2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3.1幾何概型學(xué)案含解析新人教版必修3

PAGE3．3幾何概型3．3.1幾何概型內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解幾何概型的定義及特點(diǎn).2.駕馭幾何概型的計(jì)算方法和求解步驟，精確地把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.3.與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型問題.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展數(shù)學(xué)抽象應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第61頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)幾何概型預(yù)習(xí)教材P135－136，思索并完成以下問題每逢節(jié)假日，各大型商場(chǎng)競(jìng)相出招，吸引顧客，其中某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，規(guī)定顧客消費(fèi)100元以上，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．假如轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)①，②或③區(qū)域，顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券(轉(zhuǎn)盤被等分成20個(gè)扇形)，一位顧客消費(fèi)了120元．(1)這位顧客獲得100元購(gòu)物券的概率與什么因素有關(guān)？提示：與標(biāo)注①的小扇形個(gè)數(shù)多少(面積大小)有關(guān)．(2)在該實(shí)例試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果有多少個(gè)？其發(fā)生的概率相等嗎？提示：試驗(yàn)結(jié)果有無窮多個(gè)，但每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率相等．(3)如何計(jì)算該顧客獲得100元購(gòu)物券的概率？提示：用標(biāo)注①的扇形面積除以圓的面積．學(xué)問梳理1.幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．2．幾何概型的特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有無限多個(gè)．(2)每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．3．幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）).4．當(dāng)X為區(qū)間[a，b]上的隨意實(shí)數(shù)，并且是等可能的，我們稱X聽從[a，b]上的勻稱分布，X為[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)．[自我檢測(cè)]1．如圖所示，有四個(gè)嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()解析：A中獎(jiǎng)概率為eq\f(3,8)，B中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,4)，C中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,3)，D中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,3)，故選A.答案：A2．X聽從[3，40]上的勻稱分布，則X的值不能等于()A．15B．25C．35 D．45解析：由于X∈[3，40]，則3≤X≤40，則X≠45.故選D.答案：D3．在區(qū)間[－1，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為__________．解析：∵區(qū)間[－1，2]的長(zhǎng)度為3，由|x|≤1得x∈[－1，1]，而區(qū)間[－1，1]的長(zhǎng)度為2，x取每個(gè)值為隨機(jī)的，∴在[－1，2]上取一個(gè)數(shù)x，|x|≤1的概率P＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第61頁探究一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型[閱讀教材P136例1]某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率．方法步驟：第一步，表示出事務(wù)；其次步，分析是否滿意幾何概型的條件；第三步，計(jì)算．[例1]在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM大于AC的概率．[解析]如圖，點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB的長(zhǎng)度為試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，在AB上截取AC′＝AC，當(dāng)點(diǎn)M位于線段C′B上時(shí)，AM>AC，故線段C′B即為構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域長(zhǎng)度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝eq\f(C′B,AB)＝1－eq\f(\r(2),2).方法技巧在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事務(wù)A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點(diǎn)是問題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事務(wù)A的概率．延長(zhǎng)探究本例條件不變．若求AM不大于AC的概率，結(jié)果有無變更？解析：結(jié)果不變．幾何概型中，一點(diǎn)在線段上的長(zhǎng)度視為0，包含與不包含一點(diǎn)，不變更概率的結(jié)果．探究二與面積有關(guān)的幾何概型[例2]某校早上8：00起先上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答)[解析]設(shè)小王到校時(shí)間為x，小張到校時(shí)間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿意x－y≥5.如圖，原點(diǎn)O表示7：30，在平面直角坐標(biāo)系中畫出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為eq\f(1,2)×15×15＝eq\f(225,2)，故所求概率為P＝eq\f(\f(225,2),400)＝eq\f(9,32).[答案]eq\f(9,32)方法技巧與面積有關(guān)的幾何概型問題的解法：(1)假如試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域面積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積).(2)求幾何概型的概率的關(guān)鍵是：確定試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的圖形及事務(wù)A對(duì)應(yīng)的圖形，并求出它們的面積．跟蹤探究1.一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．解析：如圖所示，區(qū)域Ω是長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形，圖中陰影部分表示事務(wù)A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率．由于區(qū)域Ω的面積為30×20＝600(m2)，陰影部分的面積為30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75).即海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率為eq\f(23,75).探究三與體積有關(guān)的幾何概型[例3]有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率．[解析]圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)；則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).方法技巧與體積有關(guān)的幾何概型問題的解決：(1)假如試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，則其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的體積).(2)解決此類問題肯定要留意幾何概型的條件，并且要特殊留意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長(zhǎng)度有關(guān)，不要將二者混淆．跟蹤探究2.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．解析：如圖是正方體ABCD－A1B1C1D1，設(shè)四棱錐M－ABCD的高為h，由eq\f(1,3)×SABCD×h＜eq\f(1,6)，又SABCD＝1，∴h＜eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在正方體的下半部分．∴所求概率P＝eq\f(\f(1,2)V正方體ABCD－A1B1C1D1,V正方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,2).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第63頁[課后小結(jié)]1．幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事務(wù)是等可能發(fā)生的概率模型．2．幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目．3．留意理解幾何概型與古典概型的區(qū)分．4．理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）).[素養(yǎng)培優(yōu)]幾何度量(長(zhǎng)度、角度、面積或體積)的選擇錯(cuò)誤如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M.求AM<AC的概率．易錯(cuò)分析錯(cuò)誤的緣由在于選擇的視察角度有問題，題目中的條件是過C作射線CM，錯(cuò)解中先在A