9.1 計數(shù)原理-10年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題九計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計9.1計數(shù)原理考點1計數(shù)原理、排列與組合1.（2023課標II，3）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．A.種 B.種C.種 D.種【答案】D【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種，故選：D.2.（2023全國乙理，7）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】C【解析】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.3.（2023全國甲理，9）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.30【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種，故選：B.4.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種B.90種C.60種D.30種答案C解題思路:第一步:安排甲場館的志愿者,則甲場館的安排方法有C61=6種,第二步:安排乙場館的志愿者,則乙場館的安排方法有C52=10種,第三步:安排丙場館的志愿者,則丙場館的安排方法有C33=1種.所以共有6×10×1=60種不同的安排方法.故選C(易錯5.(2022新高考Ⅱ,5,5分,應(yīng)用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有()A.12種B.24種C.36種D.48種答案B丙和丁相鄰共有A22·A44種站法,甲站在兩端且丙和丁相鄰共有C21·A6.(2021全國乙理,6,5分)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有()A.60種B.120種C.240種D.480種答案C先將5人分為4組,其中一組有2人,另外三組各1人,共有C52=10種分法,然后將4個項目全排列,共有A44=24種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的分配方案共有C52易錯警示本題容易出現(xiàn)將5人分為4組,共有分法C52·7.(2016四川理,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.48C.60D.72答案D奇數(shù)的個數(shù)為C38.(2015四川理,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個偶數(shù),比40000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2A43=48個;同理,以5開頭的有3A43=72個.于是共有48+72=120評析本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的知識.考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.9.(2014大綱全國理,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有C62種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有C51種選法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有C62·10.(2014遼寧理,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把三人帶椅子插放在四個位置,共有A43=24種放法,11.(2014四川理,6,5分)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置有A44=24種排法,12.(2014重慶理,9,5分)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A33·A43=144種,再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,共有A33·A22·13.(2013山東理,10,5分)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,…,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10=900,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252,故選B.評析本題考查分步乘法計數(shù)原理,考查學(xué)生的推理運算能力.14.(2012課標理,2,5分)將2名教師,4名學(xué)生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種答案A2名教師各在1個小組,給其中1名教師選2名學(xué)生,有C42種選法,另2名學(xué)生分配給另1名教師,然后將2個小組安排到甲、乙兩地,有A22種方案,故不同的安排方案共有C4評析本題考查了排列組合的實際應(yīng)用,考查了先分組再分配的方法.15.(2012遼寧理,5,5分)一排9個座位坐了3個三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3個家庭的全排列,方法數(shù)為3!;第2步:家庭內(nèi)部3個人全排列,方法數(shù)為3!,共3個家庭,方法數(shù)為(3!)3,∴總數(shù)為(3!)×(3!)3=(3!)4,故選C.評析本題主要考查計數(shù)原理的基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析、解決問題的能力.16.(2012安徽理,10,5分)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀念品.已知6位同學(xué)之間共進行了13次交換,則收到4份紀念品的同學(xué)人數(shù)為()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由題意及C62=15知只需少交換2次.記6位同學(xué)為A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨討論①A1少交換2次,如A1未與A2、A3交換,則收到4份紀念品的同學(xué)僅為A2、A32人;②A1、A2各少交換1次,如A1與A3未交換,A2與A4未交換,則收到4份紀念品的同學(xué)有4人,為A1、A2、A3、A4.17.(2016課標Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9答案B分兩步,第一步,從E→F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從F→G,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.思路分析小明到老年公寓,需分兩步進行,先從E到F,再從F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.18.(2016課標Ⅲ,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C當m=4時,數(shù)列{an}共有8項,其中4項為0,4項為1,要滿足對任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當a2=0時,分以下3種情況:①若a3=0,則a4,a5,a6,a7中任意一個為0均可,則有C41=4種情況;②若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中任意一個為0均可,有C31=3種情況;③若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種情況;(2)當a2=1時,必有a3=0,分以下2種情況:①若a4=0,則a5,a6,a7中任一個為0均可,有C31=3種情況;②若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種情況.思路分析根據(jù)題意可知a1=0,a8=1,進而對a2,a3,a4取不同值進行分類討論(分類要做到不重不漏),從而利用分類加法計數(shù)原理求出不同的“規(guī)范01數(shù)列”的個數(shù).19.（2023新課標I，13）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．【答案】64【解析】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.20.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

答案1260解析本小題考查排列、組合及其運用,考查分類討論思想.含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有C52C31A31A33=540個,不含有數(shù)字0易錯警示數(shù)字排成數(shù)時,容易出錯的地方:(1)數(shù)字是否可以重復(fù);(2)數(shù)字0不能排首位.21.(2015廣東理,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案1560解析∵同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,∴全班共寫了40×39=1560條畢業(yè)留言.22.(2013北京理,12,5分)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是.

答案96解析5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張,且2張參觀券連號,則有4種分法,把這4份參觀券分給4人,則不同的分法種數(shù)是4A423.(2013大綱全國理,14,5分)6個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.(用數(shù)字作答)

答案480解析先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有A44=24種排法,再將甲、乙插入有A52=20種,所以6人排成一行,24.(2013浙江理,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有種(用數(shù)字作答).

