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文檔簡介
高考模擬試題PAGEPAGE1順義區(qū)2023屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.本試卷共5頁,共兩部分,第一部分共10道小題,共40分,第二部分共11道小題,共110分,滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級(jí)和教育ID號(hào).3.試題〖答案〗一律填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效.4.在答題卡上,選擇題用2B鉛筆作答,其他試題用黑色字跡簽字筆作答.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗直接由集合的交集運(yùn)算得出〖答案〗.詳析〗,,,故選:C.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則所以故選:A3.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A. B. C.6 D.24〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng),令的指數(shù)為求出,將的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng).〖詳析〗解:二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,解得,所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選:D4.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,則的公差為()A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比,公差的關(guān)系求解.〖詳析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,又又,故選:A5.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分析給定函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可判斷作答.〖詳析〗函數(shù)定義域?yàn)镽,,函數(shù)是R上的奇函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,選項(xiàng)A,D不滿足;因函數(shù)在R上單調(diào)遞增,在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增,選項(xiàng)C不滿足,B滿足.故選:B6.若雙曲線的離心率為,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)雙曲線離心率的知識(shí)求得正確〖答案〗.〖詳析〗,由于,所以,所以,故選:C7.已知,,則“存在使得”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的特殊函數(shù)值,結(jié)合充分、必要條件知識(shí)進(jìn)行推理可得.〖詳析〗若存在使得,則,∴,即,∴存在使得,∴“存在使得”是“”的充分條件;當(dāng)時(shí),,此時(shí)∴存在使得,∴“存在使得”不是“”的必要條件.綜上所述,“存在使得”是“”的充分不必要條件.故選:A.8.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞,新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.于年提出蓄電池的容量(單位:),放電時(shí)間(單位:)與放電電流(單位:)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式:,其中為常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的常數(shù),在電池容量不變的條件下,當(dāng)放電電流時(shí),放電時(shí)間;當(dāng)放電電流時(shí),放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取,則該蓄電池的常數(shù)大約為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由已知可得出,可得出,利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得的近似值.〖詳析〗由題意可得,所以,,所以,,所以,.故選:B.9.在棱長為1的正方體中,動(dòng)點(diǎn)P在棱上,動(dòng)點(diǎn)Q在線段上、若,則三棱錐的體積()A.與無關(guān),與有關(guān) B.與有關(guān),與無關(guān)C.與都有關(guān) D.與都無關(guān)〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)得出平面,所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離,得到點(diǎn)到平面的距離為定值,而底面的面積也是定值,并補(bǔ)隨的變化而變化,進(jìn)而得到〖答案〗.〖詳析〗因?yàn)闉檎襟w,所以因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離,也即點(diǎn)到平面的距離不隨的變化而變化,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,過點(diǎn)作,根據(jù)正方體的特征可知:平面,因?yàn)槠矫妫?,,所以平面,則有,因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危?,所以點(diǎn)到的距離也即到的距離,且距離為1,所以(定值),所以(定值),則三棱錐的體積不隨與的變化而變化,也即與與都無關(guān).故選:.10.已知點(diǎn)A,B在圓上,且,P為圓上任意一點(diǎn),則的最小值為()A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由題可設(shè),,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.〖詳析〗因?yàn)辄c(diǎn)A,B在圓上,且,P為圓上任意一點(diǎn),則,設(shè),,所以,所以,即的最小值為故選:D.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』:向量數(shù)量積問題常用方法一是利用基底法,結(jié)合平面向量基本定理及數(shù)量積的定義求解;二是利用坐標(biāo)法,結(jié)合圖形建立坐標(biāo)系,求出向量的坐標(biāo),進(jìn)而求其數(shù)量積.