2024-2025學(xué)年四川省成都市青羊區(qū)樹德中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年四川省成都市青羊區(qū)樹德中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（4分）榫卯是我國古代建筑、家具的一種結(jié)構(gòu)方式，它通過兩個(gè)構(gòu)件上凹凸部位相結(jié)合來將不同構(gòu)件組合在一起，如圖是其中一種榫，其主視圖是A． B． C． D．2．（4分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C．且 D．且3．（4分）如圖，已知直線，直線、分別與直線、、分別交于點(diǎn)、、、、、，若，，則的值為A． B． C． D．4．（4分）一個(gè)不透明的口袋中裝有個(gè)白球，妙妙為了估計(jì)白球的個(gè)數(shù)，向口袋中加入4個(gè)紅球，它們除顏色外其它完全相同．通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則的值為A．27 B．30 C．33 D．365．（4分）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．當(dāng)，是矩形 B．當(dāng)，是菱形 C．當(dāng)，是菱形 D．當(dāng)，是正方形6．（4分）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國家曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖，我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是A．四邊形與四邊形的相似比為 B．四邊形與四邊形的相似比為 C．四邊形與四邊形的周長比為 D．四邊形與四邊形的面積比為7．（4分）如圖，學(xué)校課外生物小組試驗(yàn)園地的形狀是長40米、寬34米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為960平方米．則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為A． B． C． D．8．（4分）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別交正方形的兩邊，于點(diǎn)，，記△的面積為，△的面積為，若正方形的邊長，，則的大小為A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）9．（4分）一元二次方程配方為，則的值是．10．（4分）若，且，則的值為．11．（4分）如圖，在九年級(jí)頒獎(jiǎng)典禮上，舞臺(tái)的長為20米，主持人站在點(diǎn)處自然得體，已知點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則主持人與點(diǎn)的距離為米．12．（4分）將寬度相等的兩張紙條按如圖所示的方式放置，兩個(gè)紙條重疊部分組成的四邊形中，對(duì)角線，，則紙條重疊部分的面積為．13．（4分）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交和于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)：分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，作直線交邊于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．若，則的值為．三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）14．（16分）（1）①解方程：；②解不等式組：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，試從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中選取一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．15．（6分）如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，．（1）畫出△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的△；（2）在軸的左側(cè)以為位似中心作△的位似三角形，使△與△的位似比為；（3）直接寫出線段與線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．16．（8分）為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識(shí)，某校初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率是多少？17．（8分）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）連接，若，，求．18．（10分）如圖1，雯雯同學(xué)將正方形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕為，延長交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)作與點(diǎn)，連接，求證平分；（3）如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）19．（4分）已知，則代數(shù)式的值是．20．（4分）已知，是方程的兩根，則．21．（4分）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點(diǎn)得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個(gè)直角三角形的較長直角邊為7，較短直角邊為4，現(xiàn)隨機(jī)向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．22．（4分）如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．23．（4分）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，，當(dāng)線段的長度取最小值時(shí)，的長為，則菱形的邊長為．二．解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）24．（8分）某大學(xué)為迎接運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式，準(zhǔn)備購買甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，甲款運(yùn)動(dòng)服單價(jià)（元與購買件數(shù)（件之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙款運(yùn)動(dòng)服的單價(jià)為50元．（1）直接寫出當(dāng)和時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）該學(xué)校預(yù)計(jì)購買甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服共1000件，最終花費(fèi)為56000元，請(qǐng)問有哪幾種購買方案．25．（10分）已知直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，若點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，①求直線的函數(shù)表達(dá)式；②連接，若△的面積為4，求的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，在線段上取點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)恰好在直線上，且，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為正方形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．26．（12分）（1）如圖1，△與△都是等腰直角三角形，且，求證：△△．（2）如圖2，在△中，，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到連接，；①求證：；②若，求的長；（3）如圖3，菱形中，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線的左側(cè)作菱形，使得，線段交線段與點(diǎn)，若，求（用含有的式子表示）．

參考答案一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（4分）榫卯是我國古代建筑、家具的一種結(jié)構(gòu)方式，它通過兩個(gè)構(gòu)件上凹凸部位相結(jié)合來將不同構(gòu)件組合在一起，如圖是其中一種榫，其主視圖是A． B． C． D．解：該幾何體的主視圖是：故選：．2．（4分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C．且 D．且解：關(guān)于的一元二次方程，，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△，解得，的取值范圍是且，故選：．3．（4分）如圖，已知直線，直線、分別與直線、、分別交于點(diǎn)、、、、、，若，，則的值為A． B． C． D．解：，，，，，即，故選：．4．（4分）一個(gè)不透明的口袋中裝有個(gè)白球，妙妙為了估計(jì)白球的個(gè)數(shù)，向口袋中加入4個(gè)紅球，它們除顏色外其它完全相同．通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則的值為A．27 B．30 C．33 D．36解：由題意知，袋中球的總個(gè)數(shù)約為（個(gè)，所以袋中白球的個(gè)數(shù)，故選：．5．（4分）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．當(dāng)，是矩形 B．當(dāng)，是菱形 C．當(dāng)，是菱形 D．當(dāng)，是正方形解：．有一個(gè)直角的平行四邊形是矩形，故對(duì)；．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故對(duì)；．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故對(duì)；．對(duì)角線相等的平行四邊形是長方形或正方形，故錯(cuò)；故選：．6．（4分）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國家曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖，我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是A．