安徽省2024屆新高考數(shù)學模擬預測卷（八）（含答案解析）

2024安徽新高考模擬預測卷（八）（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應的區(qū)域內，寫在本試卷上無效.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據所給圖形結合補集的韋恩圖表示得出所求的集合表示式，由此得解.【詳解】依題意，由補集的韋恩圖表示知，圖中陰影部分表示的集合是，因集合，集合，則有，所以圖中陰影部分表示的集合是.故選：C2.使得“”成立的一個必要且不充分的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據必要不充分條件的定義求解即可.【詳解】使成立的一個必要不充分條件，滿足不等式的范圍包含，但不完全一致，A選項解集為或，成立，A選項正確；B選項解集為，為充要條件，B選項錯誤；C選項解集為，不成立，C選項錯誤；D選項錯誤；故選：A.3.已知非零向量，，且、、不共面．若，則（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由向量平行，得到，利用系數(shù)對應相等構建關系，即求得x，y，即得結果.【詳解】且，∴，即，又、、不共面，∴，解得，，.故選：B.4.將編號為1、2、3、4、5的5個小球全部放入三個盒子內，若每個盒子不空，且放在同一個盒子內的小球編號不相連，則不同的方法總數(shù)有（）A. B.36 C.48 D.60【答案】A【解析】【分析】根據盒子內小球的個數(shù)進行分類討論，由此求得不同的總數(shù).【詳解】將編號為1、2、3、4、5的5個小球，根據小球的個數(shù)可分為1、1、3或1、2、2兩組.當三個盒子中的小球個數(shù)分別為1、1、3時，由于放在同一個盒子里的小球編號互不相連，故3個小球的編號只能是1、2、5的在一個盒子里，故只有一種分組方法，再分配到三個盒子，此時共有種分配方法；當三個盒子中的小球個數(shù)分別為1、2、2時，由于放在同一個盒子里的小球編號互不相連，此時放2個小球的盒子中小球的編號分別為、或、或、或、或、或、，共6種，再分配到三個盒子中，此時，共有種.綜上所述，不同的放法種數(shù)為6+36=42種.故選：A5.我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始與岸齊，問水深、葭長各幾何？”意思是說：“有一個邊長為丈的正方形水池，在池的正中央長著一根蘆葦，蘆葦露出水面尺．若將蘆葦拉到池邊中點處，蘆葦?shù)捻敹饲『玫竭_水面．問水有多深？蘆葦多長？”該題所求的水深為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】A【解析】【分析】設水深為尺，根據題意列出有關的方程，進而可求得的值，即可得出結論.【詳解】設水深為尺，依題意得，解得．因此，水深為尺.故選：A.【點睛】本題考查中國數(shù)學史，考查考生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎題.6.設復數(shù)（是虛數(shù)單位），則A.i B. C.-1+i D.-1-i【答案】D【解析】【分析】先化簡，結合二項式定理化簡可求.【詳解】，，故選D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算和二項式定理的應用，逆用二項式定理要注意配湊出定理的結構形式.7.已知等差數(shù)列的前項和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（）A.4041 B.4039 C.2021 D.2020【答案】B【解析】【分析】由于等差數(shù)列的前項和存在最大值，則首項，公差；又可得；再根據等差數(shù)列的性質和前項和公式即可求出結果．【詳解】∵等差數(shù)列存在最大值且，∴首項，公差，即等差數(shù)列為遞減數(shù)列，∴，∵，所以∴，.所以滿足的最大正整數(shù)的值為.故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質及其前n項和的性質，屬于中檔題.8.設且，若函數(shù)有三個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)，分別求得時以及x>0時函數(shù)對應的極值點情況，再結合題意，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】當時，，；對，其開口向上，對稱軸為，且，故當，即，也即或時，在恒成立，故在沒有極值點；當，即，也即時，存在，使得，故，>0，y=f(x)單調遞增；在，，y=f(x)單調遞減，y=f(x)在有一個極值點；當x>0時，，令，；故當時，>0，單調遞增；當時，，單調遞減，又，故當，即時，恒成立，在單調遞減，無極值點；當>0，即時，，故存在，滿足；又當趨近于時，趨近于，趨近于，故存在，滿足；故當時，，y=f(x)單調遞減；當時，>0，y=f(x)單調遞增；當時，，y=f(x)單調遞減，故此時在存在個極值點；綜上所述，若y=f(x)有個極值點，則y=f(x)在有一個極值點，在存在個極值點，此時，且，故故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考察利用導數(shù)由函數(shù)的極值點個數(shù)，求參數(shù)的范圍問題；解決問題的關鍵是：能夠利用導數(shù)研究時，以及x>0時，的單調性和極值點個數(shù)對應的參數(shù)范圍，從而結合題意，解決問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A設隨機變量X服從二項分布，則B.已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則C.；D.已知隨機變量滿足，，若，則隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】對于選項都可以通過計算證明它們是正確的；對于選項根據方差的性質，即可判斷選項C.【詳解】對于選項設隨機變量，則，所以選項A正確；對于選項因為隨機變量，所以正態(tài)曲線的對稱軸是，因為，所以，所以，所以選項B正確；對于選項，，故選項C不正確；對于選項由題意可知，，，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質知，當時，隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大，故選項D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查二項分布和正態(tài)分布的應用，考查期望和方差的計算及其性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.（2021·全國高二專題練習）10.1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為，，下列結論正確的是（）A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D.衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小【答案】ABD【解析】【分析】根據橢圓的定義和性質和面積守恒規(guī)律，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】根據橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是，正確；當衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時，對應的面積更大，面積守恒規(guī)律，速度更慢，正確；，當比值越大，則越小，橢圓軌道越圓，錯誤.根據面積守恒規(guī)律，衛(wèi)星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度最小，正確.