2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形2.3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問(wèn)和方法解決一些有關(guān)底部或頂部不行到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問(wèn)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ).3.能夠依據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，畫出示意圖，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解.深化數(shù)學(xué)建模加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合提升數(shù)學(xué)運(yùn)算留意函數(shù)方程授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第44頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一測(cè)量中的常用概念學(xué)問(wèn)梳理1.基線(1)定義：在測(cè)量上，依據(jù)測(cè)量須要適當(dāng)確定的線段叫做基線．(2)性質(zhì)：在測(cè)量過(guò)程中，要依據(jù)實(shí)際須要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．2．坡角與坡度坡面與水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫做坡度，如圖所示，α為坡角，坡比i＝eq\f(h,l)＝tanα.3.仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫做俯角(如圖所示)．4．鉛直平面鉛直平面是指與水平面垂直的平面．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二角度的有關(guān)概念思索并完成以下問(wèn)題1．如何用方向角的含義表示下列兩圖中的m°角與n°角？提示：圖①的m°角描述為北偏西m°，圖②的n°角描述為南偏東n°.2．下列兩圖中的130°角與200°角是什么含義？提示：圖③的方位角為130°；圖④的方位角為200°.學(xué)問(wèn)梳理1．視角視察物體的兩端，視線張開的夾角叫做視角，如圖所示．2．方位角與方向角(1)方位角從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如點(diǎn)B的方位角為α，如圖所示．方位角的取值范圍為0°＜α＜360°．(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角．如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼叄槙r(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60°，如圖所示．思索：結(jié)合教材P58例1，你認(rèn)為求距離問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？提示：(1)基線的選取要恰當(dāng)．(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定．(3)利用正弦定理還是余弦定理要確定．[自我檢測(cè)]1．海上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C島間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：如圖，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10.由正弦定理，得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，解得BC＝5eq\r(6)(海里)．故選D.答案：D2．(2024·臨汾高一檢測(cè))如圖所示，為測(cè)一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點(diǎn)間的距離為60m，則樹的高度為()A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋15eq\r(3))m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).由正弦定理得：eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，∴PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，∴樹的高度為PBsin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))m.答案：A3．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h，水的流向是正東，流速是20km/h.若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|________，大小為________km/h.解析：如圖，∠AOB＝60°.由余弦定理，得OC2＝202＋202－2×20×20cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.答案：60°20eq\r(3)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第45頁(yè)探究一測(cè)量距離問(wèn)題[閱讀教材P58例1及解答]題型：測(cè)量距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題方法步驟：①抽象到△ABC中；②求內(nèi)角∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′；③利用余弦定理求出BC的長(zhǎng)．[例1]如圖，一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走，起先在A處，經(jīng)視察，在河的對(duì)岸有一參照物C，與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角，學(xué)生前進(jìn)200m后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該參照物與前進(jìn)方向成75°角．(1)求點(diǎn)A與參照物C的距離；(2)求河的寬度．[解題指南]依據(jù)圖形，先由已知求出∠ACB，再利用正弦定理求得AC的長(zhǎng)度，最終在直角三角形中求出河的寬度．[解析](1)由已知，得∠ABC＝105°，∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(200,sin45°)＝eq\f(AC,sin105°)，所以AC＝eq\f(200sin105°,sin45°)＝100(eq\r(3)＋1)(m)，即點(diǎn)A與參照物C的距離為100(eq\r(3)＋1)m.(2)河的寬度為ACsin30°＝100(eq\r(3)＋1)×eq\f(1,2)＝50(eq\r(3)＋1)(m)，即河的寬度為50(eq\r(3)＋1)m.方法技巧測(cè)量距離問(wèn)題的類型測(cè)量距離問(wèn)題分為三種類型：兩點(diǎn)間不行到達(dá)又不行視，兩點(diǎn)間可視但不行達(dá)，兩點(diǎn)都不行達(dá)，解決此類問(wèn)題的方法是，選擇合適的協(xié)助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解．如圖，點(diǎn)B為不行到達(dá)點(diǎn)，求A，B的距離的詳細(xì)解題步驟是：(1)取基線AC(盡量長(zhǎng))，且使AB，AC不共線；(2)測(cè)量AC，∠BAC，∠BCA；(3)利用正弦定理解△ABC，得AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(ACsinC,sin（180°－A－C）).跟蹤探究1.如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上，距離為12eq\r(6)nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°的方向上，距離為8eq\r(3)nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°的方向，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．即A處與D處的距離為24nmile.(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，解得CD＝8eq\r(3)(nmile)．即燈塔C與D處的距離為8eq\r(3)nmile.探究二測(cè)量高度問(wèn)題[閱讀教材P58例2及解答]題型：測(cè)量高度問(wèn)題方法步驟：①在△BCD中求出角∠BD1C1＝120°；②求∠C1BD1＝15°；③由正弦定理求出BC1＝(18eq\r(2)＋6eq\r(6))m；④利用三角函數(shù)定義求出A1B＝18＋6eq\r(3).⑤求出煙囪高AB＝A1B＋A1A≈[例2]如圖，地平面上有一旗桿OP，為了測(cè)量它的高度h，在地面上選一基線AB，AB＝20m，在A點(diǎn)測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP＝30°，在B點(diǎn)測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OBP＝45°，又測(cè)得∠AOB＝60°，求旗桿的高度h(結(jié)果精確到1m)．[解題指南]旗桿OP垂直于地面，所以△AOP和△BOP都是直角三角形，則用h表示OA，OB；在△AOB中，可利用余弦定理構(gòu)造方程，求出旗桿的高度h.