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意,列出不等式,求解即可得到結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)則,解得且所以函數(shù)的定義域?yàn)楣省即鸢浮綖?12.已知圓,點(diǎn)A、B在圓M上,且為的中點(diǎn),則直線的方程為_____________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)垂徑定理得到,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系得到,然后利用斜截式寫直線方程,最后整理一般式即可.〖詳析〗可整理為,所以圓心為,根據(jù)垂徑定理可得,,所以,直線AB的方程為整理得.故〖答案〗為:13.若存在使得,則m可取的一個(gè)值為_____________.〖答案〗(內(nèi)的任一值均可)〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可知:函數(shù)有零點(diǎn),則,解之即可,在所得到的范圍內(nèi)任取一個(gè)值即可求解.〖詳析〗因?yàn)榇嬖谑沟?,也即函?shù)有零點(diǎn),則有,解得:,所以可取內(nèi)的任意一個(gè)值,取,故〖答案〗為:.(內(nèi)的任一值均可)14.在中,,,,則___________,_____________.〖答案〗①.##②.〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理化簡可得出的值,結(jié)合角的取值范圍可得出角的值;利用余弦定理可得出關(guān)于的等式,結(jié)合可得出的值.〖詳析〗因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,因?yàn)?、,則,所以,,則,故,由余弦定理可得,即,,解得.故〖答案〗為:;.15.如果函數(shù)滿足對(duì)任意s,,有,則稱為優(yōu)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論:①為優(yōu)函數(shù);②若為優(yōu)函數(shù),則;③若為優(yōu)函數(shù),則在上單調(diào)遞增;④若在上單調(diào)遞減,則為優(yōu)函數(shù).其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________.〖答案〗①②④〖解析〗〖祥解〗①計(jì)算出,故,得到①正確;②賦值法得到,,依次類推得到;③舉出反例;④由在上單調(diào)遞減,得到,整理變形后相加得到,即,④正確.〖詳析〗因?yàn)?,所以,故,故是?yōu)函數(shù),①正確;因?yàn)闉閮?yōu)函數(shù),故,即,,故,同理可得,……,,②正確;例如,滿足,即,為優(yōu)函數(shù),但在上單調(diào)遞減,故③錯(cuò)誤;若在上單調(diào)遞減,任取,,則,即,變形為,兩式相加得:,因?yàn)椋?,則為優(yōu)函數(shù),④正確.故〖答案〗為:①②④〖『點(diǎn)石成金』〗函數(shù)新定義問題的方法和技巧:(1)可通過舉例子的方式,將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用,從而加深對(duì)信息的理解;(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容,如果能清晰描述,那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹;(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系,并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律;(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣,則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處,以及什么情況下可以使用書上的概念.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.(1)求A和函數(shù)的最小正周期;(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.〖答案〗(1);(2)〖解析〗〖祥解〗(1)解方程即可求,然后把函數(shù)降冪,輔助角公式后再求周期.(2)若恒成立,即求.〖小問1詳析〗的一個(gè)零點(diǎn)為,即,所以函數(shù)的最小正周期為.〖小問2詳析〗當(dāng)時(shí)有最大值,即.若恒成立,即,所以,故的取值范圍為.17.為調(diào)查A,B兩種同類藥物在臨床應(yīng)用中的療效,藥品監(jiān)管部門收集了只服用藥物A和只服用藥物B的患者的康復(fù)時(shí)間,經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù):康復(fù)時(shí)間只服用藥物A只服用藥物B7天內(nèi)康復(fù)360人160人8至14天康復(fù)228人200人14天內(nèi)未康復(fù)12人40人假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且只服用藥物A和只服用藥物B的患者是否康復(fù)相互獨(dú)立.(1)若一名患者只服用藥物A治療,估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率;(2)從樣本中只服用藥物A和只服用藥物B的患者中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復(fù)的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望:(3)從只服用藥物A的患者中隨機(jī)抽取100人,用“”表示這100人中恰有k人在14天內(nèi)未康復(fù)的概率,其中.當(dāng)最大時(shí),寫出k的值.(只需寫出結(jié)論)〖答案〗(1)(2)分布列見〖解析〗,數(shù)學(xué)期望為1(3)2〖解析〗〖祥解〗(1)結(jié)合表格中數(shù)據(jù)求出概率;(2)先得到只服用藥物A和只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率,得到X的可能取值及相應(yīng)的概率,得到分布列和期望;(3)求出只服用藥物A的患者中,14天內(nèi)未康復(fù)的概率,利用獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)求概率公式得到,列出不等式組,求出,結(jié)合得到〖答案〗.