第13章 軸對稱 單元測試

第13章軸對稱單元測試一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列四個圖形中，是軸對稱圖形的是．(

)A.

B.C.

D.2.下列軸對稱圖形中，對稱軸的數(shù)量小于3的是：A.

B.C. D.

3.下列四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是()A.武 B.大 C.外 D.校

4.如果點A(?3,a)是點B(3,?4)關于y軸的對稱點，那么點A關于x軸的對稱點的坐標是．(

)A.(3,?4) B.(3,4) C.(?3,4) D.(?3,?4)5.下列各組圖形中，是全等形的是(

)A.兩個含60°角的直角三角形 B.腰對應相等的兩個等腰直角三角形C.邊長為3和4的兩個等腰三角形 D.一個鈍角相等的兩個等腰三角形6.下列說法正確個數(shù)有個(

)(1)有兩邊和第三邊上的高對應相等兩個三角形全等；(2)三角形中到三個頂點距離相等的點是三條角平分線的交點；(3)如果一個三角形一邊中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；(4)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，則這個等腰三角形的頂角是50°(5)等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為9或12A.1 B.2 C.3 D.47.如圖，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D.則∠DBC等于(

)A.40° B.45° C.30° D.35°8.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE=6?cm，則AC等于(

)．A.6?cm B.5?cmC.4?cm D.3?cm9.如圖，在△ABC，AB=AC，D為BC上一點，且DA=DC，BD=BA，則∠B的大小為(

)A.40° B.36° C.30° D.25°10.點P是等邊△ABC所在平面上的一點，若點P和△ABC的三個頂點所組成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，則這樣的P點的個數(shù)(

)A.1個 B.4個 C.7個 D.10個11.如圖，在△ABC中，BC⊥AC，點M，N分別在AB，AC上，MN是AC的垂直平分線，則下列判斷：①AM=CM，②∠2=∠B，③AM=BM，其中錯誤個數(shù)是(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個12.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知、是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點的個數(shù)是(

)

A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）13.若點A(m+2,3)與點B(?4,n+5)關于y軸對稱，則m+n=

_

_

_

_

14.等腰△一腰上的高與其中一邊的夾角為450，則頂角為

_。15.如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°，ΔABD是ΔABC的軸對稱圖形。點E在AD上，點F在AC的延長線上。若點B恰好在EF的垂直平分線上，并且AE=5，AF=13，則DE=_________。16.如圖，已知∠MON=30°，點，，，…在射線ON上，點，，，…在射線OM上，△、△、△，…均為等邊三角形，若，則△的周長為______________．三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題8.0分)在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CD=CE，DM⊥BC，求證：點M是BE的中點。18.(本小題8.0分)如圖，ΔABC中，AC=BC，D、E分別在BC、AC上，AD和BE相交于點F，連接CF交AB于點P，若∠CAD=∠CBE，求證：點P是AB的中點．19.(本小題8.0分)已知：如圖△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm.求BC的長．20.(本小題8.0分)如圖，在3×3的正方形格紙中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中△ABC是一個格點三角形(1)請在下面每一個備選圖中作出一個與△ABC成軸對稱的格點三角形(不能重復)(2)在這個3×3的正方形格紙中，與△ABC成軸對稱的格點三角形最多有___________個．21.(本小題12.0分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(?1,5)，B(?1,0)，C(?4,3)．(1)在圖中作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A(2)直接寫出點A1，B1，(3)求出△A22.(本小題8.0分)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=7，DE垂直平分AB于點D，交AC于點E，求△BEC的周長。23.(本小題10.0分)如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．(1)求證：OE是CD的垂直平分線．(2)若∠AOB=60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關系？并證明你的結論．24.(本小題12.0分在△ABC中，∠B=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，D是BC上一點，AD與BE交于點F．(1)如圖(1)，若AD是△ABC的高．①求證：△AEF是等腰三角形；②若ABBD=3，直接寫出(2)如圖(2)，若AD是△ABC的角平分線，猜想線段AB、AE、BE、BD之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．

第13章軸對稱單元測試一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列四個圖形中，是軸對稱圖形的是．(

)A.