[解析]在Rt△AOP中，OA＝OPeq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h，在Rt△BOP中，OB＝OPeq\f(1,tan45°)＝h，在△AOB中，依據(jù)余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2×eq\r(3)h×h×eq\f(1,2)，所以h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176，得h≈13，所以旗桿的高度約為13m.延長(zhǎng)探究1.(1)在本例中，若將條件“∠AOB＝60°”改為“∠AOB＝0°”，則結(jié)論如何？(2)在本例中，若將條件“∠AOB＝60°”改為“∠AOB＝180°”，則結(jié)論如何？解析：(1)如圖，在△ABP中，∠APB＝15°，由正弦定理，得eq\f(BP,sin∠OAP)＝eq\f(AB,sin∠APB)，所以BP＝eq\f(ABsin∠OAP,sin∠APB)＝eq\f(20sin30°,sin15°)＝10(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)．在Rt△BOP中，OP＝BPsin45°＝10(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)≈27(m)，所以此時(shí)旗桿的高度約為27m.(2)如圖，在Rt△AOP中，OA＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，OB＝eq\f(h,tan45°)＝h，由OA＋OB＝AB，得eq\r(3)h＋h＝20，所以h＝eq\f(20,\r(3)＋1)≈7(m)，所以此時(shí)旗桿的高度約為7m.方法技巧測(cè)量高度問(wèn)題的解題思路對(duì)于底部不能到達(dá)或者無(wú)法干脆測(cè)量的物體高度問(wèn)題，常用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體的頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題．這類物體高度的測(cè)量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個(gè)或者幾個(gè)三角形，從而求出所測(cè)量物體的高度．如圖所示其一般步驟總結(jié)為跟蹤探究2.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝200m，在點(diǎn)C和點(diǎn)D測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.[解題指南]先在Rt△ABC和Rt△ABD中，用AB表示BC和BD，再在△BCD中，由余弦定理建立方程，求得AB.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，設(shè)AB＝h，則BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200m.探究三測(cè)量角度問(wèn)題[閱讀教材P62A組第3題]如圖為一角槽示意圖，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并量得AB＝85mm，BC＝78mm，AC＝32mm，則α＝______，β＝________(精確到0.1°)解析：在△ABC中，AB＝85，BC＝78，AC＝32，由余弦定理得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(322＋852－782,2×32×85)≈0.3979，所以A≈66.5°，所以α≈23.5°.cosB＝eq\f(BC2＋BA2－AC2,2BC·BA)＝eq\f(782＋852－322,2×78×85)≈0.9265.所以B≈22.1°，所以β≈67.9°.答案：23.5°67.9°[例3]某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，馬上測(cè)出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇馬上以21nmile/h的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間．[解題指南]本題中所涉及的路程在不斷改變，但艦艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等，先設(shè)出所用時(shí)間t，找出等量關(guān)系，再解三角形．[解析]如圖所示，依據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120°.設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為th，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，即212t2＝102＋81t2－2×10×9t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理，得360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為eq\f(2,3)h.此時(shí)AB＝14，BC＝6.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ACB,AB)＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈21.8°.故艦艇航行的方位角為45°＋21.8°＝66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近漁輪．延長(zhǎng)探究2.本題中其他條件不變，將“漁輪向小島靠攏的速度”改為“10nmile/h”，將“我海軍艦艇的速度”改為“10eq\r(3)nmile/h”，求艦艇的航向和靠近漁輪所須要的時(shí)間．解析：如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為th，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，即(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理，得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．艦艇需1h靠近漁輪．此時(shí)AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ACB,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).所以∠CAB＝30°，所以艦艇航行的方位角為30°＋45°＝75°，靠近漁輪須要1h.方法技巧解決測(cè)量角度問(wèn)題的留意點(diǎn)(1)明確方位角和方向角的含義；(2)分析題意，明確已知條件和所求問(wèn)題，并依據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵的一步；(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，留意正、余弦定理的“聯(lián)袂”運(yùn)用．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與方程的數(shù)學(xué)思想方法．跟蹤探究3.地圖測(cè)繪人員在點(diǎn)A測(cè)得某一目標(biāo)參照物P在他的北偏東30°的方向，且距離他40eq\r(3)m，之后該測(cè)繪人員沿正北方向行走了40m，達(dá)到點(diǎn)B.試確定此時(shí)目標(biāo)參照物P相對(duì)于他的方位角以及他與目標(biāo)參照物P的距離．[解題指南]畫出圖形，在三角形中，利用正弦定理求出內(nèi)角的大小以及邊的長(zhǎng)度，從而確定相應(yīng)的方位角以及距離．解析：如圖，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40eq\r(3)m，AB＝40m.由余弦定理，得PB＝eq\r(AB2＋PA2－2·AB·PA·cos∠PAB)＝eq\r(402＋（40\r(3)）2－2×40×40\r(3)cos30°)＝40(m)．因?yàn)锳B＝40m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此測(cè)繪人員到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)參照物P相對(duì)于該測(cè)繪人員的方位角為180°－120°＝60°，且目標(biāo)參照物P與他的距離為40m.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第47頁(yè)[課后小結(jié)](1)運(yùn)用正弦定理就能測(cè)量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不行到達(dá)點(diǎn)間的距離”，而測(cè)量“兩個(gè)不行到達(dá)點(diǎn)間的距離”要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理．測(cè)量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不行到達(dá)點(diǎn)間的距離”是測(cè)量“兩個(gè)不行到達(dá)點(diǎn)間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測(cè)量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)分．(2)空間中的測(cè)量問(wèn)題通常都是通過(guò)射影化歸為平面內(nèi)的測(cè)量問(wèn)題．(3)正弦、余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用的一般步驟：①分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；②建模：依據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解．[素養(yǎng)培優(yōu)]對(duì)實(shí)際狀況理解偏差致誤如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲動(dòng)身2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f