Ch123均值方差偏好下的投資組合選擇

2024/11/71本章教學目的和要求1.了解和掌握投資組合理論中的均值—方差分析的假設條件及其與期望效用理論的兼容性；2.掌握投資組合收益與風險度量的基本方法及其計算；3.掌握均值－方差模型描述的構建最優(yōu)投資組合的技術路徑的規(guī)范數(shù)理模型；4.掌握兩基金分離定理的內容及其經濟學含義。2024/11/72教學重點1.均值—方差分析方法的合理性及其含義；

2.選擇最優(yōu)投資組合的數(shù)理方法及其中蘊涵的多元化投資、風險、收益間關系；

3.掌握兩基金分離定理的內容及其經濟學含義。2024/11/73一、均值—方差分析的假設條件（一）問題的提出

1.前章對最優(yōu)投資組合的分析是建立在一般期望效用理論基礎之上的。在這種分析中，我們對經濟主體的效用函數(shù)和資產的收益分布只做了一般性的規(guī)定。其結論的應用范圍難以確定，也限制了期望效用理論在資產定價中的應用。

2.Markowitz(1952)發(fā)展了一個在不確定條件下嚴格陳述的可操作的資產組合選擇理論：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.2024/11/74

這一理論的問世，使金融學開始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經驗操作的狀態(tài)，標志著數(shù)量化方法進入金融領域。

馬科維茨的工作所開始的數(shù)量化分析和MM理論中的無套利均衡思想相結合，醞釀了一系列金融學理論的重大突破。正因為如此，馬科維茨獲得了1990年諾貝爾經濟學獎。

2024/11/75

馬科維茨投資組合選擇理論的基本思想為：投資組合是一個風險與收益的trade-off問題，此外投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風險?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”2024/11/763.馬科維茨均值-方差組合理論的基本內容：在禁止融券和沒有無風險借貸的假設下，以資產組合中個別資產收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。欲使投資組合風險最小，除了多樣化投資于不同的資產之外，還應挑選相關系數(shù)較低的資產。2024/11/774.均值-方差組合選擇的實現(xiàn)方法：

（1）收益——證券組合的期望報酬（2）風險——證券組合的方差（3）風險和收益的權衡——求解二次規(guī)劃首先，投資組合的兩個相關特征是：（1）它的期望回報率（均值）（2）可能的回報率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。2024/11/78

其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風險水平下的期望回報最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報率水平上使風險最小化的投資組合。再次，通過對某種資產的期望回報率、回報率的方差和某一資產與其它資產之間回報率的相互關系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。2024/11/79

最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計算結果指明各種資產在投資者的投資中所占份額，以便實現(xiàn)投資組合的有效性——即對給定的風險使期望回報率最大化，或對于給定的期望回報使風險最小化。2024/11/7105.馬科維茨均值-方差組合理論的假設條件：（1）單期投資單期投資是指投資者在期初投資，在期末獲得回報。單期模型是對現(xiàn)實的一種近似描述，如對零息債券、歐式期權等的投資。雖然許多問題不是單期模型，但作為一種簡化，對單期模型的分析成為我們對多期模型分析的基礎。（2）投資者事先知道資產收益率的概率分布，并且收益率滿足正態(tài)分布的條件。

2024/11/711（3）經濟主體的效用函數(shù)是二次的，即。（4）經濟主體以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標準差）來衡量收益率的不確定性（風險），因而經濟主體在決策中只關心資產的期望收益率和方差。（5）經濟主體都是非飽和的和厭惡風險的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風險水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風險較低的證券。

2024/11/712

6.問題：為何在馬科維茨的均值-方差分析中需要對效用函數(shù)和資產收益率的分布作出限制？2024/11/713（二）均值-方差分析的局限性

M-V模型以資產回報的均值和方差作為選擇對象，但是一般而言，資產回報的均值和方差不能完全包含個體資產選擇時的所有個人期望效用函數(shù)信息。對于任意的效用函數(shù)和資產的收益分布，期望效用并不能僅僅用預期收益和方差這兩個元素來描述。2024/11/714

例1:

假設有兩個博彩L1和L2，其中：

L1=[0.75；10，100]，

L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11顯然，L2的風險比L1大。2024/11/715

考慮一個效用函數(shù)為，顯然，該個體為風險厭惡者，其在兩個博彩中的期望效用分別為：

Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036

即該風險厭惡者在預期收益相等的兩個博彩中，方差較大的博彩獲得的期望效用較高。2024/11/716

一般地，假設經濟主體在未來的全部收益或財富是一個隨機變量，關于這個未來財富變量的效用函數(shù)可以通過泰勒展開式在經濟行為主體對于這個隨機變量的預期值周圍展開。即