B.C.

D.【答案】C

【解析】解：A不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義．不符合題意；B不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義．不符合題意；C.有四條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意；D.不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義．不符合題意．故選C．2.下列軸對稱圖形中，對稱軸的數(shù)量小于3的是：A.

B.C. D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形.根據(jù)對稱軸的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，求解即可．【解答】解：A.有4條對稱軸；B.有6條對稱軸；C.有4條對稱軸；D.有2條對稱軸．故選D．3.下列四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是()A.武 B.大 C.外 D.?！敬鸢浮緽

【解析】【分析】本題考查的是軸對稱圖形有關知識，利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．【解答】解：B項是軸對稱圖形．故選B．

4.如果點A(?3,a)是點B(3,?4)關于y軸的對稱點，那么點A關于x軸的對稱點的坐標是．(

)A.(3,?4) B.(3,4) C.(?3,4) D.(?3,?4)【答案】C

【解析】【分析】本題考查平面直角坐標系關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系，解決的關鍵是對知識點的正確記憶．平面直角坐標系中任意一點P(x,y)，分別關于x軸的對稱點的坐標是(x,?y)，關于y軸的對稱點的坐標是(?x,y).

【解答】解：根據(jù)對稱的性質(zhì)，得已知點A(?3,a)是點B(3,?4)關于y軸對稱的點的坐標，那么a=?4；則點A的坐標是(?3,?4)，所以點A關于x軸對稱的點的坐標是(?3,4)．故選C．5.下列各組圖形中，是全等形的是(

)A.兩個含60°角的直角三角形 B.腰對應相等的兩個等腰直角三角形C.邊長為3和4的兩個等腰三角形 D.一個鈍角相等的兩個等腰三角形【答案】B

【解析】A.兩個含60°角的直角三角形，缺少對應邊相等，所以不是全等形；

B.腰對應相等的兩個等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；

C.邊長為3和4的兩個等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3，不一定是全等形；

D.一個鈍角相等的兩個等腰三角形，缺少對應邊相等，不一定是全等形．

故選B．6.下列說法正確個數(shù)有個(

)(1)有兩邊和第三邊上的高對應相等兩個三角形全等；(2)三角形中到三個頂點距離相等的點是三條角平分線的交點；(3)如果一個三角形一邊中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；(4)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，則這個等腰三角形的頂角是50°(5)等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為9或12A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A

【解析】【分析】本題考查三角形三邊關系、全等三角形判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)心和外心等知識，屬于基礎題，根據(jù)知識點逐一判斷即可．【解答】解：(1)錯誤，如銳角三角形和鈍角三角形；(2)三角形中到三個頂點距離相等的點是三條垂直平分線的交點，故錯誤；(3)正確；(4)頂角可能是50°或130°，故錯誤；(5)等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，這個三角形的三邊為2，5，5，周長是12，故錯誤；故選A．

7.如圖，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D.則∠DBC等于(

)A.40° B.45° C.30° D.35°【答案】C

【解析】【分析】本題考查等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)，關鍵是要掌握等邊對等角和垂直平分線上的點到線段兩端距離相等.解答本題時，先依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到∠ABC的度數(shù)，再依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到∠ABD的度數(shù)，最后用∠ABC的度數(shù)減去∠DBC的度數(shù)即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=(180°?40°)÷2=70°．∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°．∵∠DBC=∠ABC?∠ABD，∴∠DBC=70°?40°=30°．故選C．8.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE=6?cm，則AC等于(

