專題01 空間向量與立體幾何（專題過(guò)關(guān)）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題01空間向量與立體幾何(專題過(guò)關(guān))

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.(2021?廣東?廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí))已知空間向量二=(2,4,3))=(4,8,機(jī)),a//b，

則實(shí)數(shù)切=()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】

由空間向量共線的坐標(biāo)公式即可求得答案.

【詳解】

2=42

由題意,設(shè)2=4囚=(2,4,3)=2(4,8,in)=><4=8A=>?

3=Amm=6

故選：A.

2.(2021?云南省玉溪第一中學(xué)高二期中(理))已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3,1),且7=(a,0,&)

是/的方向向量，則點(diǎn)尸(4,3,2)至此的距離為()

A.|B.—C.0D.—

222

【答案】B

【分析】

由題設(shè)可得而=(2,0,1),根據(jù)已知條件求＜而工＞的余弦值，再由P到/的距離為

|AP|sin<AP,n>即可求值.

【詳解】

由題設(shè)，AP=(2,0,1),又3=(0,0,忘)是/的方向向量,

—-AP-n3^23yli0B,

cos<AP,n>|=|———1=—f=—=-----,易知:sin<AP,n>=

\AP\\n\>/5x210記,

點(diǎn)P(4,3,2)至IJ/的距離為|而|sin〈麗,7＞=行x嚕=孝.

故選：B.

3.(2021?江蘇濱湖?高二期中)己知X月=前=(0,-1,0),則異面直線4?與CD

所成角的余弦值為()

A.BB.且C.旦D.逅

9336

【答案】B

【分析】

利用空間向量的夾角公式求解異面直線AB與C。所成角的余弦值.

【詳解】

4.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體A8CD-ASGA中，菊=￡，A^=b,A^=c,

。為底面4BCD的中心，G為ARG。的重心，則而=（）

B.-a+b+^-c

36

-I-5-

D.a-\--h+—c

26

【答案】A

【分析】

結(jié)合空間線段的關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】

在正方體A3C￡）-43|G￡＞］中，4A=a,A4=B，AR=C，0為底面ABC。的中心，G為

△AG。的重心，連接OG,

則而=祈+詼=（（而+而）+g（西+反Q

1-1

=-(Z?+c)+-^(BA+BC)+DDt+^(AB+AD)+

23

=—(B+c)+—(1+c)+-a+—(B+c)+—a

26363

2-15-

=—a+—br+—c.

326

故選：A.

5.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如圖，正方形ABC。與矩形AC"所在的平面互相垂直,

AB=e，AF=1，M在E尸上，且40〃平面BDE,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()

B?俘制、

A.(1,1,1)C.

‘2'

7

【答案】B

【分析】

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,l),設(shè)ACn8〃=O,連接OE,由線面平行的性質(zhì)可得出

利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得x、y的值，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】

如圖，設(shè)加點(diǎn)的坐標(biāo)為伍刈，設(shè)ACCW=O,連接OE,則。去，今,0,

\7

又E(0,0,l),A(V2,V2,0),則3?=一與瀉，］，潴=［一血》-&,1),

?.?AM〃平面AMu平面ACE尸，平面BDEc平面ACEF=OE,Wi］OE//AM,即

OE//AM.

0夜

X

X-=-2=2

解得

所以,所以，M點(diǎn)的坐標(biāo)為彳，芋1，

夜

V2

y一y

-=-2=2\Z

故選：B.

6.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在五面體ABCDE中，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,AE±

平面ABC,CD//AE,S.CD=^AE.設(shè)CE與平面ABE所成的角為a,AE=Z（Z>0）,若

TTjr

,則攵的最大值為（）

64

C.0D.6

【答案】C

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，求出平面A8E的一個(gè)法向量，利用空間向量表達(dá)出

線面角的正弦，結(jié)合a的范圍，求出k的最大值.

【詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C-^z,則C（O,O,O）,E（OJA）,B冬;,0,40,1,0）,則

\7

麗=（0,1,幻，取AB的中點(diǎn)M,則M芋,|,0）,連接。1/,則。^_1M，乂4￡，平面ABC,

因?yàn)镃Mu平面ABC,所以CW_LA￡,乂因?yàn)锳EIAB=A,所以CM_L平面ABE,則平

面A8E的一個(gè)法向量為兩=

兀冗—2Wsina=—,結(jié)合&>0可得：<k<V2,所以人的最

aw7?，丁，可得:

6422V17F22

大值為五.