〖小問1詳析〗只服用藥物A的人數(shù)為人,且能在14天內(nèi)康復(fù)的人數(shù)有人,故一名患者只服用藥物A治療,估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率為;〖小問2詳析〗只服用藥物A的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為,只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為,其中X的可能取值為,,,,則分布列為:012數(shù)學(xué)期望為;〖小問3詳析〗只服用藥物A的患者中,14天內(nèi)未康復(fù)的概率為,,令,即,解得:,因?yàn)?,所?18.如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,,,E是的中點(diǎn).(1)求證:直線∥平面;(2)已知,點(diǎn)M在棱上,且二面角的大小為,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求的值.條件①:平面平面;條件②:.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.〖答案〗(1)證明過程見詳析(2)〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)中位線定理和線面平行判定即可求解;(2)根據(jù)線面垂直的判定或性質(zhì),以及建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求解二面角的余弦值即可進(jìn)一步得解.〖小問1詳析〗取PA中點(diǎn)F,連接,因?yàn)镋是的中點(diǎn),F(xiàn)是PA中點(diǎn),所以是中位線,所以平行且等于AD的一半,因?yàn)?,所以平行于,又,所以與平行且相等,所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE平行于BF,而平面,平面,所以直線∥平面.〖小問2詳析〗若選①:平面平面,取AD中點(diǎn)O,因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形,所以平面,易證平面,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,所以,所以,所以所以,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,令,解得,所以,易知地面一個(gè)法向量為,又二面角的大小為,所以,所以,解得,又點(diǎn)M在棱上,所以,所以,所以的值為.若選②:則取AD中點(diǎn)O,因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形,所以平面,連接OA,OC,OD,易知,所以,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,所以,所以,所以所以,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,令,解得,所以,易知地面一個(gè)法向量為,又二面角的大小為,所以,所以,解得,又點(diǎn)M棱上,所以,所以,所以的值為.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.〖答案〗(1)(2)〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)當(dāng)時(shí),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求出切線方程;(2)對(duì)a進(jìn)行分類討論,由此求得的單調(diào)區(qū)間.〖小問1詳析〗當(dāng)時(shí),,所以又因?yàn)椋?,所以在處的切線方程為,即〖小問2詳析〗由題意知,的定義域?yàn)镽①當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),由得或,(i)若,則,所以在R上單調(diào)遞增,(ii)若,則,所以當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增,(iii)若,則,所以當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增,綜上所述,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是和;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是和.20.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若以為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)P在橢圓C上,求證:平行四邊形的面積是定值.〖答案〗(1)(2)證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)由題意可得關(guān)于,,的方程組,求得,的值,則橢圓方程可求;
(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及四邊形是平行四邊形,可得點(diǎn)坐標(biāo),把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,得到,利用弦長公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離,代入三角形面積公式即可證明平行四邊形的面積為定值.〖小問1詳析〗由題意,可得,解得,,,所以橢圓為.〖小問2詳析〗證明:把代入橢圓方程,得,所以,即,設(shè),,則,,所以,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,所以,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即.因?yàn)?,?又點(diǎn)到直線的距離,所以平行四邊形的面積,即平行四邊形的面積為定值.21.已知為正整數(shù)數(shù)列,滿足.記.定義A的伴隨數(shù)列如下:①;②,其中.(1)若數(shù)列A:4,3,2,1,直接寫出相應(yīng)的伴隨數(shù)列;(2)當(dāng)時(shí),若,求證:;(3)當(dāng)時(shí),若,求證:.〖答案〗(1);(2)見〖解析〗;(3)見〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗(1)依題意,可直接寫出相應(yīng)的伴隨數(shù)列;(2)討論,兩種情況,利用反證法即可求解;(3)討論,兩種情況,當(dāng)時(shí),由(2)的結(jié)論,中至少有兩個(gè)1,利用反證法可得,根據(jù)的定義即可證明.〖小問1詳析〗因?yàn)閿?shù)列A:4,3,2,1,,所以.因?yàn)?,所以,,,?故數(shù)列A的伴隨數(shù)列為.〖小問2詳析〗當(dāng)時(shí),,顯然有;當(dāng)時(shí),只要證明.用反證法,假設(shè),則,從而,矛盾.所以.再根據(jù)為正整數(shù),可知.故當(dāng)時(shí),.〖小問3詳析〗當(dāng)時(shí),,有,此時(shí),命題成立;當(dāng)時(shí),由(2)的結(jié)論,中至少有兩個(gè)1,現(xiàn)假設(shè)中共有個(gè)1,即則.因?yàn)槿?,則,矛盾.所以.根據(jù)的定義可知,,,,以此類推可知一直有,再由后面,可知;另一方面與奇偶性相同,所以.〖『點(diǎn)石成金』〗定義新數(shù)列題目,要正確理解題目信息,將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解,注意反證法的運(yùn)用.
