無窮小與無窮大_第1頁
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第一章函數(shù)與極限第六節(jié)無窮小與無窮大主要內(nèi)容：一、無窮小的概念性質(zhì)二、無窮小的比較三、無窮大及其與無窮小的關(guān)系一、無窮小的概念與性質(zhì)1、定義例如,注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3、無窮小的運算性質(zhì):定理2

在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.推論1

在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.都是無窮小定理3

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.二、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義2:例如，下面我們給出一些常用的當(dāng)x→0時的等價無窮?。旱葍r無窮小代換定理4(等價無窮小代換定理)證例３解若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限．不能濫用等價無窮小代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.注意例４解例５解解錯小結(jié)1、無窮小的比較反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2、等價無窮小的代換求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.三、無窮大定義3：特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;無窮小與無窮大的關(guān)系定理5

在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.內(nèi)容小結(jié)1、主要內(nèi)容:2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于自變量的變化過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小；●無窮小與無窮大的定義；●無窮小與函數(shù)極限關(guān)系；●等價無窮小代換定理；●無窮小與不窮大的關(guān)系.思考題1、任何兩個無窮小都可以比較嗎？思考題解答不一定．例當(dāng)

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