第十一章 三角形（4個易錯點）

第十一章三角形單元復(fù)習(xí)提升（易錯點）易錯點1判斷鈍角三角形某邊上的高線是否正確例題：（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（）A．

B．C． D．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┫旅嫠膫€圖形中，線段是的高的圖形是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（）A． B．C． D．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，，，，點，，是垂足，下列說法錯誤的是（）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高易錯點2三角形中折疊時圖形未定產(chǎn)生多解漏解易錯例題：在中，，，點D是邊上一動點，將沿直線翻折，使點A落在點E處，連接交于點F．當(dāng)是直角三角形時，度數(shù)是__________度．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當(dāng)時，的度數(shù)為___________．

2．如圖，在三角形中，，點D為邊上一個動點，連接，把三角形沿著折疊，當(dāng)時，則______．3．在“妙折生平折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片，，，點是邊上的固定點，請在上找一點，將紙片沿折疊為折痕），點落在點處，使與三角形的一邊平行，則為________度．易錯點3多邊形截角后的內(nèi)角和問題例題：一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是，則原多邊形的邊數(shù)是__．【變式訓(xùn)練】1．一個多邊形剪去一個角后，內(nèi)角和為，則原多邊形是___________邊形．2．一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2700°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為_____．3．（1）每個內(nèi)角都相等的十邊形的一個外角的度數(shù)為_____；（2）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是_____．易錯點4求一內(nèi)角平分線與不相鄰?fù)饨瞧椒志€的夾角例題：如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則__________．

【變式訓(xùn)練】1．為的一個外角，、的角平分線交于點．

(1)若，，則______；(2)若，則______；(3)若，則______；(4)若，則______；(5)你能找出與之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明．2．問題情境：如圖1，中，平分，平分．

(1)探索發(fā)現(xiàn)：若，則的度數(shù)為______；若，則的度數(shù)為______．(2)猜想證明：試判斷與的關(guān)系，并說明理由．(3)結(jié)論應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，平分，且與四邊形的外角的平分線交于點D．若，，則的度數(shù)為______．過關(guān)訓(xùn)練一、單選題1．下列四個圖中，正確畫出中邊上的高是（）A． B．C． D．2．如圖，在中，邊上的高作法正確的是（）A． B．C． D．

二、填空題3．如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)可能是________．4．一個多邊形截去一個角后，所形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是2160°，則原多邊形的邊數(shù)是______．5．如圖，直角三角形中，，點是邊上的一點，連接，將沿折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，的度數(shù)為____．6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F(xiàn)分別是邊AC，AB上的點，連接EF，將△AEF沿EF折疊，得到，當(dāng)?shù)倪吪c△ABC的一邊平行時，∠AEF的度數(shù)是_____．7．如圖，，分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線……以此類推，若，則______．

三、解答題8．（1）如圖1，在中，的平分線和的外角平分線交于點，若，求的度數(shù)．

（2）如圖2，在四邊形中，的平分線和的外角平分線交于點，求的度數(shù)．（3）如圖3，若將（2）中“”改為“”，其余條件不變，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．9．【結(jié)論探究】如圖1，在中，的平分線與外角的平分線相交于點P，則有結(jié)論：．請完成上述結(jié)論的證明過程：∵平分，∴___________．∵平分，∴．∵_(dá)__________，∴，∵，∴___________．請直接應(yīng)用上面的結(jié)論解決下面問題：【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點E，外角的平分線與的延長線相交于點F，求的度數(shù)．【拓展應(yīng)用】如圖3，已知四邊形與四邊形，平分，平分外角．①若，則___________；②若，則___________（用含β的代數(shù)式表示）．

第十一章三角形單元復(fù)習(xí)提升（易錯點）答案全解全析易錯點1判斷鈍角三角形某邊上的高線是否正確例題：（2023秋·浙江杭州·八年級校考開學(xué)考試）下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可得到答案．【詳解】解：中邊上的高即為過點B作的垂線段，該垂線段即為邊上的高，四個選項中只有選項D符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形高線定義，解題的關(guān)鍵是熟知過三角形一個頂點作對邊的垂線得到的線段叫三角形的高．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校校考期中）下面四個圖形中，線段是的高的圖形是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義逐項分析即可解答．【詳解】解：A．線段是的高，選項不符合題意；B．線段是的高，選項不符合題意；C．線段是的高，選項不符合題意；D．線段是的高，選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查三角形的高的定義，從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高．2．（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．【詳解】解：在中，是鈍角，邊上的高線就是過點A作邊的垂線得到的線段，如圖，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．掌握定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，，，，點，，是垂足，下列說法錯誤的是（）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高【答案】B【分析】根據(jù)三角形高的定義依次判斷即可．【詳解】解：A、中，是邊上的高，故此選項正確，不符合題意；B、中，不是邊上的高，故此選項錯誤，符合題意；C、中，是邊上的高故此選項正確，不符合題意；D、中，是邊上的高，故此選項正確，不符合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了三角形高的概念，應(yīng)熟記三角形的高應(yīng)具備的兩個條件：①經(jīng)過三角形的一個頂點，②垂直于這個頂點的對邊．易錯點2三角形中折疊時圖形未定產(chǎn)生多解漏解易錯例題：在中，，，點D是邊上一動點，將沿直線翻折，使點A落在點E處，連接交于點F．當(dāng)是直角三角形時，度數(shù)是__________度．【答案】或【分析】分和，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，如圖，則：∵折疊，∴，∴；當(dāng)時，如圖，則：，∵，，∴，∴，∴，∵折疊，∴，綜上：的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握折痕是角平分線，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當(dāng)時，的度數(shù)為___________．

