北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題 數(shù)學(xué) 含解析

通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2024年1月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集，，則（）A B.C.或 D.或2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.若且，則（）A. B. C. D.4.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)定義域和值域相同的是（）A. B. C. D.5.已知，，，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.7.若函數(shù)是奇函數(shù)，則可取一個(gè)值為（）A. B. C. D.8.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件9.國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表是由我國(guó)第一個(gè)眼科光學(xué)研究室的創(chuàng)辦者繆天榮發(fā)明設(shè)計(jì)的，如圖是5米測(cè)距下的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表的一部分.圖中左邊一列數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)記錄法記錄的近似值L：4.0，4.1，4.2…對(duì)應(yīng)右邊一列數(shù)據(jù)為小數(shù)記錄法記錄的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足（K為常數(shù)）.某同學(xué)測(cè)得視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為0.6，則其標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表A.4.8 B.4.9 C.5.0 D.5.110.設(shè)函數(shù)，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)和的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B.，當(dāng)時(shí)，使得恒成立C.，使得成立D.當(dāng)時(shí)，方程有解第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是__________.12.計(jì)算：__________．13.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________.14.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則__________；當(dāng)由變化到時(shí)，線段掃過的面積是__________.15.設(shè)函數(shù)（且）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；②當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解；③對(duì)任意實(shí)數(shù)a（且），的值域?yàn)?；④存在?shí)數(shù)a，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)，.（1）求，的值；（2）求的值.17.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0

02

0（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.18.若函數(shù).從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在.（1）求解析式與最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最值.條件①：，條件②：，恒成立；條件③：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.注：如果選擇條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.函數(shù)，.（1）若為偶函數(shù)，求的值及函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.某城市2024年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)（簡(jiǎn)稱AQI）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系滿足如圖連續(xù)曲線，并測(cè)得當(dāng)天AQI的取大值為106.當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分.根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于或等于101時(shí)，空氣就屬于污染狀態(tài).（1）求函數(shù)的解析式；（2）該城市2024年1月1日這一天哪個(gè)時(shí)間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由.21.已知有個(gè)連續(xù)正整數(shù)元素的有限集合（，），記有序數(shù)對(duì)，若對(duì)任意，，，且，A同時(shí)滿足下列條件，則稱為元完備數(shù)對(duì).條件①：；條件②：.（1）試判斷是否存在3元完備數(shù)對(duì)和4元完備數(shù)對(duì)，并說明理由；（2）試證明不存在8元完備數(shù)對(duì).通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2024年1月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集，，則（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)槿?，，所以故選：C2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)初等基本函數(shù)的單調(diào)性，判斷各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以滿足條件，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以不滿足條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以不滿足條件，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.若且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】因?yàn)榍?，?duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)不成立；對(duì)于B選項(xiàng)：?jiǎn)握{(diào)遞減，所以不成立；對(duì)于C選項(xiàng)：在單調(diào)遞增，成立；對(duì)于D選項(xiàng)：舉反例，不成立．故選：C．4.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】易知，且，，故其定義域與值域均為.顯然A選項(xiàng)定義域與值域均為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且恒成立，即其定義域與值域均為，故B錯(cuò)誤；，即其定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故C錯(cuò)誤；，且，故其定義域與值域均為，即D正確.故選：D5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出的范圍，再比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，所以；，；，；所?故選：D6.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，故函?shù)零點(diǎn)的區(qū)間是.故選：C7.若函數(shù)是奇函數(shù)，則可取一個(gè)值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值，從而解得.【詳解】解：根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，令，可得的一個(gè)值為.故選：B8.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別解出、，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】由，得，由，得，又，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B9.國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表是由我國(guó)第一個(gè)眼科光學(xué)研究室的創(chuàng)辦者繆天榮發(fā)明設(shè)計(jì)的，如圖是5米測(cè)距下的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表的一部分.圖中左邊一列數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)記錄法記錄的近似值L：4.0，4.1，4.2…對(duì)應(yīng)右邊一列數(shù)據(jù)為小數(shù)記錄法記錄的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足（K為常數(shù)）.某同學(xué)測(cè)得視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為0.6，則其標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表A.4.8 B.4.9 C.5.0 D.5.1【答案】A【解析】【分析】利用公式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)關(guān)系式即可.【詳解】由題意可知，所以，故，故A正確.故選：A10.設(shè)函數(shù)，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)和的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B.，當(dāng)時(shí)，使得恒成立C.，使得成立D.當(dāng)時(shí)，方程有解【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷AB；根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象即可判斷C；根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象都過過點(diǎn)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，函數(shù)和的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，所以不存在，當(dāng)時(shí)，使得恒成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，作出函數(shù)，的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在的圖象的上方，函數(shù)的圖象在的圖象的下方，所以，，所以不存在，使得成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即直線與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線斜率更小，直線與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，方程有解，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的限制條件可得答案.【詳解】由題意得，得，所以定義域.故答案為：12計(jì)算：__________．【答案】1【解析】【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可詳解】.故答案為：113.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________.【答案】1【解析】【分析】令，直接求解，結(jié)合函數(shù)定義域，即可得出函數(shù)零點(diǎn)，確定結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)椋?，則或，解得或（舍）.故答案為：114.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則__________；當(dāng)由變化到時(shí)，線段掃過的面積是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，即可求得的值，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，即可確定扇形的圓心角，從而可以求得線段掃過的面積.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)，此時(shí)，，所以，且，所以，所以當(dāng)由變化到時(shí)，線段掃過的面積就是扇形的面積，即，故答案為：，.15.設(shè)函數(shù)（且）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；②當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解；③對(duì)任意實(shí)數(shù)a（且），的值域?yàn)?；④存在?shí)數(shù)a，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分類討論解方程可判定②，利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定③，利用分段函數(shù)的性質(zhì)可判定④.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則方程，若，若，與前提矛盾，舍去，所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，故①正確；當(dāng)時(shí)，若，若，易知在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí),，且在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，作出函數(shù)與的草圖如下，可知當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解，故②正確；因?yàn)榍?，可知恒成立，若，由上可知在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，此時(shí)；若，易知在上單調(diào)遞增，即，（i）當(dāng)時(shí)，，則，（ii）當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，此時(shí)；則當(dāng)時(shí)，取不到最小值，故③錯(cuò)誤；由上可知和時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：難點(diǎn)在第二個(gè)結(jié)論和第三個(gè)結(jié)論，需要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)分類討論參數(shù)的范圍，討論容易遺漏.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義計(jì)算即可；（2）利用余弦的差角公式計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)題意可知：，，則，同理，，則；【小問2詳解】易知，所以.17.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0

