高等數(shù)學（第二版）課件：正項級數(shù)

高等數(shù)學（第二版）正項級數(shù)無窮級數(shù)定義1設(shè)無窮級數(shù)，如果，則稱無窮級數(shù)為正項無窮級數(shù)。定理1正項無窮級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有上界。對于正項無窮級數(shù)，其部分和數(shù)列是單調(diào)增加數(shù)列，由數(shù)列極限的存在準則可知：若單調(diào)增加數(shù)列有上界，則存在，否則。由此可得到下述定理：（1）若正項無窮級數(shù)收斂，則正項無窮級數(shù)也收斂。（2）若正項無窮級數(shù)發(fā)散，則正項無窮級數(shù)也發(fā)散。值得注意的是：比較判別法的條件，其實不必從起始就要求上述不等式成立。因為由上一節(jié)性質(zhì)3可知，改變一個無窮級數(shù)的有限項并不影響該無窮級數(shù)的收斂性，所以只要從某一項起

就可以了。定理2（比較判別法）若無窮級數(shù)和都是正項無窮級數(shù)，且滿足解：由題設(shè)可知，所給定無窮級數(shù)的一般項為，且，因此無窮級數(shù)為正項無窮級數(shù)。此外，當時，有，故所以為收斂。由比較判別法可知收斂。取，則為幾何級數(shù)，其公比，例1

試判斷無窮級數(shù)的斂散性。一般稱正項無窮級數(shù)用比較判別法判定一個正項無窮級數(shù)的斂散性時，經(jīng)常將需判斷的無窮級數(shù)的一般項與幾何級數(shù)或-級數(shù)的一般項比較，然后確定該無窮級數(shù)的斂散性?？梢宰C明：（1） 當時，-級數(shù)收斂。（2） 當時，-級數(shù)發(fā)散。為-級數(shù)（或稱廣義調(diào)和函數(shù)）。前述的調(diào)和級數(shù)是廣義調(diào)和級數(shù)時的特殊情形。例2

試判斷無窮級數(shù)的斂散性。解：由于所給定無窮級數(shù)的一般項為，且滿足令，則為去掉第一項的調(diào)和級數(shù)，可知發(fā)散。由比較判別法可知也發(fā)散。解：已知所給定無窮級數(shù)的一般項為，且滿足令，則為幾何級數(shù)，公比為，可知級數(shù)收斂，故由比較判別法，可知也收斂。例3試判斷無窮級數(shù)的斂散性。注意到級數(shù)的基本性質(zhì)2與性質(zhì)3，即級數(shù)的各項同乘以不為零的常數(shù)，去掉或添加有限項仍不改變級數(shù)的收斂性。由此可以得到下述更實用的結(jié)果。（2）若正項無窮級數(shù)發(fā)散，且存在，當時，有則正項無窮級數(shù)也發(fā)散。推論（1）若正項無窮級數(shù)收斂，且存在，當

時，有，則正項無窮級數(shù)也收斂。定理2.7.2’（極限形式的比較判別法）若無窮級數(shù)

和都是正項無窮級數(shù)，且，則正項無窮級數(shù)與有相同的收斂性。定理3（比值判別法）若正項無窮級數(shù)，滿足條件（1）若，則無窮級數(shù)收斂；（2）若（或），則無窮級數(shù)發(fā)散。注：若，則本判別法不能判斷所給定的無窮級數(shù)的斂散性。例4試判斷無窮級數(shù)的斂散性。由比值判別法可知：無窮級數(shù)為收斂的。解：已知正項無窮級數(shù)的一般項為，由于解：已知的正項無窮級數(shù)的一般項為，由于由比值判別法可知：無窮級數(shù)發(fā)散。例5試判斷無窮級數(shù)的斂散性。解：該無窮級數(shù)的一般項為，由于所以比值判別法失效，此時可考慮運用比較判別法。因為