故選：C.

7.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)。處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)

C處，己知庫(kù)底與水壩斜面所成的二面角為120。，測(cè)得從。，C到庫(kù)底與水壩斜面的交線的

距離分別為DA=30m,C5=40m,若A8=2（）6m,則甲，乙兩人相距（）

A.70mB.70KmC.90mD.906m

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量的運(yùn)算得到反=麗+而+元，然后利用平方法即可求出答案.

【詳解】

由于反=方+而+肥，

所以|反『=（方+而+就尸=|方『+|而『+\BC\l+2（DAAB+ABBC+DABC）

=302+（20^）2+402+2x（0+0+30x40xcos60"）=4900,

所以|反|=70,故甲，乙兩人相距70m.

故選：A.

8.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱4BC-A8cl中，側(cè)棱垂直于底面，ABVBC,

AB=BC'4c=2血,e=0,點(diǎn)E為AG的中點(diǎn)"點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上且函［品'

則異面直線BE與GF所成角的余弦值為（）

_V3

C.D.

22

【答案】D

【分析】

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,B片所在直線分別為工軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利

根據(jù)H甌冏=第

用向量法,即可求出答案.

【詳解】

在三棱柱A3C-AB￡中,因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，且AB_LBC,

所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

由=AC=2五,例=0,得AB=BC=2,

所以8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,正)，C,(2,Ox/2),

由汴=，或，得方=9(2,0,0)=(1，0,。］,

4412/

所以異面直線BE與CF所成角的余弦值為

3

2.=1

cos悻中）卜

網(wǎng)印「口口32-

故選：D.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.(2021?浙江?高二期中)下列命題中，正確的有()

A.若向量萬(wàn)，5與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則切區(qū)；

B.若非零向量1,b,C滿足萬(wàn)15，blc，則有了〃機(jī)

C.在四面體中，若麗m=0，PCAB=0.則方?恁=0;

D.若向量a+6,b+c,e+a是空間一組基底，則2,b，5也是空間的一組基底.

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析選擇.

【詳解】

解：對(duì)于A：若向量2，5與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即

1//5，故A正確；

對(duì)于B：若非零向量商,5，^滿足則萬(wàn)與-不一定共線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)辂?反^o，無(wú).而=0，

所以麗.就=(而+A孫(而+沅)=⑸.而+而2+而.而，

2

PBAC={PC+CB){AB+BC)=PCBC+CBAB-BC.將上述兩式相加得

2PBAC=PAAB+AB2+ABBC+PCBC+CBAB-BC2

=4匣(序+A月)+(.月?前+而?/1*)+證?(無(wú)—位)

^AB.PB+BCPB=PB(AB+BC)=PBAC，

所以2萬(wàn)?恁=麗?祝，所以麗?/=0，故C正確；

對(duì)于D：若向量a+5,b+c,e+a,是空間一組基底，

則空間任意一個(gè)向量2,存在唯?實(shí)數(shù)組(x,y,z),

使2=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+{x+y)b+(y+z)c,

則心5，*也是空間的一組基底.故D正確.

故選：ACD.

10.(2021?海南??？谝恢懈叨谥?正方體ABC。-44GA的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別

為BC,CC、,8M的中點(diǎn).貝lj()

A.直線A。與直線A尸垂直B.直線AG與平面AEF平行

C.平面的截正方體所得的截面面積為5D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面曲的距離相等

8

【答案】BC

【分析】

對(duì)于A,利用線線平行，將2。與AF的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為判斷c。HA廠的位置關(guān)系；

對(duì)于B,作出輔助線：取4G的中點(diǎn)N,連接AN、GN,然后利用面面平行判斷；

對(duì)于C,把截面AEF補(bǔ)形為四邊形AEF。,，由等腰梯形計(jì)算其面積判斷；

對(duì)于D,利用反證法判斷.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)镈Q〃GC,若?！?gt;_LAF,則C；C_LAF,從圖中可以看出，G。與A尸相交,

但不垂直，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于-B,如圖所示，取4G的中點(diǎn)N,連接AN、GN,則有GN〃砂，A.N//AE,

,:CNCAN=N,EFC\AE=E,，平面4GN〃平面AE尸.

