2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練之初等數(shù)論

年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練初等數(shù)論【題型一】整數(shù)與整除【題型二】同余與孫子定理【題型三】素?cái)?shù)和合數(shù)【題型四】算數(shù)基本定理【題型五】費(fèi)馬小定理及歐拉定理【題型六】拉格朗日定理及威爾遜定理【題型七】平方數(shù)【題型八】高斯函數(shù)在新結(jié)構(gòu)試卷中，壓軸題出現(xiàn)了初等數(shù)論的相關(guān)問(wèn)題，這類問(wèn)題大多屬于閱讀理解題，學(xué)生不需要對(duì)數(shù)論知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行掌握，但是需要對(duì)題干所給的信息進(jìn)行理解分析，利用高中的方法解決相應(yīng)問(wèn)題，一般都出現(xiàn)在壓軸題，雖然屬于閱讀理解題，但基本數(shù)論的思維的拓展和應(yīng)用在短時(shí)間內(nèi)要想完全梳理明白也并非簡(jiǎn)單的事情，所以平時(shí)還是需要多鍛煉這類相關(guān)的試題?！绢}型一】整數(shù)與整除【例1】（2024·河北·一模）若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”，若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值為．【例2】一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“可愛(ài)數(shù)”.比如，16就是一個(gè)“可愛(ài)數(shù)”.在自然數(shù)列中從1開(kāi)始數(shù)起，第2024個(gè)“可愛(ài)數(shù)”是.【變式1】（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)p為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n，記，，其中，如果非負(fù)整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對(duì)p“協(xié)調(diào)”．(1)分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說(shuō)明理由；(2)判斷并證明在，，，…，這個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”；(3)計(jì)算前個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和．【變式2】（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，），例如：，對(duì)應(yīng)．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)（除了1和以外的因數(shù)）依次為，證明：．【題型二】同余與孫子定理【例1】已知正整數(shù)滿足，且與有相同的個(gè)位數(shù)字，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【例2】“”表示實(shí)數(shù)整除實(shí)數(shù)，例如：，已知數(shù)列滿足：，若，則，否則，那么下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．對(duì)任意，都有 D．存在【變式1】已知正整數(shù)滿足，且與有相同的個(gè)位數(shù)字，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【變式2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．(1)若，求；(2)對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；(3)已知．對(duì)，令．證明：．【題型三】素?cái)?shù)和合數(shù)【例1】（22-23高三上·北京朝陽(yáng)·期中）已知點(diǎn)集．設(shè)非空點(diǎn)集，若對(duì)中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)（與不重合），使得線段上除了點(diǎn)外沒(méi)有中的點(diǎn)，則中的元素個(gè)數(shù)最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】設(shè)整數(shù)a，m，n滿足，則這樣的整數(shù)組的個(gè)數(shù)為（

）A．無(wú)窮多個(gè) B．4個(gè) C．2個(gè) D．前三個(gè)答案都不對(duì)【變式1】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）求最小的實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，可以將其表示成2024個(gè)正整數(shù)之積，即，且滿足對(duì)任意的，均有是素?cái)?shù)或者．【變式2】（2024高二·全國(guó)·競(jìng)賽）正整數(shù)稱為“好數(shù)”，如果對(duì)任意不同于的正整數(shù)，均有，這里，表示實(shí)數(shù)的小數(shù)部分.證明：存在無(wú)窮多個(gè)兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).【題型四】算數(shù)基本定理【例1】（高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)是正2016邊形，從這2016個(gè)頂點(diǎn)中選出若干個(gè)使之能作為正多邊形的頂點(diǎn)，則不同的選法共有（

）A．2520種 B．3528種 C．4536種 D．6552種【例2】（高三上·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，集合T是S的n元子集，且其中任意兩個(gè)元素互質(zhì)，對(duì)任意符合要求的集合T，均至少包含一個(gè)質(zhì)數(shù)，則n的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【變式1】（高三·上?！じ?jìng)賽）若a、b、c、d為整數(shù)，且，則有序數(shù)組（a，b，c，d）=.【變式2】四位數(shù)和互為反序的正整數(shù)，且，、分別有16個(gè)、12個(gè)正因數(shù)（包括1和本身），的質(zhì)因數(shù)也是的質(zhì)因數(shù)，但的質(zhì)因數(shù)比的質(zhì)因數(shù)少1個(gè)，求的所有可能值.【題型五】費(fèi)馬小定理及歐拉定理【例1】（2024·河北滄州·一模）設(shè)為非負(fù)整數(shù)，為正整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．若為質(zhì)數(shù)，為不能被整除的正整數(shù)，則，這個(gè)定理是費(fèi)馬在1636年提出的費(fèi)馬小定理，它是數(shù)論中的一個(gè)重要定理．現(xiàn)有以下4個(gè)命題：①；②對(duì)于任意正整數(shù)；③對(duì)于任意正整數(shù)；④對(duì)于任意正整數(shù)．則所有的真命題為（

）A．①④ B．② C．①②③ D．①②④【例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知素?cái)?shù)證明：為整數(shù)，其中．【變式1】（23-24高三下·河北·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)a，b為非負(fù)整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．(1)求證：；(2)若p是素?cái)?shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理．應(yīng)用費(fèi)馬小定理解決下列問(wèn)題：①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有；②求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)．【變式2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：是正整數(shù)數(shù)列；(2)是否存在，使得？并說(shuō)明理由.【題型六】拉格朗日定理及威爾遜定理【例1】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．【變式1】對(duì)于正整數(shù)n，記與的最大公因子為，若，則稱n是奇異的．證明：若n是奇異的，則也是奇異的．【題型七】平方數(shù)【例1】（23-24高二上·遼寧·期末）已知與均為完全平方數(shù)，且的正整數(shù)共有（）個(gè)A．1 B．12C．13 D．以上都不對(duì)【例2】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）對(duì)于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)，若兩位數(shù)和均為完全平方數(shù)，則稱具有“性質(zhì)”，則具有“性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)雙曲線Γ:，，B，C在Γ上且直線經(jīng)過(guò)A.設(shè)分別為Γ在B，C處的切線，點(diǎn)D滿足，則D的軌跡方程是;若D的橫縱坐標(biāo)均為正整數(shù)，且二者之和大于2024，則D可以是.(寫(xiě)出1個(gè)即可).【變式2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求所有的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)．【題型八】高斯函數(shù)【例1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）積性函數(shù)指對(duì)于所有互質(zhì)的整數(shù)和有的數(shù)論函數(shù)．則以下數(shù)論函數(shù)是積性函數(shù)的有（

）A．高斯函數(shù)表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)B．最大公約數(shù)函數(shù)表示正整數(shù)與的最大公約數(shù)（是常數(shù)）C．冪次函數(shù)表示正整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解后含的冪次數(shù)（是常數(shù)）D．歐拉函數(shù)表示小于正整數(shù)的正整數(shù)中滿足與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目【例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則數(shù)列中整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為．【變式1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè)，我們常用來(lái)表示不超過(guò)的最大整數(shù).如：.(1)求證：；(2)解方程：；(3)已知，若對(duì)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式2】60支球隊(duì)兩兩比賽，且一定有勝負(fù)，每隊(duì)贏的概率均為0.5，設(shè)沒(méi)有兩隊(duì)贏相同場(chǎng)數(shù)的概率為，其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，則使得可整除p的最大正整數(shù)n是（

）A．1768 B．1746 C．1714 D．1702【題型九】不定方程【例1】（2024高三·北京·競(jìng)賽）正整數(shù)滿足：，則的可能值有（

）A．