《機(jī)器人技術(shù)-建模、仿真及應(yīng)用》課件 第三章速度與靜力學(xué)

ROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用速度與靜力學(xué)第三章目錄機(jī)器人連桿速度PART.1

雅可比矩陣PART.2靜力學(xué)PART.3機(jī)器人連桿速度PART.1機(jī)器人連桿速度操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰桿有關(guān)。由基坐標(biāo)系依次計(jì)算各連桿的速度，連桿

的速度就是連桿

的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)

上的新的速度分量。連桿角速度就等于連桿

的角速度加上一個(gè)由于連桿

的角速度引起的分量，參照坐標(biāo)系

描述關(guān)系可寫(xiě)成：注意：通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)@關(guān)節(jié)

的旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)旋轉(zhuǎn)變換，變換為在坐標(biāo)系

中的描述后，將兩個(gè)角速度分量相加。在上式兩邊同時(shí)左乘

得到連桿

的角速度相對(duì)于

坐標(biāo)的表達(dá)式:機(jī)器人連桿速度坐標(biāo)系

原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系

原點(diǎn)線速度加上一個(gè)由于連桿

的角速度引起的新的分量。由于

在坐標(biāo)系

中是常數(shù)，因此有：同時(shí)左乘對(duì)于關(guān)節(jié)

為移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，相應(yīng)的關(guān)系為：如圖a）所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂。計(jì)算出操作臂末端的速度，將它表達(dá)成關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系{3}表示的，另一種是用坐標(biāo)系{0}表示的。例解：運(yùn)用式

和式

從基坐標(biāo)系{0}開(kāi)始依次計(jì)算出每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度，其中基坐標(biāo)系的速度為0，由于式

和式

將應(yīng)用到連桿變換，因此先將它們計(jì)算如下：注意上式關(guān)節(jié)3的轉(zhuǎn)角恒為0°。坐標(biāo)系{2}與坐標(biāo)系{3}之間的變換不必轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的連桿變換形式。對(duì)各連桿使用連桿速度公式，計(jì)算如下：機(jī)器人連桿速度如圖b）所示坐標(biāo)系{3}固連于操作臂末端，求用坐標(biāo)系{3}表示的該坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的第二部分，求用坐標(biāo)系{0}表示的這些速度。同以前一樣，首先將坐標(biāo)系固連在連桿上（如圖b）。例b）解：式

即為坐標(biāo)系{3}表示的該坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。同時(shí)，坐標(biāo)系{3}的角速度由式

給出。為了得到這些速度相對(duì)于固定基坐標(biāo)系的表達(dá)，用旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)它們作旋轉(zhuǎn)變換，即：通過(guò)這個(gè)變換可以得到：機(jī)器人連桿速度雅可比矩陣PART.2雅可比矩陣雅克比矩陣可將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)或速度轉(zhuǎn)換為感興趣點(diǎn)的微分運(yùn)動(dòng)或速度，也可將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。意義：二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人(2R機(jī)器人)，端點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系:例即：雅可比是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對(duì)基坐標(biāo)的廣義速度向量v的變換矩陣。雅可比矩陣將其微分得寫(xiě)成矩陣形式令式中d=Jdθ雅可比矩陣對(duì)于n自由度機(jī)器人，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，q=[q1，q2，…qn]。轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：qi=θi，移動(dòng)關(guān)節(jié)：qi=didq=[dq1，dq2，…dqn]，反映關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位用末端手爪位姿X表示，是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，為6維列矢量。dX=[dX，dY，dZ，△φX，△φY，△φZ(yǔ)]反映操作空間微小運(yùn)動(dòng)，由機(jī)器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。雅可比矩陣因此，J(q)—為n自由度機(jī)器人速度雅可比，是6xn維偏導(dǎo)數(shù)矩陣，可表示為J(q)雅可比矩陣?yán)脵C(jī)器人速度雅可比可對(duì)機(jī)器人進(jìn)行速度分析，左、右兩邊同時(shí)除以dt得：或表示為：v—機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度—機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度J(q)—確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度v之間關(guān)系的雅可比矩陣。雅可比矩陣2R機(jī)器人的J(q)是2x2矩陣，若令J1，J2分別為雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則原式可寫(xiě)為：總的端點(diǎn)速度v為這兩個(gè)速度矢量的合成。因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。

——僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度;

——僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度;雅可比矩陣二自由度機(jī)器人手部的速度為：反之，若給定機(jī)器人手部速度，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度為：假如已知的及是時(shí)間的函數(shù)，即，，則機(jī)器手部瞬時(shí)速度為：——機(jī)器人逆速度雅可比。如圖二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30o，θ2=-60o

，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。例二自由度機(jī)器人速度雅可比為：逆雅可比為：雅可比矩陣雅可比矩陣如圖二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30o，θ2=-60o

