2024-2025高二上期中模擬檢測(cè)四（2019人教A版）含答案

2024-2025高二上期中模擬檢測(cè)四（2019人教A版）檢測(cè)范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2021·全國(guó)·高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．42．（22-23高二上·江西撫州·期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·吉林延邊·期中）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，24．（22-23高二上·云南臨滄·期末）已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．（23-24高三上·河南·開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為的右焦點(diǎn)，的離心率為2，若為右支上一點(diǎn)，，記，則（

）A． B．1 C． D．27．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)滿足，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（22-23高二上·河北保定·期末）已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面10．（21-22高二上·重慶·期末）對(duì)于直線.以下說法正確的有（

）A．的充要條件是B．當(dāng)時(shí)，C．直線一定經(jīng)過點(diǎn)D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為511．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點(diǎn)（A在軸的上方，在軸的下方），過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)， B．若，則直線的斜率為2C．存在直線使得 D．若，則直線的傾斜角為三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2023·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，則的最大值為.13．（22-23高三上·廣東·開學(xué)考試）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為．14．（22-23高三上·河北唐山·期末）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為.四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（23-24高二上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).16.(15分)（2022高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．17.(15分)（23-24高二上·江蘇南通·期末）如圖，在四棱錐中，平面，.(1)求二面角的正弦值；(2)在棱上確定一點(diǎn)，使異面直線與所成角的大小為，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.18.(17分)（2023·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．(1)求a；(2)若直線l與拋物線C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之和為，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．19.(17分)（22-23高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：題號(hào)12345678910答案BDDCBADBABDBD題號(hào)11答案AD1．B【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2．D【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】如圖所示，，因?yàn)闉榈倪吷弦粍?dòng)點(diǎn)，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.3．D【分析】由A，B，C三點(diǎn)共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D4．C【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合半徑為3，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡(jiǎn)得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C5．B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量求解判斷.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，即，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，無解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：B.6．A【分析】設(shè)的焦距為，根據(jù)離心率可得，由可得點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角三角形中求出，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求解.【詳解】設(shè)的焦距為，點(diǎn)，由的離心率為2可知，因?yàn)?，所以，將代入的方程得，即，所以，故．故選:A．7．D【分析】先求得圓的方程，再利用求得點(diǎn)M滿足的圓的方程，進(jìn)而利用兩圓有公共點(diǎn)列出關(guān)于a的不等式，解之即可求得a的取值范圍.【詳解】圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為，則圓的方程，設(shè)，由，可得，整理得，則圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解之得.故選：D8．B【分析】由、結(jié)合正弦定理可得，又，故，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可得離心率.【詳解】由橢圓定義可知，由，故，，點(diǎn)滿足，即，則，又，，即，又，故，則，即，即平分，又，故，則，則，，，由，故，即，即，又，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由、，得到平分，結(jié)合，從而得到.9．ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯(cuò)誤，得出向量共面判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因?yàn)椋裕碆正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯(cuò)誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10．BD【分析】求出的充要條件即可判斷A;驗(yàn)證時(shí)，兩直線斜率之積是否為-1，判斷B;求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)即可判斷C;判斷何種情況下點(diǎn)到直線的距離最大，并求出最大值，可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，兩直線為，，所以，故B正確；直線即直線，故直線過定點(diǎn)，C錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，當(dāng)直線與點(diǎn)和的連線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，故D正確，故選：BD.11．AD【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)一一計(jì)算即可.【詳解】易知，可設(shè)，設(shè)Ax1,與拋物線方程聯(lián)立得，則，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，此時(shí)，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；由上可知，即，故C錯(cuò)誤；若，又知，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.故選：AD12．【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，利用三角換元求出的最大值即可.【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線，且設(shè)，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，得，，得，，由余弦定理可得，所以③，設(shè)，所以，當(dāng)即時(shí)，取最大值為.故答案為：.13．【分析】由題知、，進(jìn)而求解方程即可.【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：14．/【分析】連接交于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可求得的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出的最小值，即可求得的最大值.【詳解】連接交于點(diǎn)，平面，平面，則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，，、平面，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，，設(shè)點(diǎn)，其中，則，由已知可得，因?yàn)?，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，可得，且，可得，所以，點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，、平面，，，且，所以?故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）依題意設(shè)橢圓的方程為（），即可得到關(guān)于、、的方程組，解得、，即可得解；（2）首先得到直線的方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，最后利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意設(shè)橢圓的方程為（），則，解得，所以橢圓方程為.（2）依題意直線的方程為，設(shè)、，由，消去整理得，則，所以，，所以.

16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點(diǎn)；（2）先令令，再表達(dá)出三角形面積，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）證明：直線的方程為：提參整理可得：．令，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn).（2）設(shè)直線的方程為．令則，令．則，直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。藭r(shí)的方程為．17．(1)(2)，【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角；（2）設(shè)，由空間向量法求異面直線所成的角得出，再由向量法求點(diǎn)面距．【詳解】（1）以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，則.設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)二面角的大小為，則，所以.（2）設(shè)，則.因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的大小為，所以，解得或（舍去）.此時(shí)，所以點(diǎn)到平面的距離.18．(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)．【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先設(shè)出直線l的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法求得的關(guān)系，進(jìn)而求得直線l過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，即，因?yàn)榈拿娣e為4，所以，解得，所以．（2）由（1）得，．當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不適合題意；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，設(shè)，，由，得，則，，，因?yàn)橹本€PA，PB的斜率之和為，所以，即，所以，所以，整理得，所以直線，令，解之得，所以直線l過定點(diǎn)．19．(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，