)．A.6?cm B.5?cmC.4?cm D.3?cm【答案】D

【解析】∵DE垂直平分AB∴BE=AE=6?cm,又∵∠B=15°，∴∠AEC=2∠B=30°又∵∠ACB=90°，∴AC=1/2AE=3?cm.9.如圖，在△ABC，AB=AC，D為BC上一點，且DA=DC，BD=BA，則∠B的大小為(

)A.40° B.36° C.30° D.25°【答案】B

【解析】【分析】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)，根據(jù)AB=AC可得∠B=∠C，由DA=DC得∠C=∠DAC，證得∠BDA=2∠C=2∠B，由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=2∠B，在△ABD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DA=DC，∴∠C=∠DAC，∴∠BDA=∠C+∠DAC=2∠C=2∠B，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B，設∠B=α，則∠BAD=∠BDA=2α，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴α+2α+2α=180°，∴α=36°，∴∠B=36°．故選B．

10.點P是等邊△ABC所在平面上的一點，若點P和△ABC的三個頂點所組成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，則這樣的P點的個數(shù)(

)A.1個 B.4個 C.7個 D.10個【答案】D

【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，線段垂直平分線性質(zhì)等知識點的綜合運用，解題時注意分類思想的運用．①以A為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P1，P9兩點；以B為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P4，這樣在BC的垂直平分線上有三點；②同樣在AC，AB的垂直平分線上也分別有3點；③還有一點就是AB，BC，AC三條邊的垂直平分線的交點P【解答】解：①以A為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P1，P9兩點；以B為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P4②同樣在AC，AB的垂直平分線上也分別有三點；③還有一點就是AB，BC，AC三條邊的垂直平分線的交點；∴共3+3+3+1=10個．故選D．

11.如圖，在△ABC中，BC⊥AC，點M，N分別在AB，AC上，MN是AC的垂直平分線，則下列判斷：①AM=CM，②∠2=∠B，③AM=BM，其中錯誤個數(shù)是(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】A

【解析】(1)由MN是

AC的垂直平分線，可得AM=

CM(2)∠2+∠?1=90°，∠A+∠

B=90°，由MN是

AC的垂直平分線，得∠A=∠1，所以∠2=∠

B(3)由∠2=∠

B，得BM=CM，由(1)得AM=BM故選A。12.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知、是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點的個數(shù)是(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【解析】試題分析：根據(jù)題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．如圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△A?BC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．所以，點的個數(shù)是8個．故選：D．考點：本題考查了等腰三角形的判定．點評：解答本題的關鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．數(shù)形結合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）13.若點A(m+2,3)與點B(?4,n+5)關于y軸對稱，則m+n=

_

_

_

_

【答案】0

【解析】根據(jù)題意，點A(m+2,3)與點B(?4,n+5)關于y軸對稱，由關于y軸對稱的點的性質(zhì)，可得m、n的值，進而可得m+n的值．∵點A(m+2,3)與點B(?4,n+5)關于y軸對稱∴m+2=4，n+5=3∴m=2，n=?2∴m+n=2?2=0．故答案為：0．14.等腰△一腰上的高與其中一邊的夾角為450，則頂角為

_【答案】45°，或135°，或90°

【解析】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即頂角的度數(shù)為45，②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°，∴∠BAC=135°，③當?shù)妊切螢橹苯侨切螘r，∠BAC=90°，故答案是：45°，或135°，或90°．15.如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°，ΔABD是ΔABC的軸對稱圖形。點E在AD上，點F在AC的延長線上。若點B恰好在EF的垂直平分線上，并且AE=5，AF=13，則DE=_________。【答案】4