，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。例由于，可得且，即vX=1m/s，vY=0，因此對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人，矩陣J的行數(shù)恒為3，列數(shù)為機(jī)械手的關(guān)節(jié)數(shù)目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運(yùn)動(dòng)的形成順序無(wú)關(guān)，可采用直接微分法求φ，非常方便。三維空間作業(yè)的六自由度機(jī)器人的雅可比矩陣J

行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個(gè))。前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比每列代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比雅可比矩陣如果希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，則應(yīng)計(jì)算出沿路徑每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。當(dāng)雅可比的秩非滿秩時(shí)，求解逆速度雅可比J

–1較困難，甚至可能出現(xiàn)奇異解，相應(yīng)操作空間的點(diǎn)為奇異點(diǎn)，無(wú)法解出關(guān)節(jié)速度，機(jī)器人處于退化位置。雅可比矩陣內(nèi)部奇異形位

兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位稱為內(nèi)部奇異形位。機(jī)器人的奇異形位分為兩類：邊界奇異形位當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開(kāi)或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工作空間的邊界上或邊界附近出現(xiàn)逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位稱為邊界奇異形位。機(jī)器人處在奇異形位時(shí)會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多自由度。意味著在工作空間的某個(gè)方向上，不管怎樣選擇機(jī)器人關(guān)節(jié)速度，手部也無(wú)法實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。雅可比矩陣上例中當(dāng)l1l2s2＝0時(shí)無(wú)解。例由于l1≠0，l2≠0，則在θ2＝0或θ2＝180°時(shí)，二自由度工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。此時(shí)機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機(jī)器人處于奇異形位。此奇異形位下，手部處與工作域的邊界上，該瞬時(shí)手部?jī)H能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其它方向運(yùn)動(dòng)，退化一個(gè)自由度。雅可比矩陣如圖所示的平面三連桿機(jī)械臂，求其雅可比矩陣。例解：平面三連桿機(jī)械臂的雅可比矩陣表示為：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸的單位矢量在坐標(biāo)系{0}的投影為。不同連桿的位置矢量在坐標(biāo)系{0}的投影分別計(jì)算如下：根據(jù)如上位置矢量關(guān)系可計(jì)算出雅可比矩陣，由于只有3個(gè)非零矢量是相關(guān)的，故平面三連桿機(jī)械臂的雅可比矩陣如下：雅可比矩陣如圖所示的二自由度機(jī)械手，底座與地板固定。該機(jī)械手桿長(zhǎng)、都為0.5，關(guān)節(jié)角

1°、1111

°，機(jī)械手沿固定坐標(biāo)系1以速度1恒定移動(dòng)，輸出相應(yīng)關(guān)節(jié)角速率，對(duì)其進(jìn)行仿真計(jì)算。解：按所給條件進(jìn)行仿真計(jì)算如下：L1=0.5；L2=0.5；vx=1；vy=0theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]p=inv(J)*[vx;vy]w1(i)=p(1,1)*180/piw2(i)=p(2,1)*180/pii=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,w1,'r',t,w2,'b')gridon;title('關(guān)節(jié)角速率');例關(guān)節(jié)角速率輸出圖雅可比矩陣靜力學(xué)PART.3機(jī)器人工作狀態(tài)下與環(huán)境之間產(chǎn)生相互作用的力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置為關(guān)節(jié)提供力和力矩，通過(guò)連桿傳遞至末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。靜力學(xué)靜力學(xué)為相鄰桿件所施加的力和力矩定義以下特殊的符號(hào)：為連桿

施加在連桿

上的力。為連桿

施加在連桿

上的力矩。如圖所示為施加在連桿上的靜力和靜力矩（除了重力以外）。將這些力相加并令其和為0，有：將坐標(biāo)系{}原點(diǎn)的力矩相加，有：靜力學(xué)從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用于每一根連桿上的力和力矩，從高序號(hào)連桿向低序號(hào)連桿進(jìn)行迭代求解，結(jié)果如下：用坐標(biāo)系

相對(duì)于坐標(biāo)系

描述的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換，就得到了最重要的連桿之間的靜力“傳遞”公式：為了求出保持系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積：是移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為：靜力學(xué)例L1=0.5；L2=0.5Fx=4；Fy=3theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]q1(i)=J(1,1)*Fx+J(2,1)*Fy如圖所示的二自由度機(jī)械手，底座與地板固定。該機(jī)械手桿長(zhǎng)、都為0.5，關(guān)節(jié)角111°、1111°，機(jī)械手端點(diǎn)力為11111，11輸出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩，對(duì)其進(jìn)行仿真計(jì)算。q2(i)=J(1,2)*Fx+J(2,2)*Fyp=J.'*[Fx;Fy]i=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,