安徽省馬鞍山市 2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷含答案

安徽省馬鞍山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷本試卷4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號和座位號填在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共8個題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則集合的子集共有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集的定義逐一列舉求解.【詳解】因為集合，所以集合的子集有：，，，.所以集合的子集共有4個.故選：C.2.已知或，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為或，，令，，因為是的充分不必要條件，所以，所以.故選：D3.下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】利用同一個函數(shù)條件是定義域相同，解析式也要相同，從而來作出判斷.【詳解】選項A，解析式等價，定義域也相同，所以是同一個函數(shù)；選項B，解析式化簡后相同，但定義域不同，因為分母不能取0，所以不是同一個函數(shù)；選項C，解析式化簡后都是1，但定義域不同，因為0的0次冪沒有意義，所以不是同一個函數(shù)；選項D，解析式不同，定義域也不同，所以不是同一個函數(shù).故選:A.4.一個矩形的周長為，面積為，則下列四組數(shù)對中，可作為數(shù)對的有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出長方形的長和寬為，通過基本不等式得出和的關(guān)系，最后將各個選項數(shù)據(jù)依次代入檢驗，得出正確的結(jié)果．【詳解】設(shè)矩形長寬分別為，則，，由基本不等式，可得.對于A，，不合題意，故A錯誤；對于B，，不合題意，故B錯誤；對于C，，不合題意，故C錯誤；對于D，，符合題意，故D正確.故選：D.5.函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因為函數(shù)開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，所以的取值范圍是.故選：A.6.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)定義域和圖象上的點，排除法選擇正確選項.【詳解】函數(shù)，定義域為，BD選項排除；時，，A選項排除.故選：C.7.設(shè)函數(shù)，若，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分類討論，分別計算可得.【詳解】因為，又，所以或，解得或.故選：C8.已知函數(shù)的定義域為，任取x，，當(dāng)時恒有成立，且存在正數(shù)m使得，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】令，判斷出函數(shù)的奇偶性，再令，，求出，再求出函數(shù)的周期，根據(jù)函數(shù)的周期求解即可.【詳解】令，則，故，所以為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，令，得，解得，所以，是以，所以函數(shù)是以為周期的一個周期函數(shù)，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.二、選擇題:本大題共4個題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.下列命題中，真命題的是（）A. B.平行四邊形的對角線互相平分C.對任意的，都有 D.菱形的兩條對角線相等【答案】AB【解析】【分析】對A，求出判別式判斷；對B，由平行四邊形的性質(zhì)判斷；對C，將配方可判斷；對D，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷.【詳解】對于A，方程的判別式，故A正確；對于B，由平行四邊形的性質(zhì)可得對角線互相平分，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，菱形的對角線不一定相等，故D錯誤.故選：AB.10.下面命題是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，B，利用不等式性質(zhì)可判斷；對C，利用基本不等式判斷；對D，利用作差比較法判斷.【詳解】對于A，，，則，即，故A正確；對于B，，，又，所以，故B錯誤；對于C，，，即，故C正確；對于D，，，，，，則，即，故D正確.故選：ACD.11.某工廠8年來某產(chǎn)品產(chǎn)量與時間的函數(shù)關(guān)系如圖，則以下說法中正確的是（）A.前2年的產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越快 B.前2年的產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越慢C.第2年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn) D.第2年后，這種產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定的年產(chǎn)量與時間的函數(shù)關(guān)系圖，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，根據(jù)給定的年產(chǎn)量與時間的函數(shù)關(guān)系圖，可得：前2年的產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越快，所以A正確，B不正確；第2年后，這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量保持不變，所以C錯誤，D正確.故選：AD.12.對，表示不超過x的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)．人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，例如：，，則下列命題中的真命題是（）A.，B.，C.函數(shù)的值域為［0，1）D.