吉林省八校2024-2025學年高二上學期10月期中考試數(shù)學試題含答案

高二數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第二?三章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標準方程求得正確答案.【詳解】依題意，，且拋物線的開口向上，焦點在軸上，所以拋物線的焦點坐標為.故選：B2.圓與的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【答案】D【解析】【分析】計算兩圓圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切．故選：D.3.若雙曲線的右支上一點到右焦點的距離為9，則到左焦點的距離為（）A.3 B.12 C.15 D.3或15【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程求得，再利用雙曲線的定義即可得解.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，則，設雙曲線的左?右焦點分別為，又點在雙曲線的右支上，且，所以，則.故選：C.4已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直得到斜率關(guān)系，列式求解即可.【詳解】因為直線與垂直，且直線斜率為0，所以直線的斜率不存在，即，解得.故選：C5.已知直線與直線平行，且與橢圓的交點為，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點在橢圓上，結(jié)合斜率，利用點差法可得解.【詳解】因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，即，因為，都在橢圓上，所以，，則，即，所以，所以，故選：A.6.已知直線與關(guān)于原點對稱，則恒過點（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線恒過點，然后利用關(guān)于原點對稱的性質(zhì)求出其對稱點，即可得解.【詳解】因為直線恒過點，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為，所以直線恒過點.故選：A7.設有一組圓，若圓上恰有兩點到原點的距離為1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)換成圓與圓有兩個交點即可求解.【詳解】圓，其圓心為，半徑為．因為圓上恰有兩點到原點的距離為1，所以圓與圓有兩個交點．因為圓心距為，所以，解得．故選：B8.如圖，某雙曲線筆簡的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，該筆筒中間最窄處的直徑為得解.【詳解】依題意可得，所以，所以該筆筒中間最窄處的直徑為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為10 B.橢圓的一個頂點為C.橢圓的焦距為8 D.橢圓的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，且橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的長軸長為10，頂點為，焦距為8，離心率.故選：ACD10.已知直線和曲線相交于兩點，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的長度為 B.C. D.若，則【答案】CD【解析】【分析】對于A，確定曲線為半圓即可判斷，對于B結(jié)合圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷，對于C利用弦長公式結(jié)合m的范圍即可判斷，對于D，求出的垂直平分線，利用點D在滿足直線方程即可判斷.【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓，則其周長為，A錯誤；如上圖：當直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，解得舍去）．當直線過點時，直線和曲線有2個交點，此時，解得．當直線和曲線有兩個交點時，，B錯誤；，因為，所以，C正確；線段的中垂線過圓心2,0，斜率為1，所以方程為，點直線上，D正確。.故選：CD11.已知拋物線的準線l與圓相切，P為C上的動點，N是圓M上的動點，過P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.點F的坐標為B.的最小值為C.存在兩個P點，使得D.若正三角形，則圓M與直線PQ相交【答案】ACD【解析】【分析】對A，準線與圓相切，可知，即可確定焦點為F坐標，即可判斷選項；對B，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)將軍飲馬理論可判斷選項；對C，若，則PM=PF，做中垂線，解出方程，與拋物線聯(lián)立，解得個數(shù)，即可判斷幾個交點；對D，根據(jù)為正三角形，可得解得縱坐標，和圓與軸交點比較，即可判斷.【詳解】對A，準線與圓相切，可知，可得，所以F1,0，故A正確；對B，根據(jù)可得，可確定最小值為，故B錯誤；對C，若，則PM=PF，做中垂線，根據(jù)題意知，設為中點，則可得，直線斜率為，根據(jù)點斜式可確定為，與拋物線聯(lián)立得，，所以可知有兩個解，所以存在兩個P點，使得，故C正確；對D，根據(jù)為正三角形，所以，則，且，所以可得，和圓與軸交點為0,3，，所以可知圓M與直線PQ相交，故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：合理利用拋物線上點到焦點距離和到準線距離相等.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的短軸長為__________，該橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】現(xiàn)根據(jù)橢圓方程得到的值，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)及定義即可求解.【詳解】由橢圓，則，即，所以短軸長為，該橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為.故答案為：2；.13.直線的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】依題意，直線的斜率，則，所以.故答案為：14.若過圓外一點作圓的兩條切線，切點分別為，且，則__________．【答案】2或4【解析】【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可求出相關(guān)線段的長，利用，即可求出答案.【詳解】如圖，記圓的圓心為與交于點，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗，都滿足題意．故答案為：2或4四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知點，且四邊形是平行四邊形．（1）求點的坐標；（2）求平行四邊形的面積．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合直線的方程，即可求出的方程，聯(lián)立即可求得答案；（2）求出AB以及點到直線的距離，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得直線的斜率為，則其方程為，直線的斜率為，因為直線與直線平行，且過點，所以直線的方程為，因為直線與直線平行，且過點，所以直線的方程為1．聯(lián)立，解得，即點的坐標為．【小問2詳解】因為，又點到直線的距離，故平行四邊形的面積.16.求符合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在軸上，實軸長為8，離心率為；（2）焦點在軸上，焦距，漸近線方程為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）結(jié)合題意求出雙曲線的長、短半軸長，根據(jù)焦點位置，即可求得雙曲線方程.【小問1詳解】因為雙曲線焦點在軸上，實軸長為8，離心率為，所以，解得，所以，所以所求雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】依題意，可設所求雙曲線的標準方程為.因為焦距為，所以，所以.又漸近線方程為，所以，則，所以所求雙曲線的標準方程為.17.已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點，若線段的中點坐標為?3,2，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)列方程組求解可得；（2）利用點差法即可得解.【小問1詳解】由題意可知，則.因，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設Ax1兩式相減得，整理可得.因為線段的中點坐標為?3,2，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.直線和軸的交點為，該點在橢圓內(nèi)，故直線和橢圓相交，滿足條件.18.已知動點在拋物線上，，點到的準線的距離為，且的最小值為5.（1）求的方程；（2）若過點的直線與交于兩點，且直線的斜率與直線的斜率之積為，求的斜率.【答案】（1）（2）4或【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化一個距離，則可用兩點間距離線段最短得解；（2）利用方程組思想結(jié)合韋達定理，轉(zhuǎn)化到坐標法來研究，即可得解.【小問1詳解】設拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，則，當三點共線且點在線段上時，取得最小值，則，整理得，解得或，因為，所以，故的方程為.【小問2詳解】設過點的直線.聯(lián)立，消元得，則，由，得代入韋達定理得：化簡得，得或.故的斜率為4或.19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，動點滿足，設動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線與曲線交于兩點，求AB；（3）若曲線與軸的交點為，直線與曲線交于兩點，直線與直線交于點，證明：點在定直線上．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用軌跡法，代入兩點間距離公式，即可求解；（2）代入直線與圓相交的