專題11.9 三角形（全章知識梳理與考點分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

專題11.9三角形（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】三角形的有關概念和性質1.三角形三邊的關系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．2.三角形按“邊”分類：3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.【知識點二】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性．

【知識點三】三角形的內角和與外角和1.三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個銳角互余；2.有兩個角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識點四】多邊形及有關概念

1.多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．3.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

(1)從n邊形一個頂點可以引（n－3）條對角線，將多邊形分成（n－2）個三角形；(2)n邊形共有條對角線．

【知識點五】多邊形的內角和及外角和公式

1.內角和公式：n邊形的內角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關.

第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用三角形三邊關系求邊或證明【例1】（23-24七年級下·江蘇揚州·期中）已知的三邊長是．（1）若，且三角形的周長是小于22的偶數(shù)，求的值；（2）化簡．【答案】(1)或；(2)【分析】本題考查了三角形三邊關系、化簡絕對值，熟練掌握三角形三邊關系是解此題的關鍵．（1）由三角形三邊關系結合三角形的周長是小于22的偶數(shù)，得出，即可得出答案；（2）由三角形三邊關系得，再利用絕對值的性質化簡即可．（1）解：的三邊長是，，，即，三角形的周長是小于22的偶數(shù)，，或；（2）解：由三角形三邊關系得：，，，．【變式1】（23-24九年級下·湖南長沙·開學考試）在周長為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，則x的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了三角形三邊關系、一元一次不等式組的解法，根據(jù)三角形的三邊關系和最短邊是x列出不等式組，即可求出答案．解：∵周長為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，∴第三邊長為，∴，或∴或解得，或∵最短邊是x，∴解得，，綜上可知，．故選：B．【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期中）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長，題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形，解題的關鍵是驗證能否組成三角形．解：若3為腰長，7為底邊長，∵，∴三角形不存在，若7為腰長，3為底邊長，則符合三角形的兩邊之各大于第三邊，∴這個三角形的周長，故答案為：．【題型2】利用三角形三條重要線段進行求值或證明【例2】（22-23七年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖：中，點D在上，且，E是的中點，交于點F.

（1）寫出圖中哪條線段是哪個三角形的角平分線，哪條線段是哪個三角形的中線？（2）若，且的面積為3，求出的面積.【答案】(1)是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線(2)18【分析】（1）根據(jù)三角形角平分線、中線的定義即可求解；（2）根據(jù)三角形中線的性質求解．（1）解：由題意知，是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線．（2）解：的面積為3，E是的中點，，，．【點撥】本題考查三角形有關的線段，三角形中線的性質，解題的關鍵是掌握“等高三角形的面積比等于底邊長度之比”．【變式1】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，為的中線，為的中線．若的面積為12，，則中邊上的高為（）A．1 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形的面積得到的面積是3，設中邊上的高h，列得，求出h即可．解：∵為的中線，的面積為12，∴的面積為6，∵為的中線，∴的面積是3，設中邊上的高h，∵，∴，∴，故選：D．【點撥】此題考查了三角形中線的性質：三角形的中線平分三角形的面積，熟記該性質是解題的關鍵．【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，則∠DAE=.【答案】10°【分析】在△ABC中利用三角形內角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，結合角平分線的性質可得出∠CAD的度數(shù)，在△ACE中利用三角形內角和定理可求出∠CAE的度數(shù)，再根據(jù)∠DAE=∠CAD-∠CAE即可求出結論．∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°．∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAC=40°.∵∠ACB=60°，AE⊥BC，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，∴∠AEC=90°，∠CAE=180°-90°-60°=30°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°.故答案為10°．【點撥】本題考查了三角形內角和定理以及角平分，根據(jù)三角形內角和定理（角平分線的性質）求出∠CAD、∠CAE的度數(shù)是解題的關鍵．【題型3】利用三角形內角和定理進行求值或證明【例3】（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，中，是上一點，過作交于點，是上一點，連接．若．（1）求證：．（2）若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得，推得，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明；（2）根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得，再根據(jù)角的平分線可得，根據(jù)三角形內角和是即可求解．（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵平分，∴，在中，，∴．故的度數(shù)為．【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，將長方形紙片沿對角線折疊，點C的對應點為點E，交于點O．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質，長方形的性質以及三角形內角和定理，根據(jù)折疊的性質，可以得到的度數(shù)，然后再根據(jù)平行線的性質得到的度數(shù)，最后由三角形內角和定理可得結論．解：由折疊的性質得到，，∵，∴，∵四邊形是長方形，∴，∴，∴故選：A．【變式2】（2024七年級下·江蘇·專題練習）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點重合于點，，，斜邊，垂足為，則．【答案】/15度【分析】本題考查了三角形內角和定理，垂線，角的計算，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．先在中，利用直角三角形的兩個銳角互余求出，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用對頂角相等可得，從而利用三角形內角和定理求出，最后利用角的和差關系進行計算，即可解答．解：，，，，，，，，，，，故答案為：．【題型4】利用三角形外角性質進行求值或證明【例4】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線，延長，分別交于點F，P．（1）求證：；（2）小軒同學探究后提出等式：，請通過推理論證判斷“小軒發(fā)現(xiàn)”是否正確；（3）若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)“小軒發(fā)現(xiàn)”正確，理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的外角的性質即可證明結論；（2）根據(jù)（1）中的結論變形后可得結論；（3）根據(jù)三角形的外角和角平分線的定義，綜合已知，等量代換可得結論．（1）證明：∵是的平分線，∴．∵是的平分線，∴，∴；（2）由（1）知，∴，即：∴“小軒發(fā)現(xiàn)”是正確的；（3）在中，，在中，，∴．∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點撥】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和，三角形的外角性質的應用，能正確運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．【變式1】（2024·河南·三模）如圖所示的是一輛自動變速自行車的實物圖，圖2是抽象出來的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點P，，，，則的大小為（

