北師大版九下《哪種方式更合算》教案

4.2哪種方式更合算我們在日常生活中經(jīng)常會遇到各種搖獎活動，通過以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生可能已經(jīng)認識到這些活動中獲勝或獲獎的可能性了，但還未必具有正確的評判能力和決策能力．因此應(yīng)該給予學(xué)生一定的工具，讓學(xué)生評判某項活動是否“合算”．本節(jié)設(shè)計了一個具體情境，力圖讓學(xué)生在具體情境中感受“合算”，并掌握一定的判斷方法，提高其決策能力，從而對現(xiàn)實生活中一些類似的現(xiàn)象進行評判．當(dāng)然，這本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)期望．因而該知識具有一定的思維要求．在選取素材時，教材注意知識的前后聯(lián)系，選擇了一個學(xué)生以前研究過的問題情境，以降低學(xué)生解決問題的難度；同時在解決問題的過程中，又強調(diào)了學(xué)生的體驗，讓學(xué)生首先通過實驗獲得初步的感受，再通過和前一節(jié)中加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系，逐步獲得對問題的理論解釋．因此本節(jié)的重點是經(jīng)歷解決問題的活動過程，并在活動中進一步發(fā)展學(xué)生的合作交流意識與能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力；通過具體問題情境，讓學(xué)生初步體會如何評判某件事情是否“合算”，并利用它對現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象進行評判，進一步體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系．教學(xué)時，要注重學(xué)生的活動，特別是小組合作的活動，在各種教學(xué)活動中，鼓勵學(xué)生思維的多樣性，避免評價的單一性．注重實驗估算與理論計算相結(jié)合，要在兩者之間巧妙的過渡，加強其與平均數(shù)的聯(lián)系，從而既促進了學(xué)生的理解，同時也滲透了概率統(tǒng)計之間的聯(lián)系．教學(xué)目標(一)教學(xué)知識點通過具體問題情境，讓學(xué)生初步體會如何評判某件事情是否“合算”，并利用它對現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象進行評判．(二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷解決問題的活動過程，并在活動中進一步發(fā)展學(xué)生的合作交流意識和能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力．2．進一步體會概率與統(tǒng)計的聯(lián)系，建立良好的隨機觀念．(三)情感與價值觀要求1．積極參與數(shù)學(xué)活動，在活動中體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂．2．鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣和信心，通過對現(xiàn)實問題的理論解釋，獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感．教學(xué)重點通過具體問題情境，讓學(xué)生初步體會如何評判某件事情是否“合算”，并利用它對現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象進行評判．教學(xué)難點理論地計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)．教學(xué)方法實驗——引導(dǎo)法．教具準備若干個學(xué)生自做的自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．教學(xué)過程Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，建立“實驗”平臺[師]也許你曾被大幅的彩票廣告所吸引，也許你曾經(jīng)歷過各種搖獎促銷活動。你研究過獲得各種獎項的可能性嗎?你想知道每一次活動的平均收益嗎?讓我們一起來研究其中的奧秘吧!我先給大家講一個集市上的故事：熙熙攘攘的集市上，某人在設(shè)攤“摸彩”，只見他手拿一袋，內(nèi)裝大小、形狀、質(zhì)量完全相同的4個綠球和4個紅球，每次讓“顧客”免費從袋中摸出4個球，輸贏的規(guī)則是：所摸球的顏色顧客的收益4個全紅得50元3紅1綠得50元2紅2綠失30元1紅3綠得20元4個全綠得50元只見很多顧客圍上前去，“免費”摸球，而且只有摸到“2紅2綠”的情況才賠錢，其余情況都能得錢．而我在旁邊觀察的結(jié)果有一半以上的人都賠了錢，這種活動的欺騙性到底體現(xiàn)在什么地方呢?相信同學(xué)們經(jīng)過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，一定能揭開其中的“奧秘”，而不愿參加這一“免費”活動．Ⅱ．講授新課[師]我們在日常生活中，經(jīng)常會遇到各種搖獎活動，下面就是一例(多媒體演示)某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如下圖)，并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物．如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券10元，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，你認為哪種方式更合算?[師]“合算”是指什么呢?[生]“合算”是指哪種方式拿到的購物券金額最大．[師]如果不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，可以直接獲得購物券10元，如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，就會出現(xiàn)多種可能的結(jié)果，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢?[生]可能指針指向紅色，那么可以獲得100元的購物券，可是轉(zhuǎn)盤的紅色區(qū)域很小，只有轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色區(qū)域的概率只有0．