自動控制原理第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1控制系統(tǒng)微分方程的建立2-2非線性微分方程的線性化2-3

傳遞函數(shù)(transferfunction)2-4動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2-5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)2-6典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)返回主目錄基本要求1基本要求1.了解建立系統(tǒng)動態(tài)微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式。3.掌握用拉氏變換求解微分方程的方法。4.掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)。5.掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式。返回子目錄26.掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法。7.掌握用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式求傳遞函數(shù)的方法。8.掌握系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對參考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念。3分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。為什么要建立數(shù)學(xué)模型：我們需要了解系統(tǒng)的具體的性能指標(biāo)，只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運(yùn)動過程是不夠的，希望能夠從理論上對系統(tǒng)的系統(tǒng)的性能進(jìn)行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。它是分析和設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實驗法4解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實驗驗證。適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。52-1控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系消去中間變量標(biāo)準(zhǔn)化微分方程①將與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項按降冪排列；③將方程的系數(shù)通過元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)。返回子目錄6列寫微分方程的一般方法例1.列寫如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。RCuruci7解：由基爾霍夫定律得:式中:i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:令（時間常數(shù)），則微分方程為：8例2.

設(shè)有一彈簧

質(zhì)量

阻尼動力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。9解：分析質(zhì)量塊m受力，有外力F,彈簧恢復(fù)力

Ky（t）阻尼力慣性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于質(zhì)量塊上的主動力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得10式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數(shù)（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將式(2-4)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化11T稱為時間常數(shù)，為阻尼比。顯然，上式描述了m－K－f系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系，它是一個二階線性定常微分方程。令，即，則式可寫成122－2非線性微分方程的線性化在實際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。返回子目錄13于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。對弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。14在平衡點A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。15可得，簡記為y=kx。若非線性函數(shù)由兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點處可展成（忽略高次項）經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。16疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：設(shè)線性微分方程式為若時，方程有解，而時，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng)＋時，必存在解為，即為可疊加性。17

上述結(jié)果表明，兩個外作用同時加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是線性系統(tǒng)的疊加原理。若時，為實數(shù)，則方程解為，這就是齊次性。182－3傳遞函數(shù)

(transferfunction)傳遞函數(shù)的概念與定義

線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。返回子目錄19這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=時的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=時，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的。20一、傳遞函數(shù)的概念與定義G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=21傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣，見第九章）22傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因為當(dāng)時，，所以，一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)。23三、傳遞函數(shù)舉例說明例1.

如圖所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L（亨利），電阻為R（歐姆），電容為C（法），試求輸入電壓ui(t)與輸出電壓uo(t)之間的傳遞函數(shù)。24解：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路理論可方便地求出其動態(tài)方程，對其進(jìn)行拉氏變換即可求出傳遞函數(shù)。這里用直接求的方法。因為電阻、電容、電感的復(fù)阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運(yùn)算關(guān)系類同電阻。則傳遞函數(shù)為25四、典型環(huán)節(jié)一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：比例環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為：26積分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：，T

為時間常數(shù)。27二階振蕩環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：T為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)。二階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)此外，還經(jīng)常遇到一種延遲環(huán)節(jié)，設(shè)延遲時間為，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：282－4動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。返回子目錄29一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖由若干基本符號構(gòu)成。構(gòu)成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號有四種，即信號線、傳遞方框、綜合點和引出點。信號線

表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。302.傳遞方框G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)。313.綜合點綜合點亦稱比較點，表示幾個信號相加、減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和，負(fù)信號需在信號線的箭頭附近標(biāo)以負(fù)號。＋省略時也表示＋324.引出點（測量點）表示信號引出或測量位置，同一信號傳輸?shù)綆讉€地方。33二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1.串聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。342.并聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。353.反饋連接一個方框的輸出信號輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構(gòu)成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)－C(s)H(s)36三、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成構(gòu)成原則：

按照動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，構(gòu)成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。37寫出組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)的微分方程

求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個體方框圖

從相加點入手，按信號流向依次連接成整體方框圖，既系統(tǒng)方框圖

繪制方框圖的步驟38例1（教材P16）：繪制如圖2-21所示

RC電路的方框圖。39解：（1）寫出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的微分方程，求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)40（2）畫出個體方框圖41（3）從相加點入手，按信號流向依次連接成完整方框圖。42方框圖的特點是：①方框圖是從實際系統(tǒng)抽象出來的數(shù)學(xué)模型，不代表實際的物理結(jié)構(gòu)，不明顯表示系統(tǒng)的主能源。方框圖是從傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上得出來的，所以仍是數(shù)學(xué)模型，不代表物理結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源，如有源網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)等，但從方框圖上一般不明顯表示出來。②能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關(guān)系，以及信號的流向和每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響。更直觀、更形象是針對系統(tǒng)的微分方程而言的。③方框圖的流向是單向不可逆的。43④方框圖不唯一。由于研究角度不一樣，傳遞函數(shù)列寫出來就不一樣，方框圖也就不一樣。⑤研究方便。對于一個復(fù)雜的系統(tǒng)可以畫出它的方框圖，通過方框圖簡化，不難求得系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，無論是研究整個系統(tǒng)的性能，還是評價每一個環(huán)節(jié)的作用都是很方便的。44四結(jié)構(gòu)圖的等效變換思路：

在保證總體動態(tài)關(guān)系不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進(jìn)行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。45G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換46串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。47G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換48并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)G1(s)