）A． B． C． D．85°【答案】C【分析】由平行線的性質得到，再由三角形外角定理即可求解．此題考查了平行線的性質，熟記兩直線平行，同位角相等是解題的關鍵．解：，，，，，，故選：C．【變式2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，從A觀察公路的走向是北偏東，在A的北偏東方向上有一點C，在點B處測得點C在北偏東的方向上．（1）點B位于點C的方向上；（2）°．【答案】南偏西（或西偏南）【分析】本題考查了方向角，平行線的性質，三角形外角的性質等知識．熟練掌握方向角，平行線的性質，三角形外角的性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)方向角求解作答即可；（2）如圖，由題意知，，則，，，根據(jù)，求解作答即可．（1）解：∵點B處測得點C在北偏東的方向上，∴點B位于點C的南偏西方向上，故答案為：南偏西；（2）解：如圖，由題意知，，∴，，∴，∴，故答案為：．【題型5】利用直角三角形兩銳角關系進行求值【例5】如圖，中，．（1）試說明是的高；（2）如果，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由等量代換可得到，故是直角三角形，即；（2）由面積法可求得的長．（1）∵∴∵∴∴是直角三角形，即，∴是的高；（2）∵∴，∵，∴．【點撥】此題考查了同角的余角相等，三角形的面積，直角三角形的判定，正確理解直角三角形的判定是解題的關鍵．【變式1】（22-23八年級上·山東德州·階段練習）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計算各個角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無直角就不是直角三角形．解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意故答案為：C【點撥】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據(jù)三個角的數(shù)量關系進行細致的計算是解題的關鍵．【變式2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）在直角三角形中，比的3倍還多，則的大小為．【答案】或【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是注意進行分類討論，分兩種情況：當為直角時，當為直角時，分別求出結果即可．解：當為直角時，，當為直角時，，∵比的3倍還多，∴，∴，∴，∴，故答案為：或．【題型6】利用多邊形內角和與外角和求邊數(shù)或度數(shù)【例6】（23-24八年級下·河南平頂山·期中）已知一個多邊形的每一個內角都比它相鄰的外角的4倍多．（1）求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內角和．（2）求這個多邊形的對角線的條數(shù)．【答案】(1)這個多邊形的內角和是，是十二邊形；(2)54【分析】本題主要考查多邊形內角與外角的知識點，此題要結合多邊形的內角和公式尋求等量關系，構建方程求解即可．（1）設外角為，則內角為，根據(jù)內角與相鄰的外角是互補關系可得，解方程可得的值，再利用外角和外角的度數(shù)可得邊數(shù)；利用內角和公式可得該多邊形內角和（2）利用公式解答即可．解：（1）設外角為，由題意得：，解得：，，，這個多邊形的內角和是，是十二邊形；（2）時，對角線的條數(shù)為：．【變式1】（23-24七年級下·四川德陽·階段練習）如圖，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了四邊形的內角和，垂直的定義，角平分線的定義．利用平角的定義結合角平分線的定義求得，再利用四邊形的內角和定理即可求解．解：∵和的平分線交于點F，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【變式2】（23-24八年級下·浙江湖州·階段練習）若一個多邊形的內角和是它的外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】7/七【分析】本題考查了多邊形的內角和與外角和，熟練掌握多邊形內角和的公式是解題的關鍵．設這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內角和公式和外角和為列方程求解即可得出答案．解：設這個多邊形的邊數(shù)為邊形的內角和為，多邊形的外角和為解得這個多邊形的邊數(shù)為故答案為：7．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質．首先根據(jù)平行線的性質得出，再根據(jù)垂直與三角形的內角和即可求出．解：∵，，∴，∵，∴，∴故選：B．【例2】（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．【答案】【分析