新版華東師大版2024-2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第14章勾股定理綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)含答案

第14章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1．[2024·寧德八年級(jí)期末]如圖，有兩棵樹，一棵高20m，另一棵高10m，兩樹相距24m，若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行()A．26m B．30m C．36m D．40m(第1題)(第3題)(第5題)(第7題)2．[2024·鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中]用反證法證明“若實(shí)數(shù)a，b滿足ab＝0，則a，b中至少有一個(gè)是0”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)()A．a(chǎn)，b中至多有一個(gè)是0 B．a(chǎn)，b中至少有兩個(gè)是0C．a(chǎn)，b中沒有一個(gè)是0 D．a(chǎn)，b都等于03．[2024·汝州八年級(jí)期末]在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，A，B，C三點(diǎn)均在小正方形頂點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．AB＝20 B．∠BAC＝90°C．S△ABC＝10 D．點(diǎn)A到直線BC的距離是24．若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．[2024·青島市南區(qū)期末]葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上，把樹干看成圓柱體，如圖是葛藤盤旋一圈的示意圖．現(xiàn)有一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高4．8m，樹干底面周長(zhǎng)是1m，則這段葛藤的長(zhǎng)是()A．2．6m B．5m C．5．2m D．5．6m6．一艘快艇欲駛向正東方向24km遠(yuǎn)的A處，速度為50km/h，由于水流原因，半小時(shí)后快艇到達(dá)位于A處正南方向的B處，此時(shí)快艇距離A處()A．25km B．24km C．7km D．1km7．[新考法·折疊對(duì)稱法]如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線AC上的D'處．若AB＝3，AD＝4，則ED的長(zhǎng)為()A．32 B．3 C．1 D．8．如圖為某樓梯的示意圖，測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5m，高為3m．計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少需要()A．5m B．7mC．8m D．12m9．[新考法·數(shù)形結(jié)合法]有五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是()10．[2023·南充]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠CAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線AP與BC交于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為E．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DEC．AD＝75 D．CD∶BD＝3∶5二、填空題(每題3分，共24分)11．在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，則AB2＋AC2＋BC2＝．12．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AC＝17，BC＝16，AD＝15，則AB的長(zhǎng)為．(第12題)(第14題)(第15題)(第16題)(第17題)13．若直角三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為8和15，且第三條邊的長(zhǎng)為整數(shù)，則第三條邊的長(zhǎng)為．14．[2024·泉州第五中學(xué)模擬]如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝8cm，如果將△ABD按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，那么DE的長(zhǎng)度為cm．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長(zhǎng)為．16．[2024·南通崇川區(qū)八年級(jí)期末]如圖，AD是△ABC的高，分別以線段AB，BD，DC，CA為邊向外作正方形，其中3個(gè)正方形的面積如圖所示，則第四個(gè)正方形的面積為．17．如圖，在正方形ABCD中，AB邊上有一點(diǎn)E，AE＝3，EB＝1．在AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則EP＋BP的最短長(zhǎng)度為．18．[新趨勢(shì)·傳承數(shù)學(xué)文化2023南通]勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a＝12m2－12，c＝12m2＋12，m是大于1的奇數(shù)，則b＝三、解答題(19～21題每題10分，22～24題每題12分，共66分)19．如圖，在銳角三角形ABC中，高AD＝12，邊AC＝13，BC＝14．求AB的長(zhǎng)．20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點(diǎn)．若DA＝DB＝13，△ABD的面積為78，求CD的長(zhǎng)度．21．[2024·南寧天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考]用反證法證明：(1)已知：a＜｜a｜，求證：a必為負(fù)數(shù)；(2)求證：形如4n＋3(n為整數(shù))的整數(shù)k不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和．22．如圖，一只蜘蛛在一個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心木塊的頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心木塊的頂點(diǎn)G處．若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，問蜘蛛要沿著怎樣的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅，這時(shí)蜘蛛走過的路程是多少？23．[2024·駐馬店八年級(jí)期末]周末，小明和小亮去漢風(fēng)公園放風(fēng)箏，如圖，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為12米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為20米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1．65米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE．(2)如果小明想將風(fēng)箏沿CD方向下降7米，則他應(yīng)該往回收線多少米？24．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝18，點(diǎn)D在AB邊上，連結(jié)CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連結(jié)BE，DE．(1)求證：△CAD≌△CBE．(2)若AD＝2時(shí)，求CE的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究AD2＋BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

