數(shù)學示范教案：第二章第二節(jié)平面向量的線性運算（第一課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第二節(jié)平面向量的線性運算第一課時作者：黃衛(wèi)華，永安市第一中學教師,本教學設計獲福建省教學設計大賽二等獎eq\o(\s\up7(),\s\do5（整體設計）)教學分析《向量》這一章是前一輪教材中新增的內(nèi)容．高考考綱有明確說明，同時新課標也提出向量是數(shù)學的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在兩個方面：①向量的基本概念和基本運算;②向量作為工具的應用．另外，在今后學習復數(shù)的三角形式與向量形式時，還要用到向量的有關知識及思想方法，向量也是將來學習高等數(shù)學以及力學、電學等學科的重要工具．教材的第2.1節(jié)通過物理實例引入了向量的概念，介紹了向量的模、相等的向量、單位向量、零向量以及平行向量等基本概念．而本節(jié)課是繼向量基本概念的第一節(jié)課．向量的加法是向量的第一運算,是最基本、最重要的運算,是學習向量其他運算的基礎．它在本單元的教學中起著承前啟后的作用，同時它在實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應用．正如第二章的引言中所說：如果沒有運算，向量只是一個“路標",因為有了運算,向量的力量無限．學生學習情況分析學生在高一學習物理中的位移和力等知識時，已初步了解了矢量的合成，而物理學中的矢量相當于數(shù)學中的向量，這為學生學習向量知識提供了實際背景．設計理念教學矛盾的主要方面是學生的學．學是中心，會學是目的．因此，在教學中要不斷指導學生學會學習．在教學過程中，從教材和學生的實際出發(fā)，按照學生認知活動的規(guī)律,精練、系統(tǒng)、生動地講授知識，發(fā)展學生的智能，陶冶學生的道德情操；要充分發(fā)揮學生在學習中的主體作用，運用各種教學手段,調(diào)動學生學習的主動性和積極性，啟發(fā)學生開展積極的思維活動,通過比較、分析、抽象、概括，得出結(jié)論；進一步理解、掌握和運用知識,從而使學生的智力、能力和其他心理品質(zhì)得到發(fā)展．教學目標根據(jù)新課標的要求:培養(yǎng)數(shù)學的應用意識是當今數(shù)學教育的主題，本節(jié)課的內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密，更應強化數(shù)學來源于實際又應用于實際的意識．集本節(jié)教材的特點和高一學生對矢量的認知特點，我把本節(jié)課的教學目標確定為：1．理解向量加法的意義，掌握向量加法的幾何表示法,理解向量加法的運算律．2．理解和體驗實際問題抽象為數(shù)學概念的過程和思想，增強數(shù)學的應用意識．3．培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力．4．進行辯證唯物主義思想教育、數(shù)學審美教育,提高學生學習數(shù)學的積極性．教學重點與難點1．教學重點:兩個向量的和的概念及其幾何意義．（兩個向量的和的概念是向量加法的基礎，而向量加法是向量運算的基礎．向量的線性運算的另一個特點是它有深刻的物理背景和幾何意義，因此在引入一種向量運算后，總是要考查一下它的幾何意義，正因為向量的幾何意義，使得向量在解決幾何問題時可以發(fā)揮很好的作用．)2．教學難點：向量加法的運算律．(設計讓學生先猜想后驗證來學習運算律，需要利用類比的思想進行猜測,還要在猜測的基礎上加以驗證，有一定難度．）eq\o(\s\up7（),\s\do5（教學過程))導入新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(問題引入））(約5分鐘)引例：有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000牛,F2＝2000牛，牽繩之間的夾角θ＝60°。如果只用一條拖輪來牽引，而產(chǎn)生的效果跟原來的相同,試求出這條拖輪的牽引力的大小和方向．圖1在物理中，我們已知道，兩個不在一條直線的共點力eq\o（OA，\s\up6（→)）與eq\o(OB，\s\up6（→))的合力是以eq\o(OA,\s\up6（→))、eq\o(OB，\s\up6（→）)為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線eq\o（OC,\s\up6(→）)所表示的力．這就是說，eq\o(OC，\s\up6(→））是eq\o(OA，\s\up6（→)）與eq\o(OB，\s\up6（→))相加所得到的和．設計說明引導學生利用物理中合力的概念，來解決這個實際問題，以現(xiàn)有的知識為出發(fā)點培養(yǎng)學生的知識類比、遷移能力．學情預設把實際問題抽象為數(shù)學概念是學生的認知難點．