方程有兩個實數(shù)根【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐個分析判斷即可【詳解】對于A，當(dāng)時，，所以A錯誤，對于B，因為對，表示不超過x的最大整數(shù)，所以，所以B正確，對于C，由選項B可知，所以，因為對，表示不超過x的最大整數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的值域為［0，1），所以C正確，對于D，由，得，令，則方程的解轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知兩函數(shù)圖象只有兩個交點，所以方程有兩個實數(shù)根，所以D正確，故選：BCD三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.集合且，用列舉法表示集合________．【答案】【解析】【分析】由集合且,求得，得到且，結(jié)合題意，逐個驗證，即可求解.【詳解】由題意，集合且，可得，則，解得且，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，滿足題意；綜上可得，集合.故答案為：.【點睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合的元素與集合的關(guān)系，其中解答中熟記集合的表示方法，以及熟練應(yīng)用元素與集合的關(guān)系，準(zhǔn)確判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題根據(jù)冪函數(shù)的概念，結(jié)合題目給的限制性條件即可找到符合條件的函數(shù).【詳解】因為對，則在上為減函數(shù)，又因為冪函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)不經(jīng)過原點時，即可，故可取.故答案為：（答案不唯一）.15.已知且，則的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故答案為：16.關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為方程有4個不相等的實數(shù)根，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解.【詳解】原方程等價于，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：可得當(dāng)時，兩圖象有4個不同的公共點，即方程有4個不相等的實數(shù)根，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知全集，集合或.（1）求;（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用交集運算求解；（2）根據(jù)題意得，求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意得，，.【小問2詳解】，，.18.（1）解不等式；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）或；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用分式不等式的解法，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解.【詳解】（1）不等式，可化為，即，即，解得或，所以不等式組解集為或.（2）①當(dāng)時，原不等式化為，解集為；②當(dāng)時，原不等式化為，解集為；③當(dāng)時，原不等式化為；當(dāng)時，，原不等式的解集為空集；當(dāng)時，，原不等式的解集為；當(dāng)時，，原不等式的解集為.19.已知，求證:（1）;（2）.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）作“1”代換，根據(jù)基本不等式求解；（2）作“1”代換，根據(jù)基本不等式求解.【小問1詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.【小問2詳解】，.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立.20.已知的定義域為，且恒成立.（1）求的值;（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）為上的增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，求得并檢驗；（2）根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明結(jié)論.【小問1詳解】因為滿足，故函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，當(dāng)時，，滿足，符合題意，故.【小問2詳解】由（1）可知，.函數(shù)在上為增函數(shù).證明如下：任取，所以，所以所以.故為上的增函數(shù).21.某工廠生產(chǎn)甲?乙兩種產(chǎn)品所得的利潤分別為和(萬元),它們與投入資金(萬元)的關(guān)系為:.今將300萬資金投入生產(chǎn)甲?乙兩種產(chǎn)品,并要求對甲?乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于75萬元.(1)設(shè)對乙種產(chǎn)品投入資金(萬元),求總利潤(萬元)關(guān)于的函數(shù);(2)如何分配投入資金,才能使總利潤最大?并求出最大總利潤.【答案】(1);(2)當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬元,乙產(chǎn)品投入100萬元時,總利潤最大為130萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，對乙種產(chǎn)品投資（萬元），對甲種產(chǎn)品投資（萬元），利用利潤公式，可求甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤（萬元）關(guān)于的函數(shù)表達式；（2）利用配方法，可求總利潤的最大值．【詳解】(1)根據(jù)題意,對乙種產(chǎn)品投資(萬元),對甲種產(chǎn)品投資(萬元),那么總利潤,由,解得,所以,其定義域為;(2)令,因為,故,則所以當(dāng)時,即時,,答:當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬元,乙產(chǎn)品投入100萬元時,總利潤最大為130萬元.【點睛】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查閱讀理解能力和運算求解能力，求解時注意利用函數(shù)的最值解決問題.22.已知函數(shù)有如下