北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

通州區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2024年11月本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若直線與直線平行，則（）A.2 B. C. D.2.若向量，，滿足條件，則（）A. B. C.0 D.23.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4.已知直線的方向向量與平面的法向量分別為，，則（）A. B. C.或 D.相交但不垂直5.法向量為的平面內(nèi)有一點(diǎn)，則平面外點(diǎn)到平面的距離為（）A.1 B.2 C. D.6.過點(diǎn)作圓的兩條切線，則這兩條切線的夾角為（）A. B. C. D.7.圓和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切8.如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，若，則（）A. B. C. D.29.如果，那么“”是“直線不通過第三象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.如圖，空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，定義.正方體的棱長(zhǎng)為3，E為棱BC的中點(diǎn)，平面yDz內(nèi)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，M，分別滿足，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知向量，分別是直線，的一個(gè)方向向量，若，則________.12.過點(diǎn)的直線平分圓，則這條直線的傾斜角為________.13.直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB最短時(shí)，________.14.已知兩點(diǎn)，和圓，則直線AB與圓C的位置關(guān)系為________.若點(diǎn)M在圓C上，且，則滿足條件的點(diǎn)M共有________個(gè).15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在點(diǎn)P，滿足，則下列正確結(jié)論的序號(hào)是________.①滿足條件的點(diǎn)P一定有兩個(gè)；②三棱錐的體積是三棱柱體積的；③三棱錐的體積存在最小值；④當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，.（I）求直線BC的方程；（II）求過點(diǎn)A與直線BC垂直的直線l的方程；（III）求直線BC與直線l交點(diǎn)的坐標(biāo).17.（本小題13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，且圓M是以AB為直徑的圓.（I）求圓M的方程；（II）若直線與圓M相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.（本小題15分）如圖，在棱長(zhǎng)是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn).（I）證明：平面；（II）求異面直線EF與所成角的大小.19.（本小題15分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，E，M分別為棱PB，PC的中點(diǎn).（I）求線段BM的長(zhǎng)；（II）求平面PDM和平面DME夾角的余弦值；（III）在線段AP上是否存在點(diǎn)G，使得直線DG在平面DME內(nèi)，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20.（本小題15分）如圖①，在直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將沿BD折起至，使平面平面BCD，得到如圖②所示的幾何體，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成以下問題.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.圖①圖②（I）求證：；（II）求直線與平面所成角的正弦值.21.（本小題14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C過點(diǎn)且圓心C在x軸上，與直線交于不同的兩點(diǎn)M，N，且.（I）求圓C的方程；（II）設(shè)圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為R，S，且R，S在直線AB兩側(cè)，求證：直線RS過定點(diǎn)，并求出的值.

通州區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2024年11月一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號(hào)12345678910答案ADBCDCBDBA二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.612.13.014.相交；415.②③④三、解答題（共6小題，共85分）16.（共13分）（I）直線的斜率，故直線的方程為，化簡(jiǎn)得.（II）因?yàn)橹本€與直線垂直，故，所以，直線的方程為，化簡(jiǎn)得.（III）直線和的交點(diǎn)即，17.（共13分）解：（I）由已知，，則圓心.半徑，所以圓的方程為.（II）由直線，即，又直線與圓相交，可得，，解得.18.（共15分）解：（I）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，所以.同理，，故平面.（II），，，，所以，所以.19.（共15分）（I）因?yàn)槠矫?，，平面，則，，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由已知，，，，，，可得，，故線段的長(zhǎng)為.（II），，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，.所以平面的一個(gè)法向量為，易知為平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.（III）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線在平面內(nèi)，，則，，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，故，所以，.故線段上存在點(diǎn)，使得直線在平面內(nèi)，此時(shí).20.（共15分）解：（I）證明若選條件①，取中點(diǎn)，連，OE，，故，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，且，所以平面，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，，，，，，，，，，，所以，所以.（II）設(shè)平面的法向量為，則，取，，故與平面所成角的正弦值為.若選條件②，取中點(diǎn)，連，，，故，，，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，所?以