又「AGU平面A。。，AG〃平面AEF，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,如圖所示，連接RA,延長(zhǎng)。尸，AE交于點(diǎn)S,

,:E，F(xiàn)分別為BC,C。的中點(diǎn)，E尸〃

，A、E、F、R四點(diǎn)共面，.?.截面即為梯形AEF￡)1.

CF=CE,：.CF2+CS2=CE2+CS2,即FS2=ES2,FS=ES

又RF=AE,AD.F+FS=AE+ESDtS=AS=y/5,AD、=血,

；?等腰△ARS的高力=逑,梯形AEFR的高為空逑，

224

梯形AEFR的面積為:(EF+AA)xg=；x(g+及)故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,假設(shè)C與G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過(guò)CG

的中點(diǎn)，

連接CG交EF于H,而H不是CG中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故D錯(cuò).

故選：BC.

11.(2021?遼寧沈陽(yáng)?高二階段練習(xí))如圖，正方體ABC。-ABC0的棱長(zhǎng)為1,E是。。的

中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.直線與?！ㄆ矫鍭8O

B.

C.三棱錐G-BCE的體積為:

D.直線々E與面CDRG所成的角為60'

【答案】AB

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可；

【詳解】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,A(o,o,o),3(1,(),0),c(l,l,o),0(0,1,0),A(0,0,l),B,(1,0,1),

q(1,1,1),0,(0,1,1),,西=(-1,1,1),=(-1,1,0),BA=(-1,0,1),

則有，

對(duì)于A,設(shè)平面ABO的法向量為〃=(x,y,z),則’:靠即取〃=(1,1,1)，

則信麻=0xl+lxl+lx(-l)=0,即［_L麻，

又直線gc<z平面AB。，所以直線4c〃平面AB。，故A正確，

對(duì)于B,因?yàn)轼r?西=-lxO+lxl+(—l)xl=O,即麻，兩，所以,故B正確,

對(duì)于C,%-SCE=5-GCE=§|4G|,SAGCE=§*1乂5*以1=彳，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,由題意易知，AD=(O,l,O)為平面CDDG的一個(gè)法向量，且與E=

則設(shè)直線瓦E與平面8DC所成的角為。，

.cRE-AD12

所以's】ne=網(wǎng).畫=、=§,所以6、60°'故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在三棱柱中，側(cè)棱441d?底面人田6，

ZBAC=90,AB=AC=A4,=1,。是棱CC,的中點(diǎn)，P是直線A。與AG的交點(diǎn).若點(diǎn)Q

A.當(dāng)點(diǎn)。為線段用尸的中點(diǎn)時(shí)，。。，平面48。

B.當(dāng)點(diǎn)。為線段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P)時(shí)，OQL平面A3。

C.在線段4P的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)Q,使得OQ_L平面4也。

D.在直線用尸上不存在點(diǎn)Q,使得Q。，平面A田。

【答案】ABC

【分析】

分別以A耳,福，不的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,算出平面

A3。的法向量，假設(shè)DQJ?平面AB。，且麗=/1即=〃—1,2,0)=(—4240),然后可判

斷出答案.

【詳解】

如圖，分別以4方,南,平的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系4-啰z,

則由已知得A(0,0,0),4(1,0,0),B(1,0,1),。(0』,g),尸(0,2,0),

則麗=(1,0,1),而=((),1,；),即=(-1,2,0),

〃?AB=x+z=0

設(shè)平面A8Q的法向量為G=(x,y,z),則］_____1

n-A1D—y+—z=0

取z=-2，則x=2,y=l,所以平面A?。的一個(gè)法向量為3=(2,1,-2).

假設(shè)DQ1平面\BD,且可。=4解=2(-1,2,0)=(-A,2A,0),

則而=西+而=(1—彳,-1+24-3,因?yàn)槎彩瞧矫娴姆ㄏ蛄浚?/p>

所以?與雙共線，于是有1-2-1+2/1一萬(wàn)1成立,此時(shí)2無(wú)解.

21--2-4

故在直線4P上不存在點(diǎn)Q,使得。Q_L平面AB。，A,B,C不正確，D正確.

故選：ABC.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.(2021?湖南?嘉禾縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知點(diǎn)M(l,(),2),N(-l,l,0),MN=2MP,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】

【分析】

先求出向量麗的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),得出面A的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出方程組可得答案.