答案480解析從左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120種;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72種;若C排在第3位,則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè),共有排法A22·A33+A32·A33=48種;25.(2011北京理,12,5分)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有個.(用數(shù)字作答)

答案14解析解法一:數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位數(shù)有C41=4個;數(shù)字2出現(xiàn)兩次的四位數(shù)有C42C22=6個;數(shù)字2出現(xiàn)三次的四位數(shù)有C解法二:由數(shù)字2,3組成的四位數(shù)共有24=16個,其中沒有數(shù)字2的四位數(shù)只有1個,沒有數(shù)字3的四位數(shù)也只有1個,故符合條件的四位數(shù)共有16-2=14個.評析本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識,考查分類討論思想,解題關(guān)鍵是準確分類,并注意相同元素的排列數(shù)等于不同元素的組合數(shù).屬于中等難度題.考點2二項式定理1.(2023北京,5,4分,易)在2x?1x5的展開式中,xA.-40B.40C.-80D.80答案D2x?1x5的展開式的通項為Tk+1=C5k(2x)5-k·?1xk=C5k25-k(-1)kx5-2k,令5-2k=1,得k=22.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41答案B∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,∴a0+a2+a4=12×(1+34)=41.故選B3.(2016四川理,2,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案AT3=C62x4i2=-15x4,易錯警示易誤認為i2=1而致錯.4.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A.212B.211C.210D.29答案D∵(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)分別為Cn3,Cn7,∴Cn從而有C100+C101+C102+C10又C100+C102+…+C1010=C10∴奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為C100+C102+…+評析本題考查求二項展開式的二項式系數(shù)及其性質(zhì)、組合數(shù)性質(zhì),考查運算求解能力.5.(2015陜西理,4,5分)二項式(x+1)n(n∈N+)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=()A.4B.5C.6D.7答案C因為(x+1)n的展開式中x2的系數(shù)為Cn所以Cnn?2=15,即Cn2=15,亦即n6.(2015課標Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60答案C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展開式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系數(shù)為C57.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展開式中,含x3項的系數(shù)為()A.30B.20C.15D.10答案C在(1+x)6的展開式中,含x2的項為T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展開式中,含x38.(2014湖南理,4,5分)12x?2y5的展開式中A.-20B.-5C.5D.20答案A展開式的通項為Tk+1=C5k12x5?k·(-2y)k=(-1)k·22k-5C5kx5-k·yk,令5-k=2,得k=3.則展開式中x2y3的系數(shù)為評析本題考查由二項式定理求指定項系數(shù)、組合數(shù)的計算,考查學(xué)生的運算求解能力,屬于中檔題.9.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案C在(1+x)6的展開式中,xm的系數(shù)為C6m,在(1+y)4的展開式中,yn的系數(shù)為C4n,故f(m,n)=C6m·C4n.從而f(3,0)=C63=20,f(2,1)=C62·C410.(2013課標Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案D由二項式定理得(1+x)5的展開式的通項為Tr+1=C5r·xr,所以當r=2時,(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為C52,當r=1時,x2的系數(shù)為C51·a,所以C11.(2013遼寧理,7,5分)使3x+1xxn(n∈NA.4B.5C.6D.7答案BTr+1=Cnr(3x)n-r·x?32r=Cnr·3n-r·xn?若Tr+1是常數(shù)項,則有n-52r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),當r=0,1時,n=0,52,不滿足條件;當r=2時,n=5,12.(2013大綱全國理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A.56B.84C.112D.168答案D(1+x)8·(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)為C82·C413.(2013課標Ⅰ理,9,5分)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5B.6C.7D.8答案B由題意得:a=C2mm,b=C2m+1m,所以13C2mm=7C2m+1m,∴14.(2012湖北理,5,5分)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,則a=()A.0B.1C.11D.12答案D512012+a=(52-1)2012+a=522012+C20121×522011×(-1)+…+C20122011×52×(-1)2011+(-1)2012+a能被13整除,只需(-1)2012+a=1+a能被13整除即可.∵0評析本題考查二項式定理及整除等知識,考查學(xué)生應(yīng)用意識和運算求解能力.15.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)1x2A.-3B.-2C.2D.3答案D由題意知展開式的常數(shù)項為2×(-1)5+C51×(-1)4=-2+5=3,16.在的展開式中，項的系數(shù)為_________．【答案】【解析】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.17.(2021北京,11,5分)x3?1答案-4解析Tr+1=C4r(x3)4-r?1xr=(-1)rC4rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以x3?1x18.(2022新高考Ⅰ,13,5分)1?yx(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答答案-28解析(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為C86=28,x3y5的系數(shù)為C85=56,因此1?yx(x+y)8的展開式中x219.(2022浙江,12,6分)已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

答案8;-2解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的項是由x+2中的x和2分別與(x-1)4的展開式中含x和x2的項相乘后再相加得到的,所以a2=C43(-1)3+2C42(-1對于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,得a0=2×(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.20.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二項展開式中,x2項的系數(shù)為(結(jié)果用數(shù)值表示).

答案21解析本題主要考查二項展開式.(1+x)7的二項展開式中,x2項的系數(shù)為C72=21.(2016天津理,10,5分)x2?1x8的展開式中x7答案-56解析Tr+1=C8rx16-2r(-x)-r=(-1)-rC8rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系數(shù)為易錯警示本題中,展開式的通項易寫錯,尤其是符號,正負易混,需引起注意.評析本題主要考查二項式定理,對運算求解能力要求較高.屬中檔題.22.(2015天津,12,5分)在x?14x6的展開式中答案15解析x?14x6的展開式的通項為Tr+1=C6rx6-r?14xr=?14rC6r23.(2015重慶理,12,5分)x3+12x5的展開式中x答案5解析二項展開式的通項為Tr+1=C5r(x3)5-r·12xr=12rC5r·x15?3r?r2,令24.(2015課標Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.

答案3解析設(shè)f(x)=(a+x)(1+x)4,則其所有項的系數(shù)和為f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為12[f(1)-f(-1)],∴1評析二項展開式問題中,涉及系數(shù)和的問題,通常采用賦值法.25.(2014安徽理,13,5分)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),1+xan的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則答案3解析根據(jù)題意知a0=1,a1=3,a2=4,結(jié)合二項式定理得Cn1·126.(2014課標Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展