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文檔簡介
4.2哪種方式更合算我們在日常生活中經(jīng)常會遇到各種搖獎活動,通過以前的學習,學生可能已經(jīng)認識到這些活動中獲勝或獲獎的可能性了,但還未必具有正確的評判能力和決策能力.因此應該給予學生一定的工具,讓學生評判某項活動是否“合算”.本節(jié)設計了一個具體情境,力圖讓學生在具體情境中感受“合算”,并掌握一定的判斷方法,提高其決策能力,從而對現(xiàn)實生活中一些類似的現(xiàn)象進行評判.當然,這本質(zhì)上就是數(shù)學期望.因而該知識具有一定的思維要求.在選取素材時,教材注意知識的前后聯(lián)系,選擇了一個學生以前研究過的問題情境,以降低學生解決問題的難度;同時在解決問題的過程中,又強調(diào)了學生的體驗,讓學生首先通過實驗獲得初步的感受,再通過和前一節(jié)中加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系,逐步獲得對問題的理論解釋.因此本節(jié)的重點是經(jīng)歷解決問題的活動過程,并在活動中進一步發(fā)展學生的合作交流意識與能力,增強學生的數(shù)學應用意識和能力;通過具體問題情境,讓學生初步體會如何評判某件事情是否“合算”,并利用它對現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象進行評判,進一步體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系.教學時,要注重學生的活動,特別是小組合作的活動,在各種教學活動中,鼓勵學生思維的多樣性,避免評價的單一性.注重實驗估算與理論計算相結(jié)合,要在兩者之間巧妙的過渡,加強其與平均數(shù)的聯(lián)系,從而既促進了學生的理解,同時也滲透了概率統(tǒng)計之間的聯(lián)系.教學目標(一)教學知識點通過具體問題情境,讓學生初步體會如何評判某件事情是否“合算”,并利用它對現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象進行評判.(二)能力訓練要求1.經(jīng)歷解決問題的活動過程,并在活動中進一步發(fā)展學生的合作交流意識和能力,增強學生的數(shù)學應用意識和能力.2.進一步體會概率與統(tǒng)計的聯(lián)系,建立良好的隨機觀念.(三)情感與價值觀要求1.積極參與數(shù)學活動,在活動中體驗學習數(shù)學的快樂.2.鍛煉學生克服困難的勇氣和信心,通過對現(xiàn)實問題的理論解釋,獲得學習數(shù)學的成就感.教學重點通過具體問題情境,讓學生初步體會如何評判某件事情是否“合算”,并利用它對現(xiàn)實生活中的一些現(xiàn)象進行評判.教學難點理論地計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù).教學方法實驗——引導法.教具準備若干個學生自做的自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤.教學過程Ⅰ.創(chuàng)設情境,建立“實驗”平臺[師]也許你曾被大幅的彩票廣告所吸引,也許你曾經(jīng)歷過各種搖獎促銷活動。你研究過獲得各種獎項的可能性嗎?你想知道每一次活動的平均收益嗎?讓我們一起來研究其中的奧秘吧!我先給大家講一個集市上的故事:熙熙攘攘的集市上,某人在設攤“摸彩”,只見他手拿一袋,內(nèi)裝大小、形狀、質(zhì)量完全相同的4個綠球和4個紅球,每次讓“顧客”免費從袋中摸出4個球,輸贏的規(guī)則是:所摸球的顏色顧客的收益4個全紅得50元3紅1綠得50元2紅2綠失30元1紅3綠得20元4個全綠得50元只見很多顧客圍上前去,“免費”摸球,而且只有摸到“2紅2綠”的情況才賠錢,其余情況都能得錢.而我在旁邊觀察的結(jié)果有一半以上的人都賠了錢,這種活動的欺騙性到底體現(xiàn)在什么地方呢?相信同學們經(jīng)過這節(jié)課的學習,一定能揭開其中的“奧秘”,而不愿參加這一“免費”活動.Ⅱ.講授新課[師]我們在日常生活中,經(jīng)常會遇到各種搖獎活動,下面就是一例(多媒體演示)某商場為了吸引顧客,設立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如下圖),并規(guī)定:顧客每購買100元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會.如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域,那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券,憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物.如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,那么可以直接獲得購物券10元,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券,你認為哪種方式更合算?[師]“合算”是指什么呢?[生]“合算”是指哪種方式拿到的購物券金額最大.[師]如果不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,可以直接獲得購物券10元,如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,就會出現(xiàn)多種可能的結(jié)果,會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢?[生]可能指針指向紅色,那么可以獲得100元的購物券,可是轉(zhuǎn)盤的紅色區(qū)域很小,只有轉(zhuǎn)盤的,也就是說,轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,指針指向紅色區(qū)域的概率只有0.05;指針也可能指向黃色區(qū)域,那么可以獲得50元的購物券,可是轉(zhuǎn)盤的黃色區(qū)域也很小,只有轉(zhuǎn)盤的,也就是說,轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,指針指向黃色區(qū)域的概率只有0.1;指針也可能指向綠色區(qū)域,那么可以獲得20元的購物券,那也比不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤“合算”,但轉(zhuǎn)盤的綠色區(qū)域為整個轉(zhuǎn)盤的,也就是說,轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,指針指向綠色區(qū)域的概率為0.2:指針最大的可能會指向白色區(qū)域,因為白色區(qū)域是整個轉(zhuǎn)盤的,也就是說,轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,指針指向白色區(qū)域的概率為0.65.如果這樣的話,就不如不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤“合算”.[師]很好!聽了大家的分析,看來大家處于“兩難”之中.如果放棄轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,就意味著放棄了獲得100元、50元、20元購物券的機會.如果不放棄,就意味著有可能連獲得10元購物券的機會也沒有了.怎么辦呢?下面我們先來做一個實驗,也許你會從中找到解決這個問題的辦法.(多媒體演示)做一做(1)組成合作小組,仿照上圖制作一個轉(zhuǎn)盤,用實驗的辦法(每組實驗100次)分別求出獲得100元、50元、20元購物券以及未能獲得購物券的頻率,并據(jù)此估計每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù).看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券,哪種方式更合算.(2)全班交流,看看各小組的結(jié)論是否一致,并將各組的數(shù)據(jù)匯總,計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù).實驗目的:讓學生親自體驗,看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券,哪種方式合算.實驗方式:小組或全班合作研討實驗步驟:1.仿照上圖制作一個轉(zhuǎn)盤.2.小組內(nèi)分工,一個人自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,一個人觀察指針指向區(qū)域(在交界處的重新試驗,不計次數(shù)),一個人記錄,把實驗的結(jié)果填入下表(實驗100次)獲得100元購物券獲得50元購物券獲得20元購物券未能獲得購物券頻數(shù)頻率3.根據(jù)上表估算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù),看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券,哪種方式更合算.4.全班交流,看看各小組的結(jié)論是否一致,并將各組數(shù)據(jù)匯總,計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù).看看哪種方式更合算.[師]你在實驗中是如何計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)呢?[生]當做100次實驗時,設獲得100元購物券的頻率為a1,獲得50元購物券的頻率為a2,獲得20元的購物券的頻率為a3,未能獲得購物券的頻率為a4,根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義,可得,每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)為100a1+50a2+20a3+0a4=100a1+50a2+20a3.[師]當試驗次數(shù)很大時,a2、a2、a3、a4會怎么樣呢?[生]當試驗次數(shù)很大時,a1、a2、a3、a4表示的實驗頻率將穩(wěn)定于一個值,我們把它叫做概率.也就是說,當實驗次數(shù)很大時,我們可以用實驗頻率估計理論概率.[師]同學們表現(xiàn)得真棒,我們再來完成“想一想”(多媒體演示)想一想(1)如果把上圖的轉(zhuǎn)盤改為下圖的圖(1)的轉(zhuǎn)盤,如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域,那么顧客仍分別獲得100元、50元、20元的購物券,與上圖的轉(zhuǎn)盤比,哪一個轉(zhuǎn)盤對顧客更合算?如果改用下圖中的圖(2)呢?(2)不用實驗的方法,你能求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù)嗎?(通過轉(zhuǎn)盤的“變式”,讓學生理性地思考影響所獲購物券金額的平均數(shù)的因素,為學生得出后面的理論計算方法打下基礎(chǔ))[生]圖(1)和原來的轉(zhuǎn)盤對顧客而言結(jié)果是一樣的.因為指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性沒有變.[生]圖(2)和原來的轉(zhuǎn)盤對顧客而言結(jié)果不一樣,圖(2)的結(jié)果對顧客來說更合算.因為未獲購物券和獲得50元購物券的可能性沒有變化,獲得20元購物券的可能性減少,獲得100元購物券的可能性增加.[師]如果不用試驗的方法,你能求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)嗎?[生]由圖(1)我們知道,每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,獲得100元購物券的概率為,獲得50元購物券的概率為,獲得20元購物券的概率為,根據(jù)概率與頻率的關(guān)系,可以認為轉(zhuǎn)動n次轉(zhuǎn)盤,獲得100元購物券的次數(shù)為n次,獲得50元購物券的次數(shù)為n次,獲得20元購物券的次數(shù)為n次,所以每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應該為(元).(100×n+50×n+20×n)÷n=100×+50×+20×=14(元).同理,使用圖(2)的轉(zhuǎn)盤,每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應該是100×+50×+20×=18(元)[師]這種算法你曾用過嗎?