【解析】【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)有關知識。根據(jù)軸對稱得到∠ADB=∠ACB=90°，BD=BC，AD=AC，根據(jù)中垂線性質(zhì)得到BE=BF，再證明RtΔDEB?RtΔCFB，最后用線段間關系等量代換計算即可?！窘獯稹拷猓哼B接BE，BF，如圖，∵ΔABD和ΔABC的軸對稱圖形，∠ACB=90°∴∠ADB=∠ACB=90°，BD=BC，AD=AC∵點B在EF的垂直平分線上∴BE=BF在RtΔDEB和RtΔCFB中∵∴RtΔDEB?RtΔCFB(HL)∴DE=CF∵AF=13，AE=5∴AF=AC+CF=AD+DE=AE+DE+DE=13∴5+2DE=13∴DE=4故答案為4。16.如圖，已知∠MON=30°，點，，，…在射線ON上，點，，，…在射線OM上，△、△、△，…均為等邊三角形，若，則△的周長為

_

_

_

_

．【答案】96

【解析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1//A2B2//解：∵△A∴A1B∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°?120°?30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°?60°?30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA∴A∵△A2B∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B∴AA4A5…∴△AnB∴△A6B∴

△A6B故答案為96．三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題8.0分)在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CD=CE，DM⊥BC，求證：點M是BE的中點?！敬鸢浮孔C明：∵在等邊△ABC中，且D是AC的中點，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中點．【解析】本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等邊三角形每個內(nèi)角為60°．要證M是BE的中點，根據(jù)題意可知，證明△BDE為等腰三角形，利用等腰三角形底邊上的高和中線重合即可得證．18.(本小題8.0分)如圖，ΔABC中，AC=BC，D、E分別在BC、AC上，AD和BE相交于點F，連接CF交AB于點P，若∠CAD=∠CBE，求證：點P是AB的中點．【答案】證明：∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵∠CAD=∠CBE，∴∠DAB=∠EBA，∴FA=FB，又∵AC=BC，∴CF是AB的中垂線，∴P是AB的中點．

【解析】此題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明CF是AB的中垂線是解題的關鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出∠DAB=∠EBA，再證明CF是AB的中垂線就可以得出結論．19.(本小題8.0分)已知：如圖△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm.求BC的長．【答案】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∠B+∠ADB=90°，∴BD=2AD=2×4=8(cm)，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4cm，∴BC=BD+DC=8+4=12(cm)．

【解析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)．等腰△ABC中，根據(jù)∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易證得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4cm.Rt△ABD中，根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊的一半，可求得BD=2AD=8cm；由此可求得BC的長．20.(本小題8.0分)如圖，在3×3的正方形格紙中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中△ABC是一個格點三角形(1)請在下面每一個備選圖中作出一個與△ABC成軸對稱的格點三角形(不能重復)(2)在這個3×3的正方形格紙中，與△ABC成軸對稱的格點三角形最多有___________個．【答案】(1)解：如圖，最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱.(答案不唯一，畫出其中三個即可)(2)6．

【解析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結構分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可．(2)依據(jù)(1)中的作圖結果進行判斷即可。21.(本小題12.0分如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(?1,5)，B(?1,0)，C(?4,3)．(1)在圖中作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A(2)直接寫出點A1，B1，(3)求出△A【答案】解：(1)如圖：(2)由圖可知：A1(1,5)，B1(3)SΔ【解析】本題考查了軸對稱圖形的畫法，求關于Y軸對稱的點的坐標間關系等，根據(jù)相關知識點即可解決問題．(1)根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標特點畫出△A(2)根據(jù)點關于y軸對稱的性質(zhì)，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，即可求出A1、B1、(3)根據(jù)三角形面積=梯形面積?三角形面積?三角形面積，計算即可得出結論．22.(本小題8.0分)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=7，DE垂直平分AB于點D，交AC于點E，求△BEC的周長?！敬鸢浮拷猓骸逥E垂直平分AB，交AB于點D，交AC于點E∴AE=BE，∵AB=AC=10，∴△BEC的周長是BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=10+7=17．

【解析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．求出AE=BE，求出△BEC的周長=AB+BC，代入求出即可．23.(本小題10.0分如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．(1)求證：OE是CD的垂直平分線．(2)若∠AOB=60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關系？并證明你的結論．【答案】解：(1)∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線；(2)∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=3