2024/11/717兩邊取期望值后得到：

顯然，對于具有嚴格凹的遞增效用函數(shù)的經濟主體而言，其評價風險資產的效用不能僅僅只考慮其期望收益率和方差，因為三階以上的中心矩E（R3）也影響其期望收益。2024/11/718

但是，如果財富的高階矩為0或者財富的高階矩可用財富的期望和方差來表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財富的期望和方差的函數(shù)。2024/11/719（三）均值—方差分析的基本假設

定理一：在經濟主體的未來收益或財富為任意分布的情況下，如果經濟主體的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)那么，期望效用僅僅是財富的期望和方差的函數(shù)。證明：P1802024/11/720

定理二：在經濟主體的偏好為任意偏好的情況下，如果資產收益的分布服從正態(tài)分布，則期望效用函數(shù)僅僅是財富的期望和方差的函數(shù)。在收益分布為正態(tài)分布的情況下，上述展開式中，三階以上的中心矩中，奇數(shù)項為零，偶數(shù)階的中心矩可寫成均值和方差的函數(shù)。2024/11/721（三）二次效用函數(shù)與收益正態(tài)分布假設的局限性

1.二次效用函數(shù)的局限性二次效用函數(shù)具有遞增的絕對風險厭惡和滿足性兩個性質。滿足性意味著在滿足點以上，財富的增加使效用減少，遞增的絕對風險厭惡意味著風險資產是劣質品。這與那些偏好更多的財富和將風險視為正常商品的投資者不符。所以在二次效用函數(shù)中，我們需要對參數(shù)b的取值范圍加以限制。2024/11/722

2.收益正態(tài)分布的局限性（1）資產收益的正態(tài)分布假設與現(xiàn)實中資產收益往往偏向正值相矛盾。收益的正態(tài)分布意味著資產收益率可取負值，但這與有限責任的經濟原則相悖（如股票的價格不能為負）。（2）對于密度函數(shù)的分布而言，均值-方差分析沒有考慮其偏斜度。概率論中用三階矩表示偏斜度，它描述分布的對稱性和相對于均值而言隨機變量落在其左或其右的大致趨勢。顯然，正態(tài)分布下的均值-方差分析不能做到這一點。2024/11/723

（3）用均值-方差無法刻畫函數(shù)分布中的峭度。概率論中用四階矩表示峭度。但這一點在正態(tài)分布中不能表達。實際的經驗統(tǒng)計表明，資產回報往往具有“尖峰”“胖尾”的特征。這顯然不符合正態(tài)分布。2024/11/724

盡管均值-方差分析存在缺陷，且只有在嚴格的假設條件下才能夠與期望效用函數(shù)的分析兼容，但由于其分析上的靈活性，相對便利的實證檢驗以及簡潔的預測功能，使其成為廣泛運用的金融和財務分析手段。2024/11/725二、資產組合收益與風險的度量及分散化效應（一）先行案例

A公司的股票價值對糖的價格很敏感。多年以來，當當?shù)靥堑漠a量下降時，糖的價格便猛漲，而A公司便會遭受巨大的損失。該公司股票收益率在不同狀況下的情況如下：A公司股票收益10.5%，標準差為18.9%。糖生產的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產危機概率0.50.30.2收益率%2510-252024/11/726

假定某投資者考慮下列幾種可供選擇的資產，一種是持有A公司的股票，一種是購買無風險資產，還有一種是持有糖業(yè)公司B的股票?，F(xiàn)已知投資者持有50%A公司的股票，另外的50%在無風險資產和持有糖業(yè)公司股票之間進行選擇。無風險資產的收益率為5%。糖業(yè)公司B的股票收益率變化如下：2024/11/727B公司股票收益為6%，標準差為14.43%糖生產的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產危機概率0.50.30.2收益率%1-5352024/11/728E(rArB)25%×1%10%×（－5%）35%×（－25%）0.50.30.22024/11/729

投資者不同投資策略下期望收益與標準差：

資產組合預期收益率%標準差(%)全部投資在于A公司股票10.518.90組合一：A公司股票和無風險資產各投資50%7.759.45組合二：A公司和B公司股票各投資50%8.254.592024/11/730（二）資產的期望收益（均值）（1）單一資產的期望收益在任何情況下，資產的均值或期望收益是其收益的概率加權平均值。Pr(s)表示s狀態(tài)下的概率，r(s)為該狀態(tài)下的收益率，則期望收益E(r)為