【答案】或【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和等知識即可完成求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：；∵，∴；①當(dāng)在下方時，如圖，∵，∴，∴；

②當(dāng)在上方時，如圖，∵，∴，∴；

綜上，的度數(shù)為或；故答案為：或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，注意分類討論．2．如圖，在三角形中，，點D為邊上一個動點，連接，把三角形沿著折疊，當(dāng)時，則______．【答案】或【分析】根據(jù)題意分在三角形外部和在三角形內(nèi)部兩種情況討論，分別根據(jù)折疊的性質(zhì)和角的和差求解即可．【詳解】解：當(dāng)在三角形外部，如圖：∵，，∴，∵三角形沿著折疊，∴∴當(dāng)在三角形內(nèi)部，如圖：∵，，∴，∵三角形沿著折疊，∴，∵．故答案為：或．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，角的和差，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．3．在“妙折生平折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片，，，點是邊上的固定點，請在上找一點，將紙片沿折疊為折痕），點落在點處，使與三角形的一邊平行，則為________度．【答案】35或75或125【分析】分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，根據(jù)折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得答案．【詳解】解：①當(dāng)時，由折疊可知，，，，，，，．②當(dāng)時，，，，，③當(dāng)時，，，，，綜上所述，或或．故答案為：35或75或125．【點睛】此題考查的是翻折變換和平行線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．易錯點3多邊形截角后的內(nèi)角和問題例題：一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是，則原多邊形的邊數(shù)是__．【答案】17，18或19【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：，求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況進(jìn)行討論，計算即可．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為，則，解得：，若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為19，若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為17，若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為18，則多邊形的邊數(shù)是17，18或19，故答案為：17，18或19．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式（且是整數(shù)），注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解．【變式訓(xùn)練】1．一個多邊形剪去一個角后，內(nèi)角和為，則原多邊形是___________邊形．【答案】或或【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多，少三種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)是，則，解得，截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多或少，原多邊形的邊數(shù)是或或．故答案是：或或．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點在于截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多，少，有這么三種情況．2．一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2700°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為_____．【答案】16或17或18【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況進(jìn)行討論．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為，則，解得，①若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為16，②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為17，③若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為18，所以多邊形的邊數(shù)可以為16或17或18．故答案為：16或17或18．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式．解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解．3．（1）每個內(nèi)角都相等的十邊形的一個外角的度數(shù)為_____；（2）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】36°/36度6或7【分析】（1）根據(jù)正多邊形的每一個外角相等且所有的外角的度數(shù)和為360度求解即可．（2）求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．【詳解】解：（1）一個十邊形的每個外角都相等，∴十邊形的一個外角為360÷10＝36°．故答案為：36°；（2）設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）×180＝720，解得：n＝6．∵多邊形過頂點截去一個角后邊數(shù)不變或減少1，∴原多邊形的邊數(shù)為6或7．故答案為：6或7．【點睛】此題考查了正多邊形外角和多邊形的內(nèi)角和；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，熟知正多邊形外角與邊數(shù)的關(guān)系式．易錯點4求一內(nèi)角平分線與不相鄰?fù)饨瞧椒志€的夾角例題：如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則__________．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，化簡可得，進(jìn)一步找出其中的規(guī)律，即可求出的度數(shù)．【詳解】和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，，又，，，，同理可得：，，則，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出，，與的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．為的一個外角，、的角平分線交于點．

(1)若，，則______；(2)若，則______；(3)若，則______；(4)若，則______；(5)你能找出與之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)，證明見解析【分析】（1）由角平分線定義得到，，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到答案；（2）由角平分線定義得到，，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到答案；（3）由角平分線定義得到，,由三角形外角的性質(zhì)得到，則，再由三角形外角的性質(zhì)得到；（4）由角平分線定義得到，,由三角形外角的性質(zhì)得到，則，再由三角形外角的性質(zhì)得到，即可得到；（5）由角平分線定義得到，,由三角形外角的性質(zhì)得到，則，再由三角形外角的性質(zhì)得到，即可得到．【詳解】（1）解：∵、的角平分線交于點．，，∴，，∵為的一個外角，∴，故答案為：（2）∵、的角平分線交于點．∴，，∵為的一個外角，，∴；故答案為：（3）∵、的角平分線交于點．∴，，∵，∴，∵為的一個外角，∴；故答案為：（4）∵、的角平分線交于點．∴，，∵，∴，∵為的一個外角，∴，∵，∴,故答案為：（5），證明如下：∵、的角平分線交于點．∴，，∵，∴，∵為的一個外角，∴，∴．【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．問題情境：如圖1，中，平分，平分．