【詳解】

/UUU

點(diǎn)”(1,0,2),N(T,l,0),則MN=(-2,l,-2)

UIM

設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則MP=(x—l,y,z-2)

2x-2=-2

由麗=2標(biāo)，則＜2y=l,即'丫=],

2z-4=-21

Iz=l

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

故答案為：(0，；』)

14.(2021?北京?北大附中高二期中)若向量2=(4,-1,2),\=(x,8,-6)且小則

x=.

【答案】5

【分析】

空間向量垂直，則空間向量的數(shù)量積為0,進(jìn)而列出方程，求得結(jié)果

【詳解】

因?yàn)?上人所以73=0，即4工一8-12=(),解得：x=5

故答案為：5

15.(2021?全國(guó)?高二專題練習(xí))正方體A88-48CQ的棱上到直線4夕與CG的距離相等

的點(diǎn)有4個(gè)，其中3個(gè)點(diǎn)分別為E,F,如圖所示，則直線AG與平面EFR所成角的

正切值為一.

【答案】亞

7

【分析】

正方體ABCO-ABGQ的棱上到直線AB與CC,的距離相等的點(diǎn)分別為R,8c的中點(diǎn)，

4G的靠近用的四等分點(diǎn)，假設(shè)8C的中點(diǎn)為E，4G的靠近用的四等分點(diǎn)為尸，以。為

原點(diǎn)，DA,DC,?？谒谥本€分別為x,>,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能

求出直線4G與平面EFD,所成角的正切值.

【詳解】

解：正方體的棱上到直線A8與CG的距離相等的點(diǎn)分別為：

A，BC的中點(diǎn)，B|G的靠近4的四等分點(diǎn)，

假設(shè)BC的中點(diǎn)為E,qG的靠近B,的四等分點(diǎn)為F,

以。為原點(diǎn)，DA,DC，QQ所在直線分別為x,V,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)鉆=2,則E(l,2,()),F(-,2,2),0,(0,0,2),0,()),C,(0,2,2),

￡F=(p0,2),即=g,2,0),Aq=(-2,2,2),

設(shè)平面EF"的法向量萬(wàn)=(x,y,z),

——1

nEF=—x+2z=0

2

則〈令x=4,則y=-3,z=-l,得”=(4,-3,-1),

一3

n-GF=—x+2y=0

設(shè)直線AG與平面EFR所成角為0,

FFLLL.A|n-Aqi164x/78

則sin6=----=r=-/=-j==----,

|"HACJV26-V1239

直線AC；與平面所成角的正切值tan。=就=溫=號(hào).

故答案為：華

16.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在三棱柱A8C-A&G中，的，平面A8C,

AA,=AC=BC=4,ZACB=90°,E是CR的中點(diǎn).則直線AB與平面ABE所成角的正弦

值為.

A

【答案】g

3

【分析】

結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE的法向量，然后利用線面夾角的向量公

式求解即可.

【詳解】

由題意，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-xyz,

則A（4,0,0）,8（0,4,0）,E（0,0,2）,A（4,0,4）,

所以e=（-4,4,0），H=（4,0,2），EB=（O,4,-2）?

設(shè)平面ABE的法向量為：=(x,y,z)，

EAH=04x+2z=0

則_,即

EBn=04y-2z=0'

令x=l,則y=-l,z=-2,

從而：=(1,_1「2)為平面ABE的一個(gè)法向量,

不妨設(shè)直線AB與平面A,BE所成角為。,

從而3

樹(shù)〃1

故直線的與平面3所成角的正弦值為今

故答案為：走.

3

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(2021?廣東?廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí))如圖所示，在四棱錐尸-A3C。中，四邊

形ABCO是平行四邊形，48=26,"=2,乙43。=30。,抬_1平面488,2/1=2夜，點(diǎn)"

在線段AO上，H.AM=a,tanZPMA=2>/2.

(2)求平面MPC與平面4PC夾角的余弦值；

(3)若點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，求△NPB面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)點(diǎn)N的位置.

【答案】

(1)1；

力5VH8

59

(3)石，N在OC的延長(zhǎng)線上且NC=C。.