在上例中，我們可以算出投資于A公司股票的期望收益率為10.5%。2024/11/7312.資產組合的期望收益（均值）

資產組合的期望收益是構成組合的每一資產收益率的加權平均，以構成比例為權重.每一資產對組合的預期收益率的貢獻依賴于它的預期收益率，以及它在組合初始價值中所占份額，而與其他一切無關。上例中第一種投資組合的收益率為7.75%，第二種投資組合的收益率為8.25%.2024/11/732

假定市場上有資產1，2，

，N。資產i的期望收益率為，方差為

i，資產i與資產j的協(xié)方差為

ij（或相關系數(shù)為

ij）（i=1，2，

，n，j=1，2，

，m）投資者的投資組合為：投資于資產i的比例為，i=1，2，

，N，則資產組合的期望收益為2024/11/733

（三）資產的方差1.單一資產的方差

資產收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：在上例中，A公司股票收益的方差為357.25/W，標準差為18.9%。B公司股票收益率的標準差為14.73%.2024/11/7342.資產組合的方差（1）兩資產組合收益率的方差方差分別為與的兩個資產以W1與W2的權重構成一個資產組合的方差為，如果一個無風險資產與一個風險資產構成組合，則該組合的標準差等于風險資產的標準差乘以該組合投資于這部分風險資產的比例。

2024/11/735

在上例中投資組合1的標準差為9.45%，投資組合2的方差為21.1/W，標準差為4.59%。2024/11/736（2）多資產組合的方差

2024/11/737（四）資產的協(xié)方差

協(xié)方差是兩個隨機變量相互關系的一種統(tǒng)計測度，即它測度兩個隨機變量，如資產A和B的收益率之間的互動性。2024/11/738（五）相關系數(shù)

與協(xié)方差密切相關的另一個統(tǒng)計測量度是相關系數(shù)。事實上，兩個隨機變量間的協(xié)方差等于這兩個隨機變量之間的相關系數(shù)乘以它們各自的標準差的積。

資產A和資產B相關系數(shù)為2024/11/739

測量兩種股票收益共同變動的趨勢: -1.0+1.0

完全正相關:+1.0

完全負相關:-1.0

在-1.0和+1.0之間的相關性可減少風險但不是全部2024/11/740

在上例中，投資組合2中兩公司股票收益的協(xié)方差為

-240.5/w，其相關系數(shù)為-0.88。

2024/11/741（六）多個資產的方差-協(xié)方差矩陣2024/11/742（七）資產組合的風險分散效應資產組合的方差不僅取決于單個資產的方差，而且還取決于各種資產間的協(xié)方差。

隨著組合中資產數(shù)目的增加，在決定組合方差時，協(xié)方差的作用越來越大，而方差的作用越來越小。例如，在一個由30種證券組成的組合中，有30個方差和870個協(xié)方差。若一個組合進一步擴大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標準差的決定性因素。2024/11/743

風險的分散化原理被認為是現(xiàn)代金融學中唯一“白吃的午餐”。將多項有風險資產組合到一起，可以對沖掉部分風險而不降低平均的預期收益率。2024/11/744

假定資產1在組合中的比重是w，則資產2的比重就是1-w。它們的預期收益率和收益率的方差分別記為E(r1)和E(r2)，

21和

22，組合的預期收益率和收益率的方差則記為E(r)和

2。那么，2024/11/745因為-1≤

≤+1，所以有[w

1-(1-w)

2]2≤

2≤[w

1+(1-w)

2]2

這表明，組合的標準差不會大于標準差的組合。事實上，只要

<1，就有，∣

∣<∣w

1+(1-w)

2∣,

即資產組合的標準差就會小于單個資產標準差的加權平均數(shù)，這意味著只要資產的變動不完全一致，單個有高風險的資產就能組成單個有中低風險的資產組合，這就是投資分散化的原理。2024/11/746構造一個投資每種資產等權重的組合來看分散化的力量：其中，2024/11/747

隨著組合中資產數(shù)目的增加，組合收益的方差將越來越依賴于協(xié)方差。若這個組合中的所有資產不相關，即當隨證券數(shù)目增加，這個組合的方差將為零（保險原則）。2024/11/748相關結論：

1.資產組合的方差是以協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權重相乘的加權平均總值。它除與各資產的方差有關外，還與各資產間的協(xié)方差和相關系數(shù)有關。

2024/11/749

2.資產組合的預期收益可以通過對各種單項資產加權平均得到，但風險卻不能通過各項資產風險的標準差的加權平均得到(這只是組合中成分資產間的相關系數(shù)為一且成分資產方差相等，權重相等時的特例情況)。2024/11/750

