專題練習(xí)：零點(diǎn)差問題（原卷版）

【典型例題】例1．已知函數(shù)f(x)=3x—x3，若關(guān)于x的方程f(x)=a有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2且x1<x2.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x)，求證：對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x2—x1|<例3．已知函數(shù)f(x)=(x2—x)ex（1）求曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程；（2）若f(x)—ax+e≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f(x)的最值；（2）當(dāng)m>0時(shí)，若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，證明x2—x1<e—例5．已知函數(shù)f(x)=lnx一ax+a(a為常數(shù)）的最大值為0.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)函數(shù)lnx一f，當(dāng)m>0時(shí)，求證：函數(shù)F有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2(x1例6．已知函數(shù)f(x)=xlnx.（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若a≤2，證明：f(x)≥axe3在(0,+∞)上恒成立；例7．已知函數(shù)f(x)=(x+1)(ex一1).（1）求f(x)在點(diǎn)(一1，f(一1))處的切線方程；（3）若方程f(x)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，證明：x2一x1≤1+【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)f(x)=xlnx，e為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)求曲線y=f(x)在x=e一3處的切線方程；(Ⅱ)關(guān)于x的不等式f(x)≥λ(x一1)在(0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.(Ⅲ)關(guān)于x的方程f(x)=a有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求證：|x1一x2|<a+1+2．已知函數(shù)f(x)=xlnx.（1）求曲線處的切線方程；（2）若方程f(x)=m有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，且x2>x13．已知函數(shù)a的兩個(gè)零點(diǎn)記為x1，x2.（1）求a的取值范圍；4．已知函數(shù)f(x)=(x2一x)ex（1）求y=f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程y=g(x)，并證明f(x)≥g(x)（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若x1，x2(x1<x2)是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：2aln+1<0.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（1）求f(x)在點(diǎn)(—1，f(—1))處的切線方程；（2）已知f(x)≥ax在R上恒成立，求a的值.（3）若方程f(x)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，證明：x2—x1≤b+1+9．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0，以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程；（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)恒有f(x)≤0成立，求滿足條件的m的范圍；（3）當(dāng)m=e時(shí)，令方程f(x)=t有兩個(gè)不同的根x111．已知函數(shù)f(x)=ax—ex+1，ln3是f(x)的極值點(diǎn).(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線為直線l．求證：曲線y=f(x)上的點(diǎn)都不在直線l的上方；(Ⅲ)若關(guān)于x的方程f(x)=m(m>0)有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，求證：x2—x1<2—12．已知函數(shù)f(x)=ax—ex+1，曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線為y=2x.（1）證明：曲線y=f(x)與x軸正半軸有交點(diǎn)；（2）設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線為直線l，求證：曲線y=f(x)上的點(diǎn)都不在直線l的上方；（3）若關(guān)于x的方程f(x)=m(m為正實(shí)數(shù)）有不等實(shí)根x1，x2（1）當(dāng)a≥0，c=1時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）已知a>0，b=一2，c=2，且函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，求證：對任意的正實(shí)數(shù)M，都存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，使得x2一x1>M成立.14．已知函數(shù)+lnx一x，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若曲線y=f(x)與直線y=a有交點(diǎn)，求a的最小值；是否存在最大整數(shù)k，使得對任意正數(shù)x都有f一f（1）)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；15．已知函數(shù)f(x)=(e一x)lnx(e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，以及曲線y=f(x)在其零點(diǎn)處的切線方程；16．已知函數(shù)f(x)=(x2