專題11.1 三角形的邊（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題11.1三角形的邊（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形的相關(guān)概念（1）三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.（2）三角形的基本元素：基本元素三個(gè)頂點(diǎn)三條邊三個(gè)內(nèi)角表示方法點(diǎn)A、B、C必須用大寫(xiě)字母表示方法1：線段AB、BC、AC.A，B，C.方法2：頂點(diǎn)所對(duì)的邊用a,b,c表示.圖示三條邊AB、BC、AC(或a、b、c)，三內(nèi)角ABC頂點(diǎn)：點(diǎn)A、B、C（3）三角形的表示方法：頂點(diǎn)A、B、C的三角形，記作ABC，讀作“三角形ABC”特別指出：符號(hào)“”代表三角形，其后表示三角形的字母必須用大寫(xiě)字母表示.【例1】三角形是指()A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義解答即可．解：因?yàn)槿切蔚亩x是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．【知識(shí)點(diǎn)二】三角形的分類等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角等邊三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形是等邊三角形.【例2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）若一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度比為，周長(zhǎng)為cm，則這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為，按邊分，這個(gè)三角形是三角形．【答案】8cm，12cm，12cm等腰【分析】本題考查了三角形的分類，根據(jù)題意設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)度比為，即可列方程求解．解：設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)度比為，則：，解得：∴故答案為：①8cm，12cm，12cm②等腰【知識(shí)點(diǎn)三】三角形三邊關(guān)系圖示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言理論依據(jù)三角形兩邊之和大于第在邊a+b>c;b+c>a;a+c>b兩點(diǎn)之間，線段最短。三角形兩邊之差小于第三邊a-b≮c;b-c≮a;a-c≮b【例3】（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，，，則的值可能是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分別利用三邊關(guān)系確定的取值范圍，難度不大．分別在兩個(gè)三角形中利用三角形的三邊關(guān)系得：、，從而得到，找到適合的值即可．解：在中，，，所以根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：，即：①，在中，，，所以根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：，即：②，由①②得：，只有11適合，故選：D．【知識(shí)點(diǎn)四】三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性.特別指出：穩(wěn)定性是三角形所持有的特征，在生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用，四邊形不具有穩(wěn)定性.【例4】（23-24八年級(jí)上·重慶渝中·期末）普通家用人字梯一般都會(huì)在兩旁分別設(shè)計(jì)一根“拉桿”，這樣設(shè)計(jì)是利用（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短C．三角形具有穩(wěn)定性 D．四邊形具有不穩(wěn)定性【答案】C【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的穩(wěn)定性，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性原理．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可求解．解：在人字梯的中間設(shè)計(jì)的拉桿，可從不穩(wěn)定的四邊形中構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定的三角形，從而達(dá)到穩(wěn)定人字梯的作用．故選：．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】構(gòu)成三角形的條件【例1】（22-23八年級(jí)上·新疆吐魯番·階段練習(xí)）若a，b，c為的三邊長(zhǎng)，且a，b滿足．（1）求c的取值范圍；（2）若第三邊長(zhǎng)c是整數(shù)，求c的值．【答案】(1)；(2)c的值為，，【分析】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性和三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用非負(fù)性求出，的值．（1）利用非負(fù)性求出，的值，再利用三角形三邊關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)第三邊長(zhǎng)c是整數(shù)，求c的值即可．（1）解：∵，，，解得，，，，∴．（2）解：∵是整數(shù)，的值為，，．【舉一反三】【變式1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知三條線段的長(zhǎng)分別是6，m，8，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．利用三角形三邊關(guān)系求出m的取值范圍，從中找出最小的整數(shù)即可．解：∵三條線段的長(zhǎng)分別是6，m，8，它們能構(gòu)成三角形，∴，∴，∴整數(shù)m的最小值是3．故選：B．【變式2】（22-23八年級(jí)上·江西贛州·期中）給出三條線段：、、；三邊之比為；、、；、、．其中能組成三角形的有（填序號(hào)）．【答案】【分析】本題考查了組成三角形的條件，①滿足三角形三邊關(guān)系，據(jù)此可判斷是否符合題意；可設(shè)三邊長(zhǎng)度為、、其中，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，同理判斷、，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解：因?yàn)?，，能夠組成三角形；②設(shè)三邊長(zhǎng)度為、、其中，，能組成三角形；③，不能組成三角形；④，能組成三角形．故答案為：．【題型2】求等腰三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)（分類討論思想）【例2】（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）在等腰中，三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，并且滿足，求的周長(zhǎng)．【答案】的周長(zhǎng)是13或11【分析】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解，的值，再分類討論，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．解：∵，∴，又∵，，∴，，∴，，又∵a，b，c分別是等腰的邊，①當(dāng)時(shí)，，符合三角形的三邊關(guān)系，∴的周長(zhǎng)是：，②當(dāng)時(shí)，，符合三角形的三邊關(guān)系，∴的周長(zhǎng)是：，綜上分析可知，的周長(zhǎng)是13或11．【舉一反三】【變式1】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，腰長(zhǎng)為x，則x可能的值是（