3.在資產方差或標準差給定下，組合的每對資產的相關系數(shù)越高，組合的方差越高。只要每兩種資產的收益間的相關系數(shù)小于一，組合的標準差一定小于組合中各種證券的標準差的加權平均數(shù)。如果每對資產的相關系數(shù)為完全負相關即為－1且成分證券方差和權重相等時，則可得到一個零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風險不能消除，所以這種情況在實際中是不存在的。

2024/11/751三、兩資產模型下的有效組合前沿（一）先行案例某投資者持有的投資組合由兩個風險資產構成，兩資產的期望收益率和方差如下：

資產期望收（%）標準差（%）A812B13202024/11/752

以下為設想的投資者在兩種資產中投資比例及資產相關系數(shù)不同時的投資組合的期望收益和方差：2024/11/753α1-αE(r)σ(ρ=-1)σ(ρ=0)σ(ρ=0.3)σ(ρ=1)0.01.013.020.020.020.020.00.30.711.510.414.4615.4717.600.50.510.54.011.6613.1116.000.70.39.52.410.3211.7014.400.90.18.58.810.9811.5612.801.00.08.012.012.012.012.02024/11/754標準差期望收益Ρ=1ρ=-12024/11/755（二）相關概念

1.投資者均值-方差無差異曲線對一個特定的投資者而言，任意給定一個證券組合，根據(jù)他對期望收益率和風險的偏好態(tài)度，按照期望收益率對風險補償?shù)囊螅梢缘玫揭幌盗袧M意程度相同的（無差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標準差）坐標系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者的均值-方差無差異曲線。

2024/11/756風險厭惡者的均方無差異曲線方差期望收益2024/11/757

同一條無差異曲線上的組合滿意程度相同；無差異曲線位置越高，該曲線上的組合的滿意程度越高。無差異曲線滿足下列特征：

(1)無差異曲線向右上方傾斜。

(2)無差異曲線是下凸的。

(3)同一投資者有無數(shù)條無差異曲線。

(4)同一投資者在同一時間、同一時點的任何兩條無差異曲線都不相交。(5)無差異曲線向上彎曲的程度大小反映了投資者風險偏好的強弱。2024/11/7582.可行集

可行集也稱資產組合的機會集合。它表示在收益和風險平面上，由多種資產所形成的所有期望收益率和方差的組合的集合。

可行集包括了現(xiàn)實生活中所有可能的組合，即所有可能的證券投資組合將位于可行集的內部或邊界上。一般說來，N種資產的可行集的形狀像傘形：2024/11/759標準差期望收益2024/11/7603.有效集或有效前沿（邊界）均值－方差前沿（mean-variancefrontierMVF）

可行集中有無窮多個組合，對于非飽和且風險厭惡的理性投資者而言，他們都是厭惡風險而偏好收益的。對于同樣的風險水平，他們將會選擇能提供最大預期收益率的組合；對于同樣的預期收益率，他們將會選擇風險最小的組合。能同時滿足這兩個條件的投資組合的集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界（EfficientFrontier)。有效集描繪了投資組合的風險與收益的最優(yōu)配置。2024/11/761有效集的導出：資產組合的所有可能的點構成了平面上可行區(qū)域，對于給定的，使組合的方差越小越好，即求解下列二次規(guī)劃：2024/11/7622024/11/7632024/11/764

因為投資者是非飽和且厭惡風險的，即風險一定時追求收益最大，收益一定時追求風險最小。所以，同時滿足在各種風險水平下，提供最大預期收益和在各種預期收益下能提供最小風險這兩個條件就稱為有效邊界。即雙曲線的上半部。上面各點所代表的投資組合一定是通過充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風險的組合。2024/11/765有效集的形狀：有效邊界全局最小方差資產組合最小方差邊界個人資產標準差期望收益MVP2024/11/766有效集曲線的形狀具有如下特點：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風險”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點所代表的兩個組合再組合起來得到的新的點（代表一個新的組合）一定落在原來兩個點的連線的左側，這是因為新的組合能進一步起到分散風險的作用。（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方MVF的任意組合也是MVF組合。2024/11/767四、N種資產的一般模型（一）模型的基本假定

