傾斜角與斜率

2.1.1傾斜角與斜率第二章

§2.1

直線的傾斜角與斜率1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.(重點(diǎn))2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.(重點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語(yǔ)交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對(duì)于水平方向的傾斜程度，如圖，一輛汽車沿某條道路從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn)，在水平方向前進(jìn)的距離為AD，豎直方向上升的高度為DB(如果是下降，則DB的值為負(fù)實(shí)數(shù))，則坡度k＝若k>0，則表示上坡，若k<0，則表示下坡，為了實(shí)際應(yīng)用與安全，在道路鋪設(shè)時(shí)常要規(guī)劃坡度的大小.那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢？本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)一下.一、直線的傾斜角二、直線的斜率課時(shí)對(duì)點(diǎn)練三、傾斜角和斜率的應(yīng)用隨堂演練

內(nèi)容索引直線的傾斜角一問題1在平面中，怎樣才能確定一條直線？提示兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線.問題2在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向，圖中過點(diǎn)P的直線有什么區(qū)別？提示直線的方向不同，相對(duì)于x軸的傾斜程度不同.1.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸

與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為

.2.直線的傾斜角α的取值范圍為

.正向0°≤α<180°0°注意點(diǎn)：(1)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線l重合時(shí)所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對(duì)x軸正向的傾斜程度.例1

(1)(多選)下列命題中，正確的是A.任意一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為－30°C.傾斜角為0°的直線有無數(shù)條D.若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)√任意一條直線都有唯一的傾斜角，故A正確；傾斜角不可能為負(fù)，故B錯(cuò)誤；傾斜角為0°的直線有無數(shù)條，它們都垂直于y軸，故C正確；當(dāng)α＝0°時(shí)，sinα＝0；當(dāng)α＝90°時(shí)，sinα＝1，故D錯(cuò)誤.√(2)(多選)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為A.α＋45° B.α－135°C.135°－α

D.α－45°√√根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示.通過圖象可知，當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.直線傾斜角的概念和范圍(1)直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.(2)注意傾斜角的范圍.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為____________.60°或120°有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.(1)

(2)②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點(diǎn)為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為_______.135°設(shè)直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.直線的斜率二問題3在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.(1)已知直線l經(jīng)過O(0,0)，P(，1)，α與O，P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(－1,1)，P2(，0)，α與P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？(3)一般地，如果直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？1.把一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝

.2.經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝

，當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2的斜率不存在.3.直線的方向向量與斜率的關(guān)系：若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝

.正切值tanα注意點(diǎn)：(1)當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為90°.(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點(diǎn)在該直線上的位置無關(guān).(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的順序可以同時(shí)調(diào)換.(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0.例2

(1)經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角.①A(2,3)，B(4,5)；則直線AB的傾斜角α滿足tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.②C(－2,3)，D(2，－1)；則直線CD的傾斜角α滿足tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.③P(－3,1)，Q(－3,10).不存在.因?yàn)閤P＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.(2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(a,2)，B(3,6)的直線的斜率.當(dāng)a＝3時(shí)，斜率不存在；求直線的斜率的兩種方法(1)利用定義：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則k＝tanα.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為______.(2)若過點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為______.1(3)已知直線l的方向向量的坐標(biāo)為(1，

)，則直線l的傾斜角為______.設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角和斜率的應(yīng)用三問題4

當(dāng)直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何變化？提示當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大.設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k＝0_____不存在_____k的增減性

隨α的增大而_____

隨α的增大而_____k>0k<0增大增大課本例1如圖，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.由kAB>0及kCA>0可知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由kBC<0可知，直線BC的傾斜角為鈍角.例3已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍；要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又直線PB的傾斜角是45°，直線PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系.(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解.跟蹤訓(xùn)練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍.如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是1.知識(shí)清單：(1)直線的傾斜角及其范圍.(2)直線斜率的定義和斜率公式.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清.隨堂演練四12341.(多選)下列說法正確的是A.若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B.若k是直線的斜率，則k∈RC.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D.任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角√√√12342.若經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于A.2B.1C.－1D.－2√12343.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三點(diǎn)共線，則x＝_____，直線AB的傾斜角為_____.因?yàn)锳(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三點(diǎn)共線，312344.經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是____________.(其中m≥1)當(dāng)m＝1時(shí)，傾斜角α＝90°；0°<α≤90°∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練五12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.下面選項(xiàng)中，兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是A.(4,2)與(－4,1)B.(0,3)與(3,0)C.(3，－1)與(2，－1)D.(－2,2)與(－2,5)√D項(xiàng)，因?yàn)閤1＝x2＝－2，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90°，斜率不存在.123456789101112131415162.(多選)已知直線斜率的絕對(duì)值為

，則直線的傾斜角可以為A.30° B.60°C.120° D.150°√√12345678910111213141516A.60° B.30°C.120° D.150°∴θ＝30°.√√12345678910111213141516123456789101112131415165.如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則A.k1＜k3＜k2

B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3

D.k3＜k2＜k1√設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由圖知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tanα1＜0，tanα2＞tanα3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.123456789101112131415166.直線l過點(diǎn)A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是如圖所示，當(dāng)直線l在l1的位置時(shí)，k＝tan0°＝0；故直線l的斜率的取值范圍是[0,2].√123456789101112131415167.若經(jīng)過點(diǎn)A(1－t,1＋t)和點(diǎn)B(3,2t)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角，(－2,1)解得－2<t<1.123456789101112131415168.已知點(diǎn)A(2，－1)，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P，使直線PA的傾斜角為45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________________.若點(diǎn)P在x軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0)，(3,0)或(0，－3)若點(diǎn)P在y軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，y)，綜上，P為(3,0)或(0，－3).123456789101112131415169.已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1，m)，B(m,1)，問：當(dāng)m取何值時(shí)：(1)直線l與x軸平行？若直線l與x軸平行，∴m＝1.12345678910111213141516(2)直線l與y軸平行？若直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，∴m＝－1.12345678910111213141516(3)直線l的方向向量的坐標(biāo)為(3,1).12345678910111213141516(4)直線的傾斜角為45°？由題意可知，直線l的斜率k＝1，12345678910111213141516(5)直線的傾斜角為銳角？解得－1<m<1.1234567891011121314151610.如圖所示，菱形OBCD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，OB邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各邊和兩條對(duì)角線所在直線的傾斜角和斜率.12345678910111213141516在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直線OD，BC的傾斜角相等，都為60°，所以kOD＝kBC＝tan60°＝

.因?yàn)镃D∥OB，且OB在x軸上，所以直線OB，CD的傾斜角相等，都為0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性質(zhì)，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直線OC，BD的傾斜角分別為30°，120°，12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.如果直線l先沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率是A.－2B.－1C.1D.2√設(shè)A(a，b)是直線l上任意一點(diǎn)，則平移后得到點(diǎn)A′(a－2，b＋2)，1234567891011121314151612.已知點(diǎn)A(2,3)，B(－