05；指針也可能指向黃色區(qū)域，那么可以獲得50元的購物券，可是轉(zhuǎn)盤的黃色區(qū)域也很小，只有轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，指針指向黃色區(qū)域的概率只有0．1；指針也可能指向綠色區(qū)域，那么可以獲得20元的購物券，那也比不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤“合算”，但轉(zhuǎn)盤的綠色區(qū)域為整個轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，指針指向綠色區(qū)域的概率為0．2：指針最大的可能會指向白色區(qū)域，因為白色區(qū)域是整個轉(zhuǎn)盤的，也就是說，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，指針指向白色區(qū)域的概率為0．65．如果這樣的話，就不如不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤“合算”．[師]很好!聽了大家的分析，看來大家處于“兩難”之中．如果放棄轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，就意味著放棄了獲得100元、50元、20元購物券的機會．如果不放棄，就意味著有可能連獲得10元購物券的機會也沒有了．怎么辦呢?下面我們先來做一個實驗，也許你會從中找到解決這個問題的辦法．(多媒體演示)做一做(1)組成合作小組，仿照上圖制作一個轉(zhuǎn)盤，用實驗的辦法(每組實驗100次)分別求出獲得100元、50元、20元購物券以及未能獲得購物券的頻率，并據(jù)此估計每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)．看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，哪種方式更合算．(2)全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組的數(shù)據(jù)匯總，計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù)．實驗?zāi)康模鹤寣W(xué)生親自體驗，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，哪種方式合算．實驗方式：小組或全班合作研討實驗步驟：1．仿照上圖制作一個轉(zhuǎn)盤．2．小組內(nèi)分工，一個人自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，一個人觀察指針指向區(qū)域(在交界處的重新試驗，不計次數(shù))，一個人記錄，把實驗的結(jié)果填入下表(實驗100次)獲得100元購物券獲得50元購物券獲得20元購物券未能獲得購物券頻數(shù)頻率3．根據(jù)上表估算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，哪種方式更合算．4．全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組數(shù)據(jù)匯總，計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)．看看哪種方式更合算．[師]你在實驗中是如何計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)呢?[生]當(dāng)做100次實驗時，設(shè)獲得100元購物券的頻率為a1，獲得50元購物券的頻率為a2，獲得20元的購物券的頻率為a3，未能獲得購物券的頻率為a4，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義，可得，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)為100a1+50a2+20a3+0a4＝100a1+50a2+20a3．[師]當(dāng)試驗次數(shù)很大時，a2、a2、a3、a4會怎么樣呢?[生]當(dāng)試驗次數(shù)很大時，a1、a2、a3、a4表示的實驗頻率將穩(wěn)定于一個值，我們把它叫做概率．也就是說，當(dāng)實驗次數(shù)很大時，我們可以用實驗頻率估計理論概率．[師]同學(xué)們表現(xiàn)得真棒，我們再來完成“想一想”(多媒體演示)想一想(1)如果把上圖的轉(zhuǎn)盤改為下圖的圖(1)的轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客仍分別獲得100元、50元、20元的購物券，與上圖的轉(zhuǎn)盤比，哪一個轉(zhuǎn)盤對顧客更合算?如果改用下圖中的圖(2)呢?(2)不用實驗的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù)嗎?(通過轉(zhuǎn)盤的“變式”，讓學(xué)生理性地思考影響所獲購物券金額的平均數(shù)的因素，為學(xué)生得出后面的理論計算方法打下基礎(chǔ))[生]圖(1)和原來的轉(zhuǎn)盤對顧客而言結(jié)果是一樣的．因為指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性沒有變．[生]圖(2)和原來的轉(zhuǎn)盤對顧客而言結(jié)果不一樣，圖(2)的結(jié)果對顧客來說更合算．因為未獲購物券和獲得50元購物券的可能性沒有變化，獲得20元購物券的可能性減少，獲得100元購物券的可能性增加．[師]如果不用試驗的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)嗎?[生]由圖(1)我們知道，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購物券的概率為，獲得50元購物券的概率為，獲得20元購物券的概率為，根據(jù)概率與頻率的關(guān)系，可以認為轉(zhuǎn)動n次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購物券的次數(shù)為n次，獲得50元購物券的次數(shù)為n次，獲得20元購物券的次數(shù)為n次，所以每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應(yīng)該為(元)．