1.市場上存在n>2種風險資產，w代表投資到n種資產上的投資比例，w為一個n維列向量。記為：

同時，允許w<0，即賣空不受限制。

2.為i資產的期望收益率，為風險資產組合的期望收益，同時，令所有n種資產的期望收益率組成的向量為2024/11/768

3.假設n種資產的收益率是非共線性的，即其中任何一種風險資產的隨機收益都不能表示為其他資產隨即收益的線性組合。則組合的期望收益為：

4.組合的方差、協(xié)方差矩陣為：2024/11/769

由于我們假定組合中資產的隨機收益是非共線性的，所以，該矩陣是非奇異（nonsingular）的。此外，由于組合的方差是非負的，所以，組合的方差必須是一個正定矩陣，即對于任何非0的向量，都有，因此，整個組合的方差為2024/11/770（二）N種風險資產組合的組合前沿1.定義給定收益率水平μ，如果一個資產組合收益率的方差是所有期望收益率為μ的組合中最小的，則稱它為一個邊界組合（frontierportfolio），所有邊界組合構成的集合為組合邊界。

用數(shù)學語言描述為：p是一個前沿資產組合當且僅當它的資產組合權重是二次規(guī)劃問題P的解。2024/11/7712024/11/772

通過上述二次規(guī)劃問題的求解，我們可以得到組合邊界方程，它是均值-方差平面上的一條拋物線，這條拋物線稱為最小方差曲線（minimumvariancecurve,MVC）拋物線的頂點對應于一個在所有組合中方差最小的組合，稱為最小方差組合（minimumvarianceportfolio,MVP）。2024/11/773組合邊界方差均值mvp2024/11/774（三）有效組合前沿期望收益率嚴格高于最小方差組合期望收益率的前沿邊界稱為有效組合前沿。位于資產組合前沿邊界，既不是有效資產組合，又不是最小方差資產組合的前沿邊界合稱為非有效組合前沿。對于每一個屬于非有效組合前沿上的資產組合，存在一個具有相同方差但更高期望收益率的有效資產組合。2024/11/775（四）組合前沿的性質

1.任何一個具有均值-方差偏好的經濟主體的最優(yōu)組合是一個均值-方差前沿組合。

2.任意的前沿資產組合都可以由期望收益為0和期望收益為1的兩個前沿組合組合而成。

3.任何前沿邊界組合的線性組合仍在前沿邊界上。有效資產組合的任何凸組合仍是有效組合，有效組合的集合因此是一個凸集。

2024/11/7764.任何具有均值-方差效率的資產組合都是由任何兩個具有均值-方差效率的組合構成；由兩個均有均值-方差效率的資產組合的線性組合構成的資產組合也是具有均值-方差效率的資產組合。

5.最小方差組合mvp，與任何資產組合（不僅僅是前沿邊界上的）收益率的協(xié)方差總是等于最小方差資產組合的收益率的方差。

2024/11/7776.資產組合邊界的一個重要性質是，對于前沿邊界上的任何資產p，除了最小方差資產組合，存在唯一的前沿邊界資產組合，用zc(p)表示，與p的協(xié)方差為0。

7.不存在與最小方差資產組合具有0協(xié)方差的前沿邊界資產組合。2024/11/778（五）考慮無風險資產的情形考慮無風險資產情況下的投資者的二次規(guī)劃問題為：

2024/11/779

該二次規(guī)劃問題的解表明，包含無風險資產在內的資產組合的均值-方差有效組合前沿為一條直線。MABC2024/11/780圖中的AM線為效率組合前沿，該直線的方程可寫為：當風險資產組合M固定時，無風險資產與風險資產組合的期望值收益和標準差呈線性關系。直線AM也稱為對應于切點組合M的轉換線（transformationline），它刻畫了投資者在特定風險組合和無風險收益率之間的轉換。在轉換線上，點M對應著投資者將所有財富投資于風險資產組合。2024/11/781

位于點M左側的所有點對應于投資者將其財富的一部分投資于風險資產，另一部分則用于貸出生息；位于點M右側的所有點對應于投資者在市場上賣空風險資產。該轉換線也稱之為資本市場線（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的經濟主體都在資本市場線上選擇最優(yōu)的資產組合。轉換線的斜率為：2024/11/782

其分子為組合M的風險溢價，該斜率刻畫了組合單位風險所帶來的風險溢價，我們稱其為夏普比率（SharpRatio）。同樣地，我們可知，有無風險資產和風險資產構成的組合的夏普比率與風險資產組合M的夏普比率相等。在存在無風險資產情況下，如果組合M是一個有效組合前沿上的資產組合，那么，對于任意的組合p，我們有2024/11/7832024/11/784分散化證券的風險由兩部分組成，一是市場（系統(tǒng)）風險，二是個別（或非系統(tǒng)）風險2024/11/785組合的總風險2024/11/