2023-2024學年云南省昆明市祿勸縣第一中學高三第四次聯(lián)模數(shù)學試題試卷_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年云南省昆明市祿勸縣第一中學高三第四次聯(lián)模數(shù)學試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.中國鐵路總公司相關(guān)負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列2.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風格獨特,神獸人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點,則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.3.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.若集合,,則=()A. B. C. D.5.在條件下,目標函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.26.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是(1)對于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.47.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線8.如圖所示,網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該幾何體的體積為()A.2 B. C.6 D.89.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.10.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.14.數(shù)列的前項和為,則數(shù)列的前項和_____.15.已知復數(shù)z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虛數(shù)單位,a∈R),若z1?z2是純虛數(shù),則a的值為_____.16.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差________,通項公式________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計該企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.18.(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點.(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點C1到平面B1MC的距離.19.(12分)如圖,在直角梯形中,,,,為的中點,沿將折起,使得點到點位置,且,為的中點,是上的動點(與點,不重合).(Ⅰ)證明:平面平面垂直;(Ⅱ)是否存在點,使得二面角的余弦值?若存在,確定點位置;若不存在,說明理由.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.21.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準線為,是上的兩個動點,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當取最小值時,與共線.22.(10分)已知拋物線上一點到焦點的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動點在點右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動點,滿足,求直線的斜率范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題2.D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】,令解得當,的圖像如下圖當,的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.4.C【解析】試題分析:化簡集合故選C.考點:集合的運算.5.B【解析】

畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到最值點,再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)圖像知:當時,有最大值為,即,故..當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學生的綜合應(yīng)用能力.6.C【解析】

由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當時,可得成立,當時,只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識點的應(yīng)用,逐項判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.8.A【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀,以及四棱錐的高,再由體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知,該四棱錐為斜著放置的四棱錐,四棱錐的底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,四棱錐的高為2,所以該四棱錐的體積為.故選A【點睛】本題主要考查幾何的三視圖,由幾何體的三視圖先還原幾何體,再由體積公式即可求解,屬于??碱}型.9.B【解析】,選B10.C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.11.A【解析】

由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】當時,,∵在上有且僅有5個零點,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【詳解】,,當,,,時,為有理項,共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

解:兩式作差,得,經(jīng)過檢驗得出數(shù)列的通項公式,進而求得的通項公式,裂項相消求和即可.【詳解】解:兩式作差,得化簡得,檢驗:當n=1時,,所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列;,,令故填:.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式,裂項相消求數(shù)列的前n項和,解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論,側(cè)重考查運算能力.15.-1【解析】

由題意,令即可得解.【詳解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1?z2是純虛數(shù),∴,解得:a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了復數(shù)的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.16.2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】,,解得,,故.故答案為:2;.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計算,意在考查學生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率;(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元,分別求出,,,進而求得數(shù)學期望,據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.【詳解】解:(1)設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則.(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元,則的可能取值為0,220,1480,,,,所以(元),故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為(元).【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學期望,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)證明見解析.(2)【解析】

(1)連接AC1,BC1,結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求證直線MN⊥平面ACB1;(2)作交于點,通過等體積法,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,則有,結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】(1)證明:連接AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點;∵M是AB的中點.所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1A⊥AC,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1∥CC,∴AC⊥CC1,∵∠ACB=90°,BC∩CC1=C,BC?平面BB1C1C,CC1?平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C,BC?平面BB1C1C,∴AC⊥BC1;又MN∥BC1∴AC⊥MN,∵CB=C1C=1,∴四邊形BB1C1C正方形,∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C,而AC∩B1C=C,且AC?平面ACB1,CB1?平面ACB1,∴MN⊥平面ACB1,(2)作交于點,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,因為MP,所以?MP,因為CM,B1C;B1M,所以所以:CM?B1M.因為,所以,解得所以點,到平面的距離為【點睛】本題主要考查面面垂直的證明以及點到平面的距離,一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直,而點到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來求,屬于中檔題19.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)存在,此時為的中點.【解析】

(Ⅰ)證明平面,得到平面平面,故平面平面,平面,得到答案.(Ⅱ)假設(shè)存在點滿足題意,過作于,平面,過作于,連接,則,過作于,連接,是二面角的平面角,設(shè),,計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)∵,,,∴平面.又平面,∴平面平面,而平面,,∴平面平面,由,知,可知平面,又平面,∴平面平面.(Ⅱ)假設(shè)存在點滿足題意,過作于,由知,易證平面,所以平面,過作于,連接,則(三垂線定理),即是二面角的平面角,不妨設(shè),則,在中,設(shè)(),由得,即,得,∴,依題意知,即,解得,此時為的中點.綜上知,存在點,使得二面角的余弦值,此時為的中點.【點睛】本題考查了面面垂直,根據(jù)二面角確定點的位置,意在考查學生的空間想象能力和計算能力,也可以建立空間直角坐標系解得答案.20.(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),通過解關(guān)于導數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當時,f′(x)<2,當時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因為x≥2,故,(ⅰ)當a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所

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