【分析】

(1)根據(jù)0和邊長(zhǎng)的值即可求出?的值；

(2)選CO中點(diǎn)7,以A8,AT,AP為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,求出平面MPC與

平面APC的法向量，利用法向量即可求出兩平面夾角的余弦值；

(3)設(shè)N(r,l,0),用具心8=曰麗|?|網(wǎng)sin/BPN計(jì)算出面積，利用二次函數(shù)求最值即可.

(1)

陷=2&

平面ABC。，AOu平面A8cO,.'.MlAD,tanZPMA==2>/2

\AM\a

(2)

,,BC-AC-

在△ABC中，cos/ABC=?JJL-L,v/ABC=30,

2-\AB\-\BC\

M=2?BC|=2,：￥=；；熄|AC『=4，

:.\AC\^2,.?.照=陽(yáng)=2,

?..四邊形ABC。是平行四邊形，

:.\AC\—\AD\=2,

選CO中點(diǎn)T,則ATI.CD,AB//CD.

：.ATLAB,：.AB,AT,AP兩兩垂直，

...以A5,AT,AP為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-M，Z,

則網(wǎng)26,0,0),'：AT為CD邊上的高,

\CT\^^\CD\=y/3,\AT\=^C|2-|Cr|2=>/4^3=l,

.?.c（扃,0）,味肉,0）

|AM|=1,何為AO中點(diǎn)，.->0,P（0,0,2>^）

PC=^A,~2y/2）,AP^（0,0,2y/2）,MC^

設(shè)平面APC的法向量為海=(4,%,zj.?.而?而=0,m-AP=0,

取用=（6，—3,0卜

2>/^Z[=0

設(shè)平面MPC的法向量為為=（々，%，Z2），

+%-2A/^Z2=0

.*.n-PC=0,n-MC=0,<取k=6,-9,-

g上X[+g>2=0

..cos而n==——>...平面we與平面APC夾角余弦值為題S；

阿為59

（3）

設(shè)N(t,1,0),麗-20卜陪06,0,-2a),

PN-PB=2^t+8,:.cosNBPN=25+8=由丁，.

7r+9x720V5V^2+9

(67+4)2

sinNBPN=1-

5-(r2+9)

S?=J麗HsinNBPNsinNBPN,

Z.5兀=；(〃+9)一?(而f-sin2^BP7V=^x(r+9)x20x(△+4)2

5(r+9)

=5（』+9）_（打+4）2=2/一8后+29=2?-2>^）2+5..5

當(dāng)f=2x/J時(shí)，△NP8面積取最小值為不，此時(shí)，N在OC的延長(zhǎng)線上且NC=CD,即C

為NQ的中點(diǎn).

18.（2021?云南省玉溪第一中學(xué)高二期中（理））在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為

矩形，平面ABEF_L平面A8CQ,E尸〃45,/R4尸=90°,|仞|=4,|他|=|A尸|=2但尸|=2,點(diǎn)P

在線段。尸上.

F

(l)若戶是OF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面AD尸與平面APC的夾角的余弦值為包？若存在，求P尸的

3

長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)還;

15

(2)存在，也.

3

【分析】

(1)證明A8,4。,4斤兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,利用直線的方向向量求異面直

線的夾角余弦值；

(2)利用(1)中的空間直角坐標(biāo)系求兩個(gè)平面的法向量，據(jù)此求其面面角的余弦值.

(1)

VZBAF=90°,AAF±AB,

;平面4BEFJ_平面ABC。，且平面ABEF0平面ABCD=AB.AEu平面

?*.AFmABCD,

?..四邊形A8C￡＞為矩形，

...以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，43,4￡)〃尸分別為％%2軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-qz,

D

.?.8(2,0,0),E(l,0,2),尸(0,2,1),C(2,4,0),F(0,0,2),

：.BF=(-2,0,2)屏=(-1,0,2),CP=(-2,-2,1),

BECP4石

COS<BECP\=

\BE\-\CP\IF

即異面直線BE與CP所成角的余弦值為撞:

15

(2)

A8JL平面仞F,

平面AD尸的法向量為加=(1,0,0),

設(shè)尸(0,y,z),

?.,點(diǎn)P在線段￡)尸上，，而=f而，(04Y1),尸(0,0,2),0(0,4,0),

：.FP=(0,y,z-2),FD=(0,4,-2),

由麗負(fù)而可得：y=4r,z=2-2t,

：.P(0,4/,2-2/),

在平面"C中，AP=(0,4t,2-2t),AC=(2,4,0),設(shè)平面APC的法向量后=(x,y,z),

n-AP=4(y+(2—2f)z=02t

則《2令y=1,則x=-2,z=--

n2AC=2x+4y=0

得平面APC的法向量為e=(-2,1,三)，

t-\

I/--\|_|或句_2_V6

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,貝4慳何動(dòng)卜麗=J(_2)2+；+3)2=W

???3/+2/-1=0解得/=；，或f=-l(舍去).