四邊形與四邊形的相似比為 B．四邊形與四邊形的相似比為 C．四邊形與四邊形的周長比為 D．四邊形與四邊形的面積比為解：四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，四邊形與四邊形的相似比為，周長的比為，面積比為．故選：．7．（4分）如圖，學(xué)校課外生物小組試驗(yàn)園地的形狀是長40米、寬34米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為960平方米．則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為A． B． C． D．解：由題意可得，，故選：．8．（4分）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別交正方形的兩邊，于點(diǎn)，，記△的面積為，△的面積為，若正方形的邊長，，則的大小為A．6 B．7 C．8 D．9解：四邊形和四邊形都是正方形，，，，．在△與△中，，△△，，，故選：．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）9．（4分）一元二次方程配方為，則的值是1．解：，，，，一元二次方程配方為，，故答案為：1．10．（4分）若，且，則的值為76．解：設(shè)，，，，，，，，，，，，故答案為：76．11．（4分）如圖，在九年級(jí)頒獎(jiǎng)典禮上，舞臺(tái)的長為20米，主持人站在點(diǎn)處自然得體，已知點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則主持人與點(diǎn)的距離為米．解：點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，，米，米，米，主持人與點(diǎn)的距離為米，故答案為：米．12．（4分）將寬度相等的兩張紙條按如圖所示的方式放置，兩個(gè)紙條重疊部分組成的四邊形中，對(duì)角線，，則紙條重疊部分的面積為24．解：如圖，連接，，過作于，作于，由紙條的對(duì)邊平行可得：，，四邊形是平行四邊形，，，紙條等寬，則，，四邊形為菱形，菱形的面積，故答案為：24．13．（4分）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交和于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)：分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，作直線交邊于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．若，則的值為．解：四邊形是平行四邊形，，，，，由作圖得：平分，垂直平分，，，，，，，，△△，，故答案為：．三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）14．（16分）（1）①解方程：；②解不等式組：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，試從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中選取一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．解：（1），，或，解得，；（2）解不等式①：，解得，解不等式②：，，解得，不等式組的解集為；（3），當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，不符合題意．15．（6分）如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，．（1）畫出△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的△；（2）在軸的左側(cè)以為位似中心作△的位似三角形，使△與△的位似比為；（3）直接寫出線段與線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．解：（1）如圖所示，△即為所求；（2）如圖所示，△即為所求；（3）由作圖可知，線段與線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系分別為平行、．16．（8分）為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識(shí)，某校初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有100名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率是多少？解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為（名．選擇“足球”的人數(shù)為（名．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為．故答案為：．（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率為．17．（8分）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）連接，若，，求．解：（1）四邊形的形狀為矩形，理由如下：四邊形為菱形，，對(duì)角線分別平分一組對(duì)角，．由菱形的性質(zhì)可知為，的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，故為△的中位線，，．，又，．，．故四邊形為平行四邊形．，又，．，，．又，故四邊形為矩形（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形）．（2）如圖所示，設(shè)，相交于點(diǎn)，由（1）中可知，．又，即．，，，又，△△．，即，即，．18．（10分）如圖1，雯雯同學(xué)將正方形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕為，延長交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)作與點(diǎn)，連接，求證平分；（3）如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1所示：，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，的延長線交于，，在△和△中，，△△，；（2）證明：如圖2所示：由折疊的性質(zhì)得：，，由（1）可知：△△，，，，，即，，，又，△△，，又，△△，，，，平分；（3）解：與的數(shù)量關(guān)系是：或，證明如下：延長于的延長線交于，如圖3所示：設(shè)正方形的邊長為，，則，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，，，，在△中，由勾股定理得：，，整理得：，解得：，，①當(dāng)時(shí)，則，，，，，△△，，，，，，，，△△，，，，，；②當(dāng)時(shí)，則，，，，同理可證：△△，，，，，，，，△△，，，，，，綜上所述：與的數(shù)量關(guān)系是：或．一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）19．（4分）已知，則代數(shù)式的值是．解：．當(dāng)時(shí)，．故答案為：．20．（4分）已知，是方程的兩根，則．解：，是方程的兩根，，，，；故答案為：．21．（4分）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點(diǎn)得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個(gè)直角三角形的較長直角邊為7，較短直角邊為4，現(xiàn)隨機(jī)向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．解：如圖：由題意可知，，，，在△中，，大正方形的面積中間小正方形的面積，小正方形的外陰影部分的，陰影部分的面積為，針尖落在陰影區(qū)域的概率為．故答案為：．22．（4分）如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過作軸，軸，過點(diǎn)作軸，則，，，點(diǎn)，，，，，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，，，，△為等腰直角三角形，，，，△△，，，，△△，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故答案為：．23．（4分）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，，當(dāng)線段的長度取最小值時(shí)，的長為，則菱形的邊長為．解：設(shè)菱形的邊長為，如圖，連接延長到，使得，連接，，．，，△是等邊三角形，，，，，，的最小值為，四邊形是菱形，，，，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的值最小，如圖2中，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，．解得（負(fù)值舍去），菱形的邊長為，故答案為：．二．解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）24．（8分）某大學(xué)為迎接運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式，準(zhǔn)備購買甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，甲款運(yùn)動(dòng)服單價(jià)（元與購買件數(shù)（件之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙款運(yùn)動(dòng)服的單價(jià)為50元．（1）直接寫出當(dāng)和時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）該學(xué)校預(yù)計(jì)購買甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服共1000件，最終花費(fèi)為56000元，請(qǐng)問有哪幾種購買方案．解：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式為，由題意得：，解得：，與的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)時(shí)，，由題意可知，當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式為；綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）設(shè)甲款運(yùn)動(dòng)服購買件，則乙款運(yùn)動(dòng)服購買件，由題意得：，整理得：，解得：