答案一、1．A【點(diǎn)撥】如圖，建立數(shù)學(xué)模型，則CD＝20m，BE＝10m，DE＝24m，四邊形ABED是長(zhǎng)方形，∴兩棵樹的高度差A(yù)C＝CD－AD＝CD－BE＝20－10＝10(m)，間距AB＝DE＝24m，∴根據(jù)勾股定理可得，小鳥至少飛行的距離BC＝AC2＋2．C3．C【點(diǎn)撥】∵AC＝12＋22＝5，AB＝22＋42＝20，BC＝32＋42＝5，∴AB2＋AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°，故A，B選項(xiàng)正確；S△ABC＝4×4－12×3×4－12×4×2－12×2×1＝5，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離是4．C【點(diǎn)撥】∵(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，(a－b)2≥0，｜a2＋b2－c2｜≥0，∴(a－b)2＝0，a2＋b2－c2＝0．∴a＝b，a2＋b2＝c2．∴△ABC是等腰直角三角形．5．C6．C7．A【點(diǎn)撥】在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠D＝∠B＝90°，∴AC＝AB根據(jù)折疊可得△DEC≌△D'EC，∴D'C＝DC＝3，DE＝D'E，∠ED'C＝∠D＝90°．∴AD'＝AC－CD'＝2，∠AD'E＝90°．設(shè)ED＝x，則D'E＝x，AE＝4－x．∵在Rt△AED'中，D'A2＋D'E2＝AE2，∴22＋x2＝(4－x)2，解得x＝32．即ED＝38．B【點(diǎn)撥】由勾股定理得，樓梯的水平寬度＝529．C【點(diǎn)撥】∵72＋202≠252，152＋202≠242，∴選項(xiàng)A給出圖中的兩個(gè)三角形不是直角三角形，不符合題意；∵72＋242＝252，152＋202≠242，∴選項(xiàng)B給出圖中的一個(gè)三角形是直角三角形，另一個(gè)不是直角三角形，不符合題意；∵72＋242＝252，152＋202＝252，∴選項(xiàng)C給出圖中的兩個(gè)三角形是直角三角形，符合題意；∵72＋202≠252，152＋242≠252，∴選項(xiàng)D給出圖中的兩個(gè)三角形不是直角三角形，不符合題意．故選C．10．C【點(diǎn)撥】由題意可知，AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠BAD，故A結(jié)論正確，不符合題意；∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴由角平分線的性質(zhì)得CD＝DE，故B結(jié)論正確，不符合題意；在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝AB2－AC2＝8．∵S△ABC＝S△ACD＋S△BAD，∴12AC·BC＝12CD·AC＋12AB·DE．∴12×6×8＝12×CD×6＋12×10×CD．∴CD＝3．∴AD＝AC2＋CD二、11．5012．1713．17【點(diǎn)撥】當(dāng)15為直角邊長(zhǎng)時(shí)，斜邊長(zhǎng)為152＋8214．128【點(diǎn)撥】由旋轉(zhuǎn)得∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD＝8cm，∴DE＝82＋815．32【點(diǎn)撥】∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠CED．∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD又∵∠BDA＝∠CDE，∴△BDA≌△CDE(A．A．S．)．∴BA＝CE＝5．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝AB2－AC2＝52－16．2【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理可得AD2＝AB2－BD2＝16－8＝8，CD2＝AC2－AD2＝10－8＝2．∴第四個(gè)正方形的面積為2．17．5【點(diǎn)撥】連結(jié)DE，與AC交于點(diǎn)P，此時(shí)EP＋BP最短，且最短長(zhǎng)度為DE的長(zhǎng)．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4，所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25，所以DE＝5，即EP＋BP的最短長(zhǎng)度為5．18．m【點(diǎn)撥】∵現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b為直角邊，c為斜邊．∴a2＋b2＝c2．∴12m2－122＋b2＝12m2＋122，得到14m4－12m2＋14＋b2＝14m4＋12m2三、19．【解】在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，所以由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝25．所以CD＝5．因?yàn)锽C＝14，所以BD＝9．所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝225．所以AB＝15．20．【解】∵∠C＝90°，DA＝13，△ABD的面積為78，∴S△DAB＝12DA·BC＝12×13×∴BC＝12．∵在Rt△BCD中，CD2＋BC2＝BD2，∴CD2＋122＝132，解得CD＝5(負(fù)值已舍去)．即CD的長(zhǎng)度為5．21．【證明】(1)假設(shè)a≥0，則｜a｜＝a，這與已知a＜｜a｜相矛盾，∴假設(shè)不成立．∴a必為負(fù)數(shù)．(2)假設(shè)形如4n＋3(n為整數(shù))的整數(shù)k能化成兩個(gè)整數(shù)的平方和．不妨設(shè)這兩個(gè)整數(shù)為α，β，則4n＋3＝α2＋β2．∵4n＋3＝(n＋2)2＋(－n2－1)≠α2＋β2，∴假設(shè)不成立．∴形如4n＋3(n為整數(shù))的整數(shù)k不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和．22．【解】分三種情況討論：(1)如圖①，連結(jié)AG，此時(shí)蜘蛛沿AG爬行路程最短．因?yàn)锳B＝3cm，BC＝5cm，所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．所以在Rt△ACG中，AG＝AC2＋(2)如圖②，連結(jié)AG，此時(shí)蜘蛛沿AG爬行路程最短．在Rt△ABG中，因?yàn)锽G＝5＋6＝11(cm)，AB＝3cm，所以AG＝AB2＋BG(3)如圖③，連結(jié)AG，此時(shí)蜘蛛沿AG爬行路程最短．在Rt△AFG中，因?yàn)锳F＝6＋3＝9(cm)，GF＝5cm，所以AG＝AF2＋GF因?yàn)?30cm＞106cm＞10cm，所以蜘蛛按情況(1)中的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅，這時(shí)蜘蛛走過的路程是10cm．23．【解】(1)由題意可知BC＝20米，BD＝12米，CD⊥BD，DE＝AB＝1．65米．∴在Rt△CDB中，由勾股定理得CD＝BC2－BD2＝202－122＝16(米)．∴CE＝(2)如圖，∵風(fēng)箏沿CD方向下降7米，即CC'＝7米，∴C'D＝16－7＝9(米)，∴BC'＝C'D2＋BD2＝92+12∴他應(yīng)該往回收線5米．24．【解】(1)由題意可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE．∴△CAD≌△CBE(S．A．S．)．(2)∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝18，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝6．∴BD＝AB－AD＝6－2＝