2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章三角函數(shù)7.4三角函數(shù)應(yīng)用學(xué)案蘇教版必修第一冊

7.4三角函數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．會用三角函數(shù)解決一些簡潔的實際問題．(重點)2．體會三角函數(shù)是描述周期改變現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(難點)1．通過建立三角模型解決實際問題，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．借助實際問題求解，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).生活中普遍存在著周期性改變規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替、四季輪回、潮漲潮散、云卷云舒，心情的起起落落，庭前的花開花謝，一切都逃不過數(shù)學(xué)的眼睛！我們須要學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象．學(xué)問點1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念設(shè)物體做簡諧運動時，位移s和時間t的關(guān)系為s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物體振動時離開平衡位置的最大距離，稱為振動的振幅；往復(fù)振動一次所需的時間T＝eq\f(2π,ω)稱為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為振動的頻率；ωt＋φ稱為相位，t＝0時的相位φ稱為初相．1.簡諧運動y＝eq\f(1,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,12)))的振幅為________，周期為________，頻率為________，初相為________．eq\f(1,4)6eq\f(1,6)－eq\f(π,12)[由簡諧運動的相關(guān)概念可知，A＝eq\f(1,4)，T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,6)，初相φ＝－eq\f(π,12).]學(xué)問點2三角函數(shù)的應(yīng)用(1)三角函數(shù)模型的應(yīng)用①依據(jù)實際問題的圖象求出函數(shù)解析式．②將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)模型．③利用收集的數(shù)據(jù)，進行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型．(2)解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟在函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系？[提示]A，b與函數(shù)的最大值ymax，最小值ymin關(guān)系如下：(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；(2)A＝eq\f(ymax－ymin,2)，b＝eq\f(ymax＋ymin,2).2.思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))的周期為π.()(2)一個彈簧振子做簡諧振動的周期為0.4s，振幅為5cm，則該振子在2s內(nèi)通過的路程為50cm.()(3)電流強度I(A)隨時間t(s)改變的關(guān)系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，則當(dāng)t＝eq\f(1,200)s時，電流強度I為eq\f(5,2)A．()[提示](1)錯誤．函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))的周期為2π.(2)錯誤．一個周期通過路程為20cm，所以2s內(nèi)通過的路程為20×eq\f(2,0.4)＝100(cm)．(3)正確．[答案](1)×(2)×(3)√類型1三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用【例1】已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的改變規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并回答下列問題．(1)小球在起先振動(t＝0)時的位移是多少？(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？(3)經(jīng)過多長時間小球往復(fù)振動一次？[解]列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點、連線，圖象如圖所示．(1)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球起先振動時的位移是2eq\r(3)cm.(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和－4cm.(3)因為振動的周期是π，所以小球往復(fù)振動一次所用的時間是πs.物體做簡諧運動時可用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表示位移y與x的改變規(guī)律，各個參數(shù)(A、ω、φ、T、f)的意義是什么？[提示]在物理學(xué)中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表示物體振動的位移y隨時間x的改變規(guī)律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝eq\f(2π,ω)為周期，表示物體往復(fù)振動一次所需的時間，f＝eq\f(1,T)為頻率，表示物體在單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)．[跟進訓(xùn)練]1．已知電流I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一個周期內(nèi)的圖象如圖．(1)依據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)假如t在隨意一段eq\f(1,150)秒的時間內(nèi)，電流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？[解](1)由圖知，A＝300.eq\f(T,2)＝eq\f(1,180)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＝eq\f(1,150)，∴T＝eq\f(1,75)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝150π.I＝300sin(150πt＋φ)．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)，0))為第一個關(guān)鍵點，∴150π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,6)，∴所求解析式為I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)．(2)由題意T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)，∴ω≥300π≈942.4，∴所求ω的最小正整數(shù)值是943.類型2三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，推斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？[解](1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6)，又t＝0時，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為eq\f(1,2)，函教解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y>1時，才對沖浪愛好者開放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，coseq\f(π,6)t>0,2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9<t<15.(變條件)若將本例中“大于1米”改為“大于1.25米”，結(jié)果又如何？[解]由y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1.25得coseq\f(π,6)t>eq\f(1,2)，2kπ－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即12k－2<t<12k＋2，k∈Z.又0≤t≤24，所以0≤t<2或10<t<14或22<t≤24，所以在規(guī)定時間內(nèi)只有4個小時沖浪愛好者可以進行活動，即10<t<14.解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟提示：關(guān)注實際意義求準(zhǔn)定義域．類型3數(shù)據(jù)擬合模型的應(yīng)用【例3】某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是有關(guān)時間與水深的數(shù)據(jù)：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0依據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函數(shù)y＝Asinωt＋b的圖象．(1)試依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y＝Asinωt＋b的表達(dá)式；(2)一般狀況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5m時是平安的，假如某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m，那么該船在什么時間段能夠平安進港？若該船欲當(dāng)天平安離港，則在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽視進出港所用的時間)?[解](1)從擬合曲線可知：函數(shù)y＝Asinωt＋b在一個周期內(nèi)由最大變到最小需9－3＝6(h)，此為半個周期，∴函數(shù)的最小正周期為12h，因此eq\f(2π,ω)＝12，ω＝eq\f(π,6).又∵當(dāng)t＝0時，y＝10；當(dāng)t＝3時，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函數(shù)的表達(dá)式為y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時，水深y應(yīng)大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，可得sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)t≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，則1≤t≤5，取k＝1，則13≤t≤17；而取k＝2時，25≤t≤29(不合題意，舍)．從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1時(1時到5時都可以)進港，而下午的17時(即13時到17時之間)離港，在港內(nèi)停留的時間最長為16h.用三角函數(shù)解決實際問題的關(guān)鍵在于如何把實際問題三角函數(shù)模型化，而散點圖起了關(guān)鍵的作用．解決這類題目的步驟如下：(1)搜集實際問題的數(shù)據(jù)，作出“散點圖”；(2)視察散點圖，用三角函數(shù)模型擬合散點圖，得到函數(shù)模型；(3)通過圖象或解析式探討函數(shù)的性質(zhì)；(4)用得到的性質(zhì)解決提出的實際問題．[跟進訓(xùn)練]2．某“帆板”集訓(xùn)隊在一海濱區(qū)域進行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時間t(0≤t≤24，單位：時)而周期性改變，每天各時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t(時)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)試在圖中描出所給點；(2)視察圖，從y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)假如確定在一天內(nèi)的7時至19時之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時才進行訓(xùn)練，試支配恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．[解](1)描出所給點如圖所示：(2)由(1)知選擇y＝Asin(ωt＋φ)＋b較合適．令A(yù)＞0，ω＞0，|φ|＜π.由圖知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，則sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2)，則－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(πt,6)≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，留意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.再結(jié)合題意可知，應(yīng)支配在11時到19時訓(xùn)練較恰當(dāng)．1．函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分別是()A．3π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6) B．6π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6)C．3π，3，－eq\f(π,6) D．6π，3，eq\f(π,6)D[y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅為3，初相為eq\f(π,6).]2．如圖為某簡諧運動的圖象，這個簡諧運動來回一次須要的時間是()A．0.2s B．0.4sC．0.8s D．1.2sC[由圖象知周期T＝0.8－0＝0.8，則這個簡諧運動須要0.8s來回一次．]3．某人的血壓滿意函數(shù)式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時間(單位：分鐘)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為________．80[因為T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80.]4．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球搖擺時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速