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（概念形成))（約5分鐘)一般地，把以eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB，\s\up6(→）)為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線eq\o（OC,\s\up6（→）)，叫做eq\o(OA,\s\up6（→)）與eq\o(OB，\s\up6(→)）兩個向量的和,記作eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6(→））。求兩個不平行向量的和可按平行四邊形法則進行．問題1：如何求兩個平行向量的和向量？問題2：任意一個向量與一個零向量的和是什么？求兩個向量的和的運算叫做向量的加法．設計說明補充說明兩個向量和的概念，同時讓學生體驗分類的思想．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（概念深化))（約15分鐘）練習：根據(jù)圖2中所給向量a，b，c畫出向量：（1）a＋b；(2)a＋b＋c。圖2解法一:將兩個向量起點重合，應用平行四邊形法則畫出兩個向量的和向量．解法二：將一個向量的起點與另一向量的終點重合,也可以畫出兩個向量的和向量．設計說明1．學生通過練習題(1)可加深對向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法則．圖32．通過對比的方式讓學生了解向量的加法既可以按照平行四邊形法則進行，也可以按照三角形法則進行．在向量加法運算中，通過向量的平移使兩個向量首尾相接，可使用三角形法則．引申:求n(n>3）個向量的和向量．設計說明求n（n>3)個向量的和向量時，讓學生進一步體會應用首尾相接的三角形法則的優(yōu)越性．學情預設學生對從特殊到一般的理解較抽象．結(jié)論:求n個向量的和向量可應用多邊形法則．運算律的歸納問題：向量的加法既然是一種運算，它應該具有哪些運算律?如何進行驗證呢？設計說明引導學生類比實數(shù)加法的運算律，得出向量加法的運算律，培養(yǎng)學生的類比、遷移歸納能力．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用舉例))（約10分鐘)(1)已知平面內(nèi)有三個非零向量eq\o（OA,\s\up6(→)）、eq\o(OB,\s\up6(→)）、eq\o(OC，\s\up6(→)），它們的模都相等，并且兩兩的夾角都是120°，求證:eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\o（OB，\s\up6(→）)＋eq\o(OC，\s\up6(→)）＝0；(2）在平面內(nèi)能否構(gòu)造三個非零向量a、b、c,使a＋b＋c＝0；（3)能否說出（2)的實際模型？設計說明題(1）是基本的例題;題(2)是題(1)的拓展；題（3)能體現(xiàn)數(shù)學來源于實際又應用于實際的思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（研究討論))（約5分鐘)已知a、b是非零向量,則|a＋b｜與｜a｜＋|b｜有什么關系？設計說明設置這一研討題可以將本節(jié)課與上節(jié)課的知識聯(lián)系起來，并進一步滲透分類的思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(小結(jié)歸納))(約4分鐘)讓學生自主回顧和歸納本節(jié)的內(nèi)容．設計說明1．向量加法的意義；2.理解實際問題數(shù)學化的思想,增強數(shù)學的應用意識；3。理解分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)類比、遷移等能力．學情預設要求學生不僅對知識體系進行歸納，還要對本節(jié)課中所體現(xiàn)的數(shù)學思想方法及數(shù)學能力進行總結(jié)，有一定的難度．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））(約1分鐘）課本本節(jié)練習1，2，3，4。設計說明1．鞏固所學的內(nèi)容。2.對所學內(nèi)容的檢測、反饋與及時補充不足．eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教學反思)）本節(jié)課采用“探究—-討論”教學法．“探究—-研討”教學法是美國哈佛大學教育專家蘭本達所倡導的．“探究—-研討"教學法把教學過程分為兩個步驟：第一步驟是“探究"．我所設計的問題引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，將有關材料有層次地提供給學生，讓學生獨立地支配它，進而探索、研究它．學生通過對這些“有結(jié)構(gòu)”的材料進行探究，獲得對向量加法的感性認識和形成各自對向量加法概念的了解．第二步驟是“研討”，即在探究的基礎上，組織學生研討自己在探究中的發(fā)現(xiàn)，通過互相交流、啟發(fā)、補充、爭論，使學生對向量加法的認識從感性的認識上升到理性認識，獲得一定水平層次的科學概念．這節(jié)課主要是教給學生“動手做