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的定義和性質，意在考查學生的理解能力和應用能力.11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在處取得極大值B.有兩個不同的零點C.D.若在上恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】根據導函數(shù)確定的單調性極值及最值情況，就能確定ABC的正誤，對于D，恒成立問題，可通過參變分離求最值來解決.【詳解】【解】A選項，，定義域為，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在時取得極大值也是最大值，故A對，B選項，時，，，當時，如下圖所示：函數(shù)有且只有唯一一個零點，故B錯，C選項，當時為單調遞減函數(shù)，，，，故C對，D選項，，故，由于函數(shù)在上恒成立，，設，定義域為，則，設，解得，單調遞增，單調遞減，，故，故D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（第14題答對第一空得3分，答對第二空得2分.）12.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．給出以下結論：①；②；③；④；⑤；其中正確結論的序號是__【答案】③④【解析】【分析】利用向量的加減運算可判斷①②③；根據向量的數(shù)量積的定義可判斷④⑤.【詳解】連接交于O，則O為的中點，對于①，；對于②，；對于③，；對于④，,由題意可知≌，則，故④；對于⑤，由題意知，則，故不是直角，故；故正確結論的序號是③④，故答案為：③④13.某公司計劃建設一個游樂場，規(guī)劃游樂場為如圖所示的四邊形區(qū)域，其中三角形區(qū)域中，百米，百米，三角形區(qū)域是以為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)計劃在三角形區(qū)域內修建水上項目，則的最大面積為______【答案】平方百米【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用點坐標以及點的軌跡求得的最大面積.【詳解】以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設，則，，所以的面積為，由于，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，設，則，所以，所以當時，三角形的面積取得最大值為平方百米.故答案為：平方百米【點睛】求解三角形面積有關問題，要選擇合適的三角形面積公式.求解三角形面積最值有關問題，可先求得三角形面積的表達式，然后根據表達式的結構，考慮利用三角函數(shù)、不等式等知識來求最值.14.若函數(shù)的導函數(shù)存在導數(shù)，記的導數(shù)為．如果對x(a，b)，都有，則有如下性質：，其中n，，，…，(a，b)．若，則＝_______；在銳角△ABC中，根據上述性質推斷：sinA＋sinB＋sinC的最大值為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】構造函數(shù)，，求導，則，由正弦函數(shù)的圖象可知成立，根據函數(shù)的性質，即可求得的最大值．【詳解】解：設，，則，則，，有如下性質：．則，的最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查函數(shù)的性質，考查正弦函數(shù)的性質，考查轉化思想，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，（1）求和的通項公式;（2）設滿足，記的前項和為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件結合等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列通項公式列方程求，再由通項公式求解；（2）根據分組求和法求和.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，由題意得:解得:，；【小問2詳解】由題意知，當時，當時，+1令則，16.四棱錐中，底面為矩形，，，平面與平面的交線為.（1）求證：直線平行于平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意證得平面，結合線面平行的性質定理證得直線，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，設，取的方向向量，根據，，利用向量的夾角公式，求得，進而求得平面和平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因為底面是矩形，可得，又因為平面，平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以直線，又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：以點為原點，，垂直于平面的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標系，則，則，設，取的方向向量，因為，，可得，又因為，可得，即，解得，即，設平面法向量，則，取，可得，所以，設平面的法向量為，則，取取，可得，所以，所以，由圖象可得，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.17.為了豐富學生的課外活動，學校羽毛球社團舉行羽毛球個人賽，有甲、乙、丙、丁四位同學參加，甲與其他三人各進行一場比賽，共進行三場比賽，而且三場比賽相互獨立.根據甲最近分別與乙、丙、丁比賽的情況，得到如下統(tǒng)計表：乙丙丁比賽的次數(shù)606050甲獲勝的次數(shù)203040以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.（1）如果甲按照第一場與乙比賽、第二場與丙比賽、第三場與丁比賽的順序進行比賽.（ⅰ）求甲至少勝一場的概率；（ⅱ）如果甲勝一場得2分，負一場得0分，設甲的得分為，求的分布列與期望；（2）記“甲與乙、丙、丁進行三場比賽中甲連勝二場”的概率為，那么以什么樣的出場順序才能使概率最大，并求出的最大值.【答案】（1）（?。áⅲ┓植剂幸娊馕?，期望為（2）出場順序為丙丁乙或乙丁丙時概率最大，最大值為【解析】【分析】（1）先求得甲與乙比賽獲勝概率為，與丙比賽獲勝概率為，與丁比賽獲勝概率為，再根據獨立性乘法公式，結合對立事件即可求解甲至少勝一場的概率；按分布列的求解步驟即可求解分布列，進而求得期望；（2）由于乙、丙、丁有6種出場順序，分別求得概率，從而可確定最大值.【小問1詳解】甲與乙比賽獲勝概率為；與丙比賽獲勝概率為；與丁比賽獲勝概率為；（?。﹦t甲至少勝一場的概率（ⅱ）的可能取值為0，2，4，6則，，，，所以的分布列為0246【小問2詳解】若出場順序為乙丙?。?；若出場順序為乙丁丙：；若出場順序為丙乙?。?；若出場順序為丙丁乙：；若出場順序為丁丙乙：；若出場順序為丁乙丙：；故出場順序為丙丁乙或乙丁丙時概率最大，最大值為.18.雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.（1）當時，求雙曲線的標準方程；（2）過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）延長與交于，根據，得到，再設，利用雙曲線的定義求解；（2）設，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設直線方程為，聯(lián)立求得即可.【小問1詳解】解：如圖所示：延長與交于，因為，所以，設，則，即，，故方程為；【小問2詳解】設，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設直線方程為，將漸近線兩側平方與