[生]用過,其實這種算法與上一節(jié)小明估算農(nóng)村居民的人均純收入的方法是一致的,我們可以把轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的概率分別看作100元、50元、20元的權(quán),計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)就可以用加權(quán)平均數(shù)的計算公式.議一議小亮根據(jù)圖(1)的轉(zhuǎn)盤,繪制了一個扇形統(tǒng)計圖,(如下圖),據(jù)此他認為,每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×5%+50×10%+20×20%=14(元).你能解釋小亮這樣做的道理嗎?[生]根據(jù)當實驗次數(shù)很大時,實驗頻率穩(wěn)定于理論概率.由圖(1)可知,自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的可能性大小即概率分別為、、我們可以把、、看作實驗n次(n很大)時,指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的頻率,因此可繪制小亮所得的扇形統(tǒng)計圖,反映了轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動一次,指針落在各種區(qū)域的比例的大小,也反映了轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動時,指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域、白色區(qū)域的權(quán)重.由加權(quán)平均數(shù)的計算公式就可求出轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×5+50×10%+20×20%=14(元).我認為小亮的算法是有道理的.[生]但是我覺得小亮的方法不對.按小亮的算法我們組轉(zhuǎn)了100次,總共獲得購物券應為1400元,可我們總共獲得購物券是1320元[生]我認為小亮的算法有道理,正如實驗頻率和理論概率的關(guān)系一樣,實驗次數(shù)很多時,實驗結(jié)果應該和理論值相近,但實驗次數(shù)再多,也很難保證實驗結(jié)果與理論值相等,因為用小亮的方法計算的平均數(shù)是用概率估算出來的,這是我們實際生活中存在不確定現(xiàn)象時的一種合理的決策和評判.[師]看來,在同學們頭腦中已建立了良好的隨機觀念.Ⅲ.隨堂練習1.改用另一個轉(zhuǎn)盤進行上面的活動,小穎根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制出下面的扇形統(tǒng)計圖,求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù).解:根據(jù)扇形統(tǒng)計圖,可知每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×10%+50×15%+20×25%=22.5(元).2.與同伴合作,估計每摸一次球的平均收益,你愿意參加這一“免費”摸球活動嗎?(分組實驗,讓學生通過一定次數(shù)的實驗,感受到該活動的欺騙性,而不再愿意參加這一“免費”活動)事實上,從袋中摸出4個球,4個全紅的概率為,3紅1綠的概率為,2紅2綠的概率為,1紅3綠的概率為,4個全綠的概率為,因此每摸一次球的平均收益是50×+20×-30×+20×+50×=-(元).Ⅳ.課時小結(jié)這節(jié)課我們繼續(xù)經(jīng)歷解決問題的活動過程,在具體情境中感受“合算”并掌握了一定的判斷方法,提高了決策能力,從而對現(xiàn)實生活中的一些類似現(xiàn)象評判,進一步體會到概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系,更好地建立了隨機觀念.Ⅴ.課后作業(yè)習題4.3第2、3題.Ⅵ.活動與探究用習題4.3第2題的轉(zhuǎn)盤(如圖)做游戲,每次游戲游戲者需交游戲費1元.游戲時,游戲者先押一個數(shù)字,然后快速地轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,指針所指格子中的數(shù)字恰為游戲者所押數(shù)字,則游戲者將獲得獎勵36元.該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊?轉(zhuǎn)動多少次后,游戲者平均每次將獲利或損失多少元?[過程]在此游戲中,指針落在37個區(qū)域的可能性是一樣的,而游戲者押中的概率為,押錯的概率為.[結(jié)果]每押中一次獲得獎金(36-1=)35元,押錯損失1元,因此轉(zhuǎn)動多次后,游戲者平均每次將獲利35×-1×=-(元).因此,該游戲?qū)τ螒蛘卟焕?,游戲者平均每次損失元.板書設計§4.2哪種方式合算一、顧客每購買100元的商品,就獲得購物券,獲購物券的方式有兩種:1.獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準紅、黃、綠色區(qū)域,那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券,憑購物券在商場購物.2.不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,可直接獲購物券10元.問題:哪種方式合算?二、1,實驗,分組,全班交流,2.不用實驗:求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù).備課資料參考練習1.小明在游樂場看到別人正在玩一種游戲.玩這種游戲需要用一張票,游戲者擲兩個塑料的圓柱形瓶子.如果兩個瓶子都是底朝上站住的,游戲者可以得到10張票玩其他游戲.小明看別人玩了一會,并把結(jié)果記錄在表格中.兩個都是邊朝上一個底朝上一上底朝下兩個都是底朝上24次14次2次(1)基于小明的記錄結(jié)果,贏得游戲的實驗概率是多少?(2)基于上述概率,如果小明
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