02

0（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）由五點(diǎn)法，可求周期，從而求出，代點(diǎn)求出，從而求出的解析式.（2）根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出.【小問1詳解】由表格知，且，即，故，由，則，故，則.【小問2詳解】由題意知，由，，所以，，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.18.若函數(shù).從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在.（1）求的解析式與最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最值.條件①：，條件②：，恒成立；條件③：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1），（2）最大值；最小值【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，若選條件①可推得函數(shù)不存在，選擇條件②③，可求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到最小正周期；（2）由可得，借助正弦函數(shù)性質(zhì)可求出最值.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值?所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在.若選條件②：因?yàn)椋?故在處取最大值，即，，所以，因?yàn)?，故，所以，最小正周期為?若選條件③：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以，所以，，即，，因?yàn)?，?所以，最小正周期為：.【小問2詳解】因?yàn)?，則，故當(dāng)，即時(shí)，取最大值；故當(dāng)，即時(shí)，取最小值.19.函數(shù)，.（1）若為偶函數(shù)，求的值及函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)定義，帶入函數(shù)計(jì)算，利用換元法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行最小值的求解即可.（2）由于函數(shù)圖像恒在軸上方，所以函數(shù)，進(jìn)行參數(shù)分離，得到恒成立，結(jié)合換元法進(jìn)行討論即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù).所以恒成立，即恒成立.即恒成立，解得，所以，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸上方，故當(dāng)時(shí)恒成立.即恒成立.令，令，.因?yàn)?，?duì)稱軸為，故當(dāng)即時(shí)，取最大值4，故.20.某城市2024年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)（簡(jiǎn)稱AQI）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系滿足如圖連續(xù)曲線，并測(cè)得當(dāng)天AQI的取大值為106.當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分.根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于或等于101時(shí)，空氣就屬于污染狀態(tài).（1）求函數(shù)的解析式；（2）該城市2024年1月1日這一天哪個(gè)時(shí)間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由.【答案】20.21.這一天在這個(gè)時(shí)間