微專題講義：零點(diǎn)差問(wèn)題-原卷版

零點(diǎn)差問(wèn)題有關(guān)兩個(gè)零點(diǎn)之和的取值問(wèn)題一般為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題或拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，而有關(guān)兩個(gè)零點(diǎn)差的問(wèn)題則主要考查兩個(gè)零點(diǎn)之間的位置關(guān)系，即零點(diǎn)之間的距離.零點(diǎn)差問(wèn)題，基本思路有：(1)切線夾放縮；(2)割線夾放縮；(3)函數(shù)擬合放縮；(4)找點(diǎn)放縮.其中找點(diǎn)放縮的難度最大．如在天津卷就出現(xiàn)過(guò)切線放縮，一般這種提示比較明顯，往往是第一問(wèn)切割線.【例1】已知fx=3x?x3，若關(guān)于x的方程fx=a有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；求證：x2?x1<2?【例2】已知函數(shù)fx=(x2?x)ex.(1)求y=fx在(1，f1)處的切線方程y=gx，并證明fx?gx；(2)若方程fx=m(m∈R)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x1?x2|<+m+1.【例3】已知函數(shù)fx=xlnx.(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(2)若a??2，證明：fx?ax?e?3在(0，+∞)上恒成立；(3)若方程fx)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，求證：be+1<x2?x1<.【例4】已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)記x1，x2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：x1?x2>21?a.已知m∈R，函數(shù)f有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2．證明：x2?x1.【例6】已知函數(shù)lnx+x?(1)當(dāng)m=0時(shí),求f(x)的最值;(2)當(dāng)m>0時(shí),若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2(x1<x2),證明:x2?x1<e?.【例7】已知函數(shù)+alnx(1)討論函數(shù)y=a的單調(diào)性;ea(2)若A,B是x1,x2(x1<x2)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:2aln(x2?x1+ea【例8】已知函數(shù)?lnx+x?2a,a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2.(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;證明:x2?x11.已知函數(shù)=xlnx?(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且x1<x2.證明:x2?x1<2.已知函數(shù)f(x)=(x+1)(ex?1).(1)求f(x)在點(diǎn)(?1,f(?1))處的切線方程;(2)若a?e?1,證明:f(x)?alnx+2ex?2在x∈[1,+∞)上恒成立;(3)若方程f(x)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2?x1?1++.3.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的零點(diǎn)x0,以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程;(2)設(shè)f(x)=m(m>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:x1?x2<2?m4.已知函數(shù)f(x)=(x?e)lnx,令方程f(x)=t有兩個(gè)不同的根x1,x2,且滿足x2<x1,求5.已知函數(shù)f(x)=3x?ex+1.(1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為p,曲線在點(diǎn)p處的切線方程為直線l.求證:曲線y=f(x)上的點(diǎn)都不在直線l的上方;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=m(m>0)有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(x1<x2),求證:x2?x1<2?6.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx?clnx,其中a,b,c∈R.(1)當(dāng)a?0,c=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)已知a>0,b=?2,c=2,且函數(shù)f(x)有零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:對(duì)任意的正實(shí)數(shù)M,都存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,使得x2?x1>M成立.7.已知函數(shù)+lnx?x,其中e=2.71828?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若曲線y=f(x)與直線y=a有交點(diǎn),求a的最小值;是否存在最大整數(shù)k,使得對(duì)任意正數(shù)x都有f?φ(1)]成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(ii)若曲線y=f(x)與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,求證:|AB|<28.已知函數(shù)f(x)=