高考模擬試題PAGEPAGE1順義區(qū)2023屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.本試卷共5頁,共兩部分,第一部分共10道小題,共40分,第二部分共11道小題,共110分,滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級(jí)和教育ID號(hào).3.試題〖答案〗一律填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效.4.在答題卡上,選擇題用2B鉛筆作答,其他試題用黑色字跡簽字筆作答.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗直接由集合的交集運(yùn)算得出〖答案〗.詳析〗,,,故選:C.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則所以故選:A3.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A. B. C.6 D.24〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng),令的指數(shù)為求出,將的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng).〖詳析〗解:二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,解得,所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選:D4.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,則的公差為()A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比,公差的關(guān)系求解.〖詳析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,又又,故選:A5.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分析給定函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可判斷作答.〖詳析〗函數(shù)定義域?yàn)镽,,函數(shù)是R上的奇函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,選項(xiàng)A,D不滿足;因函數(shù)在R上單調(diào)遞增,在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增,選項(xiàng)C不滿足,B滿足.故選:B6.若雙曲線的離心率為,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)雙曲線離心率的知識(shí)求得正確〖答案〗.〖詳析〗,由于,所以,所以,故選:C7.已知,,則“存在使得”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的特殊函數(shù)值,結(jié)合充分、必要條件知識(shí)進(jìn)行推理可得.〖詳析〗若存在使得,則,∴,即,∴存在使得,∴“存在使得”是“”的充分條件;當(dāng)時(shí),,此時(shí)∴存在使得,∴“存在使得”不是“”的必要條件.綜上所述,“存在使得”是“”的充分不必要條件.故選:A.8.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞,新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.于年提出蓄電池的容量(單位:),放電時(shí)間(單位:)與放電電流(單位:)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式:,其中為常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的常數(shù),在電池容量不變的條件下,當(dāng)放電電流時(shí),放電時(shí)間;當(dāng)放電電流時(shí),放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取,則該蓄電池的常數(shù)大約為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由已知可得出,可得出,利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得的近似值.〖詳析〗由題意可得,所以,,所以,,所以,.故選:B.9.在棱長為1的正方體中,動(dòng)點(diǎn)P在棱上,動(dòng)點(diǎn)Q在線段上、若,則三棱錐的體積()A.與無關(guān),與有關(guān) B.與有關(guān),與無關(guān)C.與都有關(guān) D.與都無關(guān)〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)得出平面,所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離,得到點(diǎn)到平面的距離為定值,而底面的面積也是定值,并補(bǔ)隨的變化而變化,進(jìn)而得到〖答案〗.〖詳析〗因?yàn)闉檎襟w,所以因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面,所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離,也即點(diǎn)到平面的距離不隨的變化而變化,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,過點(diǎn)作,根據(jù)正方體的特征可知:平面,因?yàn)槠矫?,所以,,所以平面,則有,因?yàn)榍?,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以點(diǎn)到的距離也即到的距離,且距離為1,所以(定值),所以(定值),則三棱錐的體積不隨與的變化而變化,也即與與都無關(guān).