌握利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

17.y=—.

6x

解：依題意知BC=BC=1,OB=1,

??.C'的縱坐標(biāo)為巫，/OBC=60。，

2

.,.△CBC為等邊三角形，

所以ZPBC=30。

.?.PC=BCtan300=且

3

AP(；,旦

23

k

設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為y=±,

X

則k=xy=立~

6

??.y=@.

6x

考點：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

18.-

2

【分析】利用正切的定義計算出AB得到B點坐標(biāo)為(8,4),則可得到D(4,2),然

后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達式；利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征確定F(2,

4),連接GF,如圖，設(shè)OG=t,則CG=4-t,利用折疊的性質(zhì)得到GF=OG=t,則利用勾

股定理得到2?+(4-t)2=t2,然后解方程求出t得到OG的長.

1

解：在R3AOB中，VtanZBOA=——=—,

OA2

.,.AB=；OA=gx8=4,

，B點坐標(biāo)為(8,4),

?.?點D為對角線OB的中點，

.?.D(4,2),

把D(4,2)代入得ki=4x2=8,

X

Q

???反比例函數(shù)表達式為y=—；

x

8

當(dāng)y=4時，一=4,解得x=2,則F(2,4),

x

ACF=2,

???GF=OG=t,

在RtACGF中，22+(4-t)2=t2,解得t=g,

即0G的長為g.

故答案為：

【點撥】本題考查/反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、

折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；會運用三角函數(shù)的定義

和勾股定理進行幾何計算.

19.(1)見分析⑵y=-3x+\5(3)回

【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)推出皿尸="FE即可；

(2)由矩形的性質(zhì)得到AD=BD=3,CD=AB=9設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,3),在RtAAOE中,

勾股定理得4戌+4。2=0￡2,即V+32=（9-X）2,求出點E的坐標(biāo)，再同理得到點F的坐

標(biāo)，設(shè)直線EF的解析式為y=+利用待定系數(shù)法求出解析式;

（3）過點E作EH_LOC于點H,利用勾股定理求出折痕E尸的長.

解：（1）證明：由折疊得N￡>￡F=N8￡F,

?；AB//CO,

ZBEF=ZDFE，

/.ZDEF=ZDFE，

.QEE為等腰三角形;

（2）點8的坐標(biāo)為（9,3）,四邊形ABC。為矩形,

:.AD=BC=3,CD=AB=9

設(shè)點E的坐標(biāo)為（x,3）,

,:DE=BE,

AE=x,BE=9-x,

在RtAAOE中，AE2+AO2=0E2,

?,.X2+32=（9-X）2,

解得x=4,

二￡（4,3）；

同理可得F（5,0）,

設(shè)直線EF的解析式為

4k+b=3k=-3

弘+人?！獾?/p>

h=\5

???直線EF的解析式為y=-3x+\5

（3）過點E作EHLO。于點”，

-、B

-cl

V￡(4,3),尸(5,0),

EH=3,FH=OF-OH=5-4=1,

EF=>JEH2+FH2=>/32+l2=Vio-

【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握矩形的性質(zhì)與折疊問題是解題的關(guān)鍵.

20.(1)20(2)y=-1.r+10(3)存在，M(8,0)

【分析】(1)由點的坐標(biāo)的特點可得。。=12,5。=16,由矩形的性質(zhì)可得/3。0=90。，

再利用勾股定理即可求出。3的長：

(2)設(shè)OD=x,由矩形的性質(zhì)得出AO=16-x,由折疊的性質(zhì)得出?4三?E，根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=EB=12,4D=DE=16-X,/BAD=90。=ZBED,再結(jié)合勾

股定理求出。點坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)過點E作EG，x軸與點G,過點后作&W〃8D,交工軸于點過點M作MN〃￡?,

交直線于點M此時，四邊形MNDE是平行四邊形，而〃小，通過證明￡(笫BOC,

利用相似三角形的性質(zhì)可求出點E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線解析式即可求解.

解：(1);在矩形A3CO中，點8的坐標(biāo)是(-12,16),

ACO=12,BC=16,ZBC<9=90°,

：.OB=4CO1+BC1=20：

(2)；四邊形ABC。是矩形，

AB=OC=\2,AO=BC=\6,440=90°,

設(shè)O￡)=x,

/.A￡)=16-x,

??,矩形ABCO沿直線3。折疊，使得點A落在對角線08匕的點E處,

:.BDA三BDE，

:.AB=EB=12,AD=DE=16-x,ZBAD=90。=/BED,

NDEO=90。,

/.DE2+OE2=OD2,

03=20,

?.OE=OB—EB=8,

/.(16-X)2+82=X2,

解得x=10，

0(0,10),

設(shè)直線BO解析式為丁=履+3

、、[}6=—\2k+b

把8(z-12,16),0(z0,10)代入，得]0q，

k=--

解得2,

b=lO

/.直線B￡＞解析式為y=-gx+10；

(3)過點E作EG_Lx軸與點G,過點后作EM〃班)，交x軸于點M,過點M作MN//ED,

交直線8。于點M

ZEOG=ZBOC

EOGBOC

.EOEGOG

~BO~~BC~~OC

EO=8,BO=20,BC=16,OC=12

8EGOG

20~~16~~12

3224

/.EG==,OG=—

55

田，

???直線B￡＞解析式為y=-gx+10,

設(shè)直線EM解析式為y=-gx+r，

把點44'高代入'