）A．9 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】由三邊關(guān)系定理，得，求解即可.解：腰長(zhǎng)為x，則底為，解得；故選：C【點(diǎn)撥】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，一元一次不等式求解；由三邊關(guān)系定理構(gòu)建不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2】一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5或6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是．【答案】16或17．解：由于未說(shuō)明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分兩種情況討論：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為6時(shí)，周長(zhǎng)為5+5+6=16；（2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時(shí)，周長(zhǎng)為5+6+6=17．∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是16或17．【題型3】利用三角形三邊關(guān)系化簡(jiǎn)【例3】（23-24八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）已知，，是三邊的長(zhǎng)．（1）若，，滿足，試判斷的形狀；（2）化簡(jiǎn)．【答案】(1)等邊三角形；(2)【分析】本題考查化簡(jiǎn)絕對(duì)值、不等式的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系和三角形分類；（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得出，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用三角形的三邊關(guān)系得到，，，然后去絕對(duì)值符號(hào)后化簡(jiǎn)即可．解：（1），且，，為等邊三角形；（2），，是的三邊長(zhǎng)，，，，，，，．【舉一反三】【變式1】（22-23八年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求a的取值范圍，進(jìn)而得到化簡(jiǎn)結(jié)果．解：由三角形三邊關(guān)系定理得，即．∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川眉山·期中）若，，是的三邊，試化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，絕對(duì)值的代數(shù)意義，不等式的性質(zhì)．根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，，然后再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的任意兩邊之和大于第三邊．解：∵，，是的三邊，∴，，∴，，∴．故答案為：．【題型4】利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行證明【例4】（22-23八年級(jí)上·山西忻州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，求證：．

【分析】分別在兩個(gè)三角形中利用兩邊之和大于第三邊的得到不等式，然后相加可得結(jié)論．證明：在中，，在中，，∴，即．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到不等關(guān)系．【舉一反三】【變式1】（2023八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．

【分析】在中運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得，再根據(jù)線段的和差可得，可得：；同理可得：，最后運(yùn)用等量代換即可證明結(jié)論．證明：∵在中，可得，，∴可得：．∵在中，可得③，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，找準(zhǔn)三角形并靈活運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知O為內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：．

【分析】對(duì)于證明線段之間不等關(guān)系的題目，常常把線段轉(zhuǎn)化為一個(gè)或多個(gè)三角形的邊，然后利用三角形三邊關(guān)系證明．證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．∵三角形兩邊的和大于第三邊，∴，①，②①+②，得，即．同理可得，，∴，即．∴，，，∴，即．∴．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行證明．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度（單位：cm），其中能搭成一個(gè)三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析判斷．解：A、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法：看較小的兩個(gè)數(shù)的和能否大于第三個(gè)數(shù)．【例2】（2021·黑龍江大慶·中考真題）三個(gè)數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，則的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置得到，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，求解不等式組即可．解：∵3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，∴，解得，∵這三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，∴，解得，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（21-22七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）閱讀下列材料：解方程組：解：由①得x﹣y＝1

③，將③代入②，得4×1﹣y＝5，解這個(gè)一元一次方程，得y＝﹣1從而求得．這種思想被稱為“整體思想”．請(qǐng)用“整體思想”解決下面問(wèn)題：（1）解方程組：；（2）在（1）的條件下，若x，y是△ABC兩條邊的長(zhǎng)，且第三邊的長(zhǎng)是奇數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)16或18或20【分析】（1）由第一個(gè)方程求出2x-3y的值，代入第二個(gè)方程求出y的值，進(jìn)而求出x的值，即可確定出方程組的解．（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，從而確定第三邊的值，即可解答．（1）解：由①得：2x﹣3y＝2③，將③代入②得：1+2y＝9，即y＝4，將y＝4代入③得：x＝7，則方程組的解為．（2）解：∵△ABC兩條邊長(zhǎng)是7和4，∴第三邊長(zhǎng)小于11并且大于3，∵第三邊的長(zhǎng)是奇數(shù)，∴第三邊長(zhǎng)是5或7或9，∴△ABC的周長(zhǎng)是7+4+5＝16或7+4+7＝18或7+4+9＝20．∴△ABC的周長(zhǎng)為16或18或20．【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組和三角形的三邊關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是解二元一次方程組．【例2】（22-2