故選:.10.已知點(diǎn)A,B在圓上,且,P為圓上任意一點(diǎn),則的最小值為()A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由題可設(shè),,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.〖詳析〗因?yàn)辄c(diǎn)A,B在圓上,且,P為圓上任意一點(diǎn),則,設(shè),,所以,所以,即的最小值為故選:D.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』:向量數(shù)量積問題常用方法一是利用基底法,結(jié)合平面向量基本定理及數(shù)量積的定義求解;二是利用坐標(biāo)法,結(jié)合圖形建立坐標(biāo)系,求出向量的坐標(biāo),進(jìn)而求其數(shù)量積.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意,列出不等式,求解即可得到結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)則,解得且所以函數(shù)的定義域?yàn)楣省即鸢浮綖?12.已知圓,點(diǎn)A、B在圓M上,且為的中點(diǎn),則直線的方程為_____________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)垂徑定理得到,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系得到,然后利用斜截式寫直線方程,最后整理一般式即可.〖詳析〗可整理為,所以圓心為,根據(jù)垂徑定理可得,,所以,直線AB的方程為整理得.故〖答案〗為:13.若存在使得,則m可取的一個(gè)值為_____________.〖答案〗(內(nèi)的任一值均可)〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可知:函數(shù)有零點(diǎn),則,解之即可,在所得到的范圍內(nèi)任取一個(gè)值即可求解.〖詳析〗因?yàn)榇嬖谑沟?,也即函?shù)有零點(diǎn),則有,解得:,所以可取內(nèi)的任意一個(gè)值,取,故〖答案〗為:.(內(nèi)的任一值均可)14.在中,,,,則___________,_____________.〖答案〗①.##②.〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理化簡可得出的值,結(jié)合角的取值范圍可得出角的值;利用余弦定理可得出關(guān)于的等式,結(jié)合可得出的值.〖詳析〗因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,因?yàn)?、,則,所以,,則,故,由余弦定理可得,即,,解得.故〖答案〗為:;.15.如果函數(shù)滿足對(duì)任意s,,有,則稱為優(yōu)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論:①為優(yōu)函數(shù);②若為優(yōu)函數(shù),則;③若為優(yōu)函數(shù),則在上單調(diào)遞增;④若在上單調(diào)遞減,則為優(yōu)函數(shù).其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________.〖答案〗①②④〖解析〗〖祥解〗①計(jì)算出,故,得到①正確;②賦值法得到,,依次類推得到;③舉出反例;④由在上單調(diào)遞減,得到,整理變形后相加得到,即,④正確.〖詳析〗因?yàn)?,所以,故,故是?yōu)函數(shù),①正確;因?yàn)闉閮?yōu)函數(shù),故,即,,故,同理可得,……,,②正確;例如,滿足,即,為優(yōu)函數(shù),但在上單調(diào)遞減,故③錯(cuò)誤;若在上單調(diào)遞減,任取,,則,即,變形為,兩式相加得:,因?yàn)椋?,則為優(yōu)函數(shù),④正確.故〖答案〗為:①②④〖『點(diǎn)石成金』〗函數(shù)新定義問題的方法和技巧:(1)可通過舉例子的方式,將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用,從而加深對(duì)信息的理解;(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容,如果能清晰描述,那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹;(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系,并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律;(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣,則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處,以及什么情況下可以使用書上的概念.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.(1)求A和函數(shù)的最小正周期;(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.〖答案〗(1);(2)〖解析〗〖祥解〗(1)解方程即可求,然后把函數(shù)降冪,輔助角公式后再求周期.(2)若恒成立,即求.〖小問1詳析〗的一個(gè)零點(diǎn)為,即,所以函數(shù)的最小正周期為.〖小問2詳析〗當(dāng)時(shí)有最大值,即.若恒成立,即,所以,故的取值范圍為.17.為調(diào)查A,B兩種同類藥物在臨床應(yīng)用中的療效,藥品監(jiān)管部門收集了只服用藥物A和只服用藥物B的患者的康復(fù)時(shí)間,經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù):康復(fù)時(shí)間只服用藥物A只服用藥物B7天內(nèi)康復(fù)360人160人8至14天康復(fù)228人200人14天內(nèi)未康復(fù)12人40人假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且只服用藥物A和只服用藥物B的患者是否康復(fù)相互獨(dú)立.(1)若一名患者只服用藥物A治療,估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率;(2)從樣本中只服用藥物A和只服用藥物B的患者中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復(fù)的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望:(3)從只服用藥物A的患者中隨機(jī)抽取100人,用“”表示這100人中恰有k人在14天內(nèi)未康復(fù)的概率,其中.當(dāng