（100×n+50×n+20×n）÷n=100×+50×+20×=14(元)．同理，使用圖(2)的轉(zhuǎn)盤，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應(yīng)該是100×+50×+20×=18(元)[師]這種算法你曾用過嗎?[生]用過，其實這種算法與上一節(jié)小明估算農(nóng)村居民的人均純收入的方法是一致的，我們可以把轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的概率分別看作100元、50元、20元的權(quán)，計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)就可以用加權(quán)平均數(shù)的計算公式．議一議小亮根據(jù)圖(1)的轉(zhuǎn)盤，繪制了一個扇形統(tǒng)計圖，(如下圖)，據(jù)此他認為，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×5%+50×10％+20×20%＝14(元)．你能解釋小亮這樣做的道理嗎?[生]根據(jù)當(dāng)實驗次數(shù)很大時，實驗頻率穩(wěn)定于理論概率．由圖(1)可知，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的可能性大小即概率分別為、、我們可以把、、看作實驗n次(n很大)時，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的頻率，因此可繪制小亮所得的扇形統(tǒng)計圖，反映了轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動一次，指針落在各種區(qū)域的比例的大小，也反映了轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動時，指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域、白色區(qū)域的權(quán)重．由加權(quán)平均數(shù)的計算公式就可求出轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×5+50×10%+20×20%＝14(元)．我認為小亮的算法是有道理的．[生]但是我覺得小亮的方法不對．按小亮的算法我們組轉(zhuǎn)了100次，總共獲得購物券應(yīng)為1400元，可我們總共獲得購物券是1320元[生]我認為小亮的算法有道理，正如實驗頻率和理論概率的關(guān)系一樣，實驗次數(shù)很多時，實驗結(jié)果應(yīng)該和理論值相近，但實驗次數(shù)再多，也很難保證實驗結(jié)果與理論值相等，因為用小亮的方法計算的平均數(shù)是用概率估算出來的，這是我們實際生活中存在不確定現(xiàn)象時的一種合理的決策和評判．[師]看來，在同學(xué)們頭腦中已建立了良好的隨機觀念．Ⅲ．隨堂練習(xí)1．改用另一個轉(zhuǎn)盤進行上面的活動，小穎根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制出下面的扇形統(tǒng)計圖，求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)．解：根據(jù)扇形統(tǒng)計圖，可知每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×10%+50×15%+20×25%＝22．5(元)．2．與同伴合作，估計每摸一次球的平均收益，你愿意參加這一“免費”摸球活動嗎?(分組實驗，讓學(xué)生通過一定次數(shù)的實驗，感受到該活動的欺騙性，而不再愿意參加這一“免費”活動)事實上，從袋中摸出4個球，4個全紅的概率為，3紅1綠的概率為，2紅2綠的概率為，1紅3綠的概率為，4個全綠的概率為，因此每摸一次球的平均收益是50×+20×-30×+20×+50×=-（元）.Ⅳ．課時小結(jié)這節(jié)課我們繼續(xù)經(jīng)歷解決問題的活動過程，在具體情境中感受“合算”并掌握了一定的判斷方法，提高了決策能力，從而對現(xiàn)實生活中的一些類似現(xiàn)象評判，進一步體會到概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系，更好地建立了隨機觀念．Ⅴ．課后作業(yè)習(xí)題4．3第2、3題．Ⅵ．活動與探究用習(xí)題4．3第2題的轉(zhuǎn)盤(如圖)做游戲，每次游戲游戲者需交游戲費1元．游戲時，游戲者先押一個數(shù)字，然后快速地轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針所指格子中的數(shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則游戲者將獲得獎勵36元．該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊?轉(zhuǎn)動多少次后，游戲者平均每次將獲利或損失多少元?[過程]在此游戲中，指針落在37個區(qū)域的可能性是一樣的，而游戲者押中的概率為，押錯的概率為.[結(jié)果]每押中一次獲得獎金(36-1＝)35元，押錯損失1元，因此轉(zhuǎn)動多次后，游戲者平均每次將獲利35×-1×＝-(元)．因此，該游戲?qū)τ螒蛘卟焕?，游戲者平均每次損失元．板書設(shè)計§4．2哪種方式合算一、顧客每購買100元的商品，就獲得購物券，獲購物券的方式有兩種：1．獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅、黃、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券，憑購物券在商場購物．2．不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，可直接獲購物券10元．問題：哪種方式合算?二、1，實驗，分組，全班交流，2．不用實驗：求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)．備課資料參考練習(xí)1．小明在游樂場看到別人正在玩一種游戲．玩這種游戲需要用一張票，游戲者擲兩個塑料的圓柱形瓶子．如果兩個瓶子都是底朝上站住的，游戲者可以得到10張票玩其他游戲．小明看別人玩了一會，并把結(jié)果記錄在表格中．兩個都是邊朝上一個底朝上一上底朝下兩個都是底朝上24次14次2次(1)基于小明的記錄結(jié)果，贏得游戲的實驗概率是多少?(2)基于上述概率，如果小明