12.2 第3課時 三角形內(nèi)角和定理的證明 習(xí)題練

蘇科版七年級下12.2證明第3課時三角形內(nèi)角和定理的證明第十二章證明答案呈現(xiàn)溫馨提示：點擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接1234567810119CCCCDCC理解三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于

180°，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角

形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.知識點1

三角形的內(nèi)角和定理1.將一副三角尺按如圖方式重疊，則∠1的度數(shù)為(

C

)A.45°B.60°C.75°D.105°(第1題)C2.

［2023·江西新考向·學(xué)科綜合］如圖，平面鏡MN放置在

水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點D，一束光線AO照射到鏡

面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若∠AOC＝35°，

則∠OBD的度數(shù)為(

C

)A.35°B.45°C.55°D.65°(第2題)C【點撥】利用光的反射原理得∠BOD＝∠AOC＝35°，根據(jù)垂直

的定義得∠ODB＝90°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得出

答案.3.[2022·北京]下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助

線的方法，選擇其中一種，完成證明.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.已知：如圖是△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法一證明：如圖，過點A作

DE∥BC.

方法二證明：如圖，

過點C作CD∥AB.

【證明】方法一：因為DE∥BC，所以∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.因為∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，所以∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.方法二：因為CD∥AB，所以∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝

180°.因為∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，所以∠B＋∠ACB＋∠ACD＝∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.(選擇一種證明即可)知識點2

三角形的內(nèi)角和定理的推論4.(母題：教材P153圖12－8)

如圖，CE平分△ABC的外角

∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，則∠ECD的度數(shù)為

(

C

)A.40°B.45°C.50°D.55°(第4題)C5.如圖，∠ABD，∠ACE分別是△ABC的兩個外角，若∠A

＝70°，則∠ABD＋∠ACE＝(

C

)A.210°B.230°C.250°D.240°(第5題)C6.如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，

BE交AD于點F，已知∠BDC＝62°，則∠DFE的度數(shù)為(

D

)A.31°B.28°C.62°D.56°(第6題)D【點撥】在長方形ABCD中，∠C＝90°，AD∥BC.因為∠BDC＝

62°，所以∠DBC＝90°－62°＝28°，所以根據(jù)折疊的性質(zhì)可

得∠FBC＝2∠DBC＝2×28°＝56°.因為AD∥BC，所以

∠DFE＝∠AFB＝∠FBC＝56°.7.[2023·荊州]在如圖所示的“箭頭”圖形中，AB∥CD，∠B

＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，則圖中∠G的度數(shù)是(

C

)A.80°B.76°C.66°D.56°(第7題)C【點撥】如圖，延長AB交EG于點M，延長CD交FG于點N，過點G作GK∥AB.∵AB∥CD，AB∥GK，∴GK∥CD，∠KGM＝∠EMB，∴∠KGN＝∠DNF.∴∠KGM＋∠KGN＝∠EMB＋∠DNF.∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF.∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，∴∠EMB＝80°－47°＝33°.同理可得∠DNF＝33°.∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF＝33°＋33°＝66°.故選C.易錯點忽略外角的性質(zhì)中“不相鄰”這一條件8.如圖，在△ABC中，在BC延長線上取點D，E，連接AD，

AE，則下列式子中正確的是(

C

)A.∠ACB＞∠ACDB.∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3C.∠ACB＞∠2＋∠3D.以上都不對C【點撥】

由三角形外角的性質(zhì)可得∠ACB＝∠1＋∠ADC＝∠1＋∠2＋∠3，則∠ACB＞∠2＋∠3，無法得到∠ACB＞∠ACD.

故選C.

利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算9.(母題：教材P155習(xí)題T6)

如圖，已知點E在線段AB上，點

C，F(xiàn)在線段BD上，ED與AC交于點M，∠BEF＝∠AME，

EF平分∠BED.(1)求證：∠A＝∠CMD；【證明】因為EF平分∠BED，所以∠BEF＝∠DEF.因為∠BEF＝∠AME，所以∠DEF＝∠AME，所以EF∥AC，所以∠A＝∠BEF＝∠AME.因為∠AME＝∠CMD，所以∠A＝∠CMD.(2)若∠D＝30°，∠CMD＝55°，求∠ABC的度數(shù).【解】因為∠D＝30°，∠CMD＝55°，所以∠DCM＝180°－30°－55°＝95°.又因為∠A＝∠CMD＝55°，所以∠ABC＝∠DCM－∠A＝95°－55°＝40°.

利用三角形外角關(guān)系進(jìn)行計算10.如圖，點E在△ABC的邊BC上，AD∥BC，∠DAE＝

∠BAC，∠1＝∠2.(1)證明：AB∥DE；【證明】因為AD∥BC，所以∠DAE＝∠2.因為∠1＝∠2，所以∠DAE＝∠1.因為∠DAE＝∠BAC，所以∠BAC＝∠1，所以AB∥DE.【解】因為∠DAE＝∠BAC，所以∠DAC＝∠BAE.因為AE平分∠BAC，所以∠EAC＝∠BAE＝∠DAC.因為AD∥BC，所以∠DAC＝∠C＝35°，所以∠EAC＝∠DAC＝35°，所以∠2＝∠EAC＋∠C＝70°.(2)若AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠2的度數(shù).

利用三角形內(nèi)、外角關(guān)系探究兩角關(guān)系11.

［新考法

類比變式法］已知直線PQ∥MN，△ABC的頂

點A與B分別在直線MN與PQ上，點C在直線AB的右側(cè)，

且∠C＝45°，設(shè)∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β.(1)如圖①，當(dāng)點C落在直線PQ的上方時，AC與PQ交于點

D，求證：∠β＝∠α＋45°.證明：∵∠CDQ是△CBD的一個外角(三角形外角的定義)，∴∠CDQ＝∠α＋∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰

的兩個內(nèi)角的和).∵PQ∥MN(

)，∴∠CDQ＝∠β(

)，∴∠β＝

(等量代換).已知兩直線平行，同位角相等∠α＋∠C

請將下列推理過程補(bǔ)充完整：∵∠C＝45°(已知)，∴∠β＝∠α＋45°(等量代換).【解】∠α＝∠β＋45°.理由如下：∵∠CFN是△ACF的一個外角(三角形外角的定義)，∴∠CFN＝∠β＋∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角