G2(s)R(s)C(s)兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。493.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)503.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換圖G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)51移動前G(s)

R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)

R(s)C(s)？移動后4.綜合點的移動（后移）52G(s)

R(s)C(s)Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點后移等效關(guān)系圖綜合點后移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。

53移動前G(s)R(s)C(s)

Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)？移動后綜合點前移（移動前后）54綜合點前移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)

Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)1/G(s)綜合點前移，在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

555.綜合點之間的移動結(jié)論：結(jié)論：多個相鄰的綜合點可以隨意交換位置。R(s)C(s)

Y(s)X(s)

R(s)C(s)

Y(s)X(s)

566.引出點的移動引出點后移G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出點后移,在移動支路中串入所越過傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框。57引出點前移G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)引出點前移,在移動支路中串入傳遞函數(shù)方框。58引出點之間的移動相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質(zhì)。ABR(s)BAR(s)59五舉例說明例：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。60例題分析本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結(jié)構(gòu)。61解題思路解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。62解題方法一之步驟1將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。63解題方法一之步驟264解題方法一之步驟365解題方法一之步驟4內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換66解題方法一之步驟5內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果67解題方法一之步驟6串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換68解題方法一之步驟7串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果69解題方法一之步驟8內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換70解題方法一之步驟9內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果71解題方法一之步驟10反饋環(huán)節(jié)等效變換72解題方法一之步驟11等效變換化簡結(jié)果73例（解題方法二）將綜合點③前移，然后與綜合點②交換。74例

（解題方法三）引出點A后移75例

（解題方法四）引出點B前移76結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。77結(jié)構(gòu)圖化簡注意事項：有效輸入信號所對應(yīng)的綜合點盡量不要移動；盡量避免綜合點和引出點之間的移動。78六、用梅森（S.J.Mason）

公式求傳遞函數(shù)梅森公式的一般式為：79梅森公式參數(shù)解釋：80注意事項：“回路傳遞函數(shù)”是指反饋回路的前向通路和反饋回路的傳遞函數(shù)的乘積，并且包含代表反饋極性的正、負(fù)號。81舉例說明（梅森公式）例1：試求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)82求解步驟之一（例1）找出前向通路數(shù)n83求解步驟之一（例1）前向通路數(shù)：n＝184求解步驟之二（例1）確定系統(tǒng)中的反饋回路數(shù)851.尋找反饋回路之一861.尋找反饋回路之二871.尋找反饋回路之三881.尋找反饋回路之四89利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)90利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)91利用梅森公式求傳遞函數(shù)(2)92求余子式

1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖，再用特征式的求法，計算93求余式

1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖圖中不再有回路，故

1=194利用梅森公式求傳遞函數(shù)(3)95例2：用梅森公式求傳遞函數(shù)試求如圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。96求解步驟之一：確定反饋回路97求解步驟之一：確定反饋回路98求解步驟之一：確定反饋回路99求解步驟之一：確定反饋回路100求解步驟之一：確定反饋回路101求解步驟之二：確定前向通路102求解步驟之二：確定前向通路103求解步驟之三：求總傳遞函數(shù)104例3：對例2做簡單的修改105①求反饋回路1106②求反饋回路2107③求反饋回路3108④求反饋回路41092.①兩兩互不相關(guān)的回路1110②兩兩互不相關(guān)的回路2111３.①求前向通路11123.②求前向通路21134.求系統(tǒng)總傳遞函數(shù)114脈沖響應(yīng)函數(shù)即脈沖過渡函數(shù)，就是系統(tǒng)對單位脈沖函數(shù)輸入的響應(yīng)，用k(t)表示。2－5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)由此可知系統(tǒng)（或元件）的傳函的拉氏反變換就等于它的脈沖響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)傳函為，而所以有概念和定義115對于任意輸入信號r(t)，系統(tǒng)輸出為c(t)，則用拉氏變換的卷積定理可得：由此可知，對于線性系統(tǒng)，只要知道它的脈沖過渡函數(shù)k(t)，就可以計算出系統(tǒng)對任意輸入信號r(t)的時間響應(yīng)過程c(t)。注：傳遞函數(shù)簡稱傳函（下同）116下面用線性系統(tǒng)的疊加原理說明式(2-5-1)的物理含義117設(shè)任意輸入信號r(t)，如上圖所示，分成一系列寬度為的相鄰矩形脈沖。則一矩形脈沖可表為式中是發(fā)生在時刻的理想脈沖。則式表示的矩形脈沖引起的系統(tǒng)輸出為，由物理系統(tǒng)的因果關(guān)系，可知當(dāng)時，有。由疊加原理得：118當(dāng)時，記，上式可寫為當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，則單位階躍響應(yīng)記作h(t)，由(2-5-1)式得所以知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，就可以惟一確定其單位階躍響應(yīng)，反之亦然，即1192－6典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸入：控制輸入干擾輸入輸出：由控制作用產(chǎn)生的輸出由干擾作用產(chǎn)生的輸出返回子目錄120一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不含極性閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：它是當(dāng)主反饋回路斷開時反饋信號B(s)與輸入信號之間的傳遞函數(shù)。121二、系統(tǒng)在r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)＝0122注：該系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)傳函中分母為1+開環(huán)傳遞函數(shù)，反之，若主反饋為正反饋時，則系統(tǒng)傳函為1－開環(huán)傳函123三、系統(tǒng)在n(t)作用