北京豐臺區(qū)十二中2024屆高三年級五月模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題試卷

北京豐臺區(qū)十二中2024屆高三年級五月模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準線在第三象限交于點B，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．2．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．3．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．54．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．1206．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．7．數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．8．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．9．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．10．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．11．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為_____．14．在矩形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.15．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為________.16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望．18．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.20．（12分）已知在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a22．（10分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設(shè)準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題2、D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】由題意．故選：D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，寫出共軛復(fù)數(shù)，寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標即得【詳解】解析：，，對應(yīng)點為，在第三象限．故選：C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵．5、C【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時間不少于小時的頻率為，故自習(xí)時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．6、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7、D【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時，實數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．9、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．10、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.12、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，∴抽取學(xué)生的人數(shù)為6001．故答案為：1．【點睛】本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.14、【解析】

利用平面直角坐標系，設(shè)出點E，F(xiàn)的坐標，由可得，利用數(shù)量積運算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當直線經(jīng)過點時，取得最大值.故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于，當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.16、【解析】

先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,,所以.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為，“合格”的學(xué)生數(shù)為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列與數(shù)學(xué)期望．【詳解】由題意知，樣本容量為，．（1）平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為，因為，所以，則，解得．（2）由題意可知，分數(shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人，分數(shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人．設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，則，所以．（3）在評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為，“合格”的學(xué)生人數(shù)為．由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1．，．所以的分布列為0510151．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）當時，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.（2）對分成三種情況，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】（1）時，可得，即，化簡得：，所以不等式的解集為.（2）①當時，由函數(shù)單調(diào)性可得，解得；②當時，，所以符合題意；③當時，由函數(shù)單調(diào)性可得，，解得綜上，實數(shù)的取值范圍為【點睛】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（Ⅰ）當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【解析】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導(dǎo)，再對a進行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（Ⅱ）問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論，第（Ⅲ）問，構(gòu)造函數(shù)=（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解a的值.試題解析：（Ⅰ）<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增.（Ⅱ）令=，則=.當時，＞0，所以，從而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.當，時，=.故當＞在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.當時，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此時＞在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當時，令=（）.當時，=.因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.又因為=0，所以當時，=＞0，即＞恒成立.綜上，.【考點】導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計算能力．求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調(diào)性；要證明不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調(diào)性．本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍．比較新穎，學(xué)生不易想到，有一定的難度．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，證明，得到面，得到證明.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，為平面的法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）連接，在四邊形中，，平面，面，，，面，又面，，又在直角三角形中，，為的中點，，，面，面，.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，，，，令，則，，，同理可得平面的一個法向量為.設(shè)向量與的所成的角為，，由圖形知，二面角為銳二面角，所以余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.21、(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計算得到答案.(II)n2【詳