解得r=4,

，直線EM解析式為y=-gx+4,

當(dāng)y=0時，x=8,

【點撥】本題主要考查了四邊形綜合問題，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和

性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)，折疊的

問題利用勾股定理構(gòu)造直角三角形進行求解，分情況討論平行四邊形的邊及時角線的情況.

21.(l)y=-x2+4x；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-百)秒或2百秒或(5+t)秒

【分析】(1)根據(jù)拋物線過原點，對稱軸為直線*=2,待定系數(shù)求解析式即可求解；

(2)設(shè)8。,-丁+4月.三點A,0,8構(gòu)成以為。8為斜邊的直角?:角形，勾股定理

5153

得出。42+他2=0*,3(；，7).繼而得出直線03的解析式為3，=?,當(dāng)》=2時，y=3,

242

得出AP=4-3=1,進而即可求解；

(3)分三種情況討論，①點A在*軸正半軸上；②點A在＞軸負半軸上，③點A在x軸

負半軸上，分別畫出圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，勾股定理即可求解.

c=0

(1)解；由題意得1—b「

,2x(-1)-

b=4

解得

c=0

???拋物線的解析式為y=-X?+4x；

y=-x2+4x=-(x-2)2+4,

?.?頂點A的坐標(biāo)為(2,4)；

設(shè)B(x,-x2+4x).

?.?三點A,O,B構(gòu)成以05為斜邊的直角三角形，

???OA2+AB2=OB2,

即22+42+(X-2)2+(-x2+4x-4)2=*2+(-X2+4x)2,

整理，得2f-9x+10=0,

解得占=g,超=2(舍去)，

?用5,15

/(丁了).

設(shè)直線0B的解析式為y="，則：%=，，

3

解得&=￡，

3

???尸二工.

2

當(dāng)x=2時，y=3,

.?.AP=4-3=1,

.,.￡=1+1=1(秒);

(3)分三種情況：

①若點4在X軸正半軸上，如圖2,

可得仍+4尸=&2,

即(4T)2+(26-2)2=*,

解得r=5-石；

②若點A在y軸負半軸上，如圖3,連接AA交08丁月

可得OA=OA=2石,

??.NOAA=N0AA1,

。4//AP,

.?.N0AA=NA|AP,

NOAA=ZA{AP,

AA.10P,

：.ZOEA=ZPEA=90°.

在,。4E與心RLE中,

ZOAE=ZPAE

?AE=AE

ZOEA=Z.PEA

OAE絲ME(ASA),

OA=PA-25/5,

：.t=2y/5；

③若點A在X軸負半軸上，如圖4.

可得9+4。=,

即（f-4）2+（2。+2）2=*,

解得f=5+亞；

綜上所述，所有滿足條件的t的值為（5-石）秒或2石秒或（5+石）秒.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，特殊三角形問題，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

o5

22.⑴①y=一②彳⑵20

x2

【分析】（1）①首先求出AE的長，從而得出點E的坐標(biāo)，即可得出k的值；

②利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征求出Ck的長，設(shè)OG=x,則CG=4-x,FG

=x，利用勾股定理列方程，從而解決問題；

（2）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征求出CF=2m,再利用矩形面積減去AOCF

和ABEF的面積，從而表示出四邊形OAEF的面積，再利用配方法求出最大值.

⑴解：①；BE=3AE,AB=4,

：.AE=l9BE=3,

???E(8,1),

.?.k=8xl=8,

Q

.,?反比例函數(shù)表達式為產(chǎn)一；

X

②當(dāng)y=4時，x=2,

.??尸(2,4),

:.CF=2,

設(shè)OG=JG則CG=4-x,FG=x,

由勾股定理得，

(4-x)2+22=X2,

解得X=g，

2

**?OG=—；

2

(2)解：??,點區(qū)/在反比例函數(shù)y=：(x>。)的圖象上，

/.CFx4=8m,

:?CF=2m,

/.四邊形O4E/7的面積為8x4-gx4x2〃?-；x(8-2〃2)x(4-7??)

--nr+4z??+16=-(//2-2)2+20,

V0</n<4,

???當(dāng)〃2=2時，四邊形OAEE的面積最大為20.

【點撥】本題考查待系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，

二次函數(shù)的最值，熟練掌握用待系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

23.(1)y=^x2-2x(2)①證明見分析；②也

22

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①先證明OC=AC,得到NCQ4=NC4O,由折疊的性質(zhì)可知NC4'B=NC4B,

則=再由/ODC=NA'O8