存在點(diǎn)P使得平面AD廠與平面”C的夾角的余弦值為四，且PF的長(zhǎng)度為2叵.

33

19.(2021?河南?溫縣第一高級(jí)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試(理))如圖，在直三棱柱中,

|C4|=|C四=l,/BCA=90,|AA|=2,M,N分別是4穌AA的中點(diǎn).

(1)求cos<8(,CB；>的值;

(2)求證：AtB±C,M.

【答案】

(I)國(guó)

10

(2)見(jiàn)解析.

【分析】

⑴以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CG為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-“z,分別求出兩,

UUU____________

CB,,利用向量法能求出cos<B*CB,>；

ULU1UUUUI

(2)由AB￡M=0,即能證明

(1)

如圖，根據(jù)題意可知C4、CB、CG兩兩垂直，故以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CG為》、),、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-Ayz,

Z八

則B(0,1,0),A,(l,o,2),C(0,o,o),4(0,1,2),

二百=(-l,-1,2),西=(0,],2),

BA,?CBI=3,|BA]|=^6,|CB1|=石，

甌.西_聞

甌，函＞=

<網(wǎng).|西一而；

（2）

依題意，得G（0,0,2）,“（；，；,2）,

_______11

...48=(-1,1,2),C,M=0),

4瓦CM=_g+；+o=o,

踵_1,麗,

20.（2021?云南師大附中高三階段練習(xí)（理））如圖，。是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截

面Q4B為直角三角形，C是底面圓周上異于A,8的任一點(diǎn)，。是線段AC的中點(diǎn)，

AC=2瓜BC=2.

p

(1)證明：平面尸,平面PAC；

(2)在母線R4上是否存在一點(diǎn)E,使二面角尸-OD-E的余弦值為班，若存在，請(qǐng)說(shuō)

7

明點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析；

(2)存在，E為母線R4的中點(diǎn).

【分析】

(1)由圓錐的性質(zhì)易得ACLPO,圓的性質(zhì)有ACJ>3C,進(jìn)而可得ODLAC,再由線面

垂直的判定及面面垂直的判定即可證結(jié)論.

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,y,z)、而=又而并根據(jù)已知條件求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再

求向?！陸?yīng)、面尸8的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，結(jié)合已知建立方程求參數(shù)小

即知E的位置.

(1)

由圓錐的性質(zhì)知，POJ_底面圓，又AC在底面圓。上，

AACLPO,又C在圓。上，43為直徑，

AAC1BC,又0,。分別為AS,AC的中點(diǎn)，

AOD//BC,則O￡>J_AC,又ODDPO=O,且O￡>,尸Ou面尸O￡),

ACJjfffPO。，又ACu面PAC,

...面POOL面PAC.

(2)

存在，E為母線B4的中點(diǎn).

由題意，尸O_L面ABC,C4±CB.

故以C為原點(diǎn)，CB,CA及平行于0P所在的直線分別為x?，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-種

(如圖所示).

又AC=2瓜BC=2,則ABujAd+BC?=4,又4PAB為直角三角形,

PO=-AB=2,

2

，4(0,2若,0),。(0,百,0),。(1,若,0),尸(1,石,2),設(shè)E(x,%z),

DO=(l,0,0),PE=(x-l,y-5/3,z-2),PA=(-l,>/3,-2).

乂尸,E,A二點(diǎn)共線，設(shè)PE=2PA'即(x—l,y—百,z—2)=為(―1,G,—2),

E(1-人6+同2-2團(tuán)，則詼=(1-4&,2-2/1).

設(shè)面ODE的法向量為汨=(X“％,Z|),則｛-----,即｛r-八，取

m-DE=0[(l-2)xl+V3Ay14-(2-22)zl=0

設(shè)面POD的法向量為百=（%,%,私），XAC1SPOD,可取3=（0,1,0）.

—m-n2"

c