(1)探索發(fā)現(xiàn)：若，則的度數(shù)為______；若，則的度數(shù)為______．(2)猜想證明：試判斷與的關(guān)系，并說明理由．(3)結(jié)論應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，平分，且與四邊形的外角的平分線交于點D．若，，則的度數(shù)為______．【答案】(1)，(2)，理由見解析.(3)【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義即可求解；（2）利用三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義即可證明；（3）延長交于點P，在中，求得，利用（2）的結(jié)論即可解決問題.【詳解】（1）解：平分，平分，，，若，則若，則故答案為：；（2）解：理由如下：平分，平分，，（3）解：延長交于點P，

，，，，在中，，由（1）結(jié)論得：故答案為：【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.過關(guān)訓(xùn)練一、單選題1．下列四個圖中，正確畫出中邊上的高是（）A．

B．

C．D．

【答案】C【分析】從三角形一個頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高，根據(jù)三角形的高的定義逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義，邊上的高是過點A向作垂線，垂足為D，縱觀各圖形，選項A、B、D都不符合題意，只有選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的高，正確理解三角形的高的定義是解題關(guān)鍵．2．如圖，在中，邊上的高作法正確的是（）A．

B．C．

D．

【答案】D【分析】中邊上的高線是過C點作的垂線，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：中邊上的高線是過C點作的垂線，四個選項中只有D選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，經(jīng)過三角形的頂點（與底相對的點）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點和垂足之間的線段就是三角形的一條高．二、填空題3．如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)可能是________．【答案】、、【分析】分四邊形剪去一個角，邊數(shù)減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內(nèi)角和，即可得解．【詳解】解：剪去一個角，若邊數(shù)減少1，則內(nèi)角和為：（3?2）?180°＝180°，若邊數(shù)不變，則內(nèi)角和為：（4?2）?180°＝360°，若邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和為：（5?2）?180°＝540°，綜上分析可知，四邊形剪去一個角，所得多邊形內(nèi)角和的度數(shù)可能是180°，360°，540°．故答案為：180°，360°，540°．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是要注意剪去一個角有三種情況．4．一個多邊形截去一個角后，所形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是2160°，則原多邊形的邊數(shù)是______．【答案】13或14或15【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°求出截去一個角后的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后邊數(shù)增加1，不變，減少1討論得解．【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：（n﹣2）?180°=2160°解得：n=14．∵截去一個角后邊上可以增加1，不變，減少1，∴原多邊形的邊數(shù)是13或14或15．故答案為13或14或15．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，本題難點在于多邊形截去一個角后邊數(shù)有增加1，不變，減少1三種情況．5．如圖，直角三角形中，，點是邊上的一點，連接，將沿折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，的度數(shù)為____．【答案】或/或【分析】分兩種情況：當(dāng)時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，當(dāng)時，即在外時，由折疊可得：，，，平分，即．【詳解】解：分兩種情況：如圖，①當(dāng)時，由折疊得，，∴，∴A、E、D三點在同一條直線上，點在上時，②當(dāng)時，即在外時，如圖，由折疊可得：，,，，由折疊的性質(zhì)可知：平分，，不可能為直角．故答案為或．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，解本題要注意分類討論．熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等基本知識點．6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F(xiàn)分別是邊AC，AB上的點，連接EF，將△AEF沿EF折疊，得到，當(dāng)?shù)倪吪c△ABC的一邊平行時，∠AEF的度數(shù)是_____．【答案】30°或75°或120°【分析】分三種情況討論，利用翻折變換和平行線的性質(zhì)可求∠AEF的度數(shù)．【詳解】解：如圖1，若時，∴，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵將△AEF沿EF折疊，得到，∴，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE＝120°，∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如圖2，設(shè)與AB交于點H，若時，∴∠BCA＝∠FHA＝90°，∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵將△AEF沿著EF折疊，∴；∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；如圖3，若時，∴，∴，∵將△AEF沿著EF折疊，∴；綜上所述：30°或75°或120°．【點睛】本題是翻折變換，平行線的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．7．如圖，，分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線……以此類推，若，則______．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角可得，，然后等量代換即可．【詳解】解：由題意可得：，，∵，，∴，∴，同理可得，……∵，∴，，……,故答案為：．【點睛】本題考查了幾何規(guī)律，涉及到角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．三、解答題8．（1）如圖1，在中，的平分線和的外角平分線交于點，若，求的度數(shù)．

（2）如圖2，在四邊形中，的平分線和的外角平分線交于點，求的度數(shù)．（3）如圖3，若將（2）中“”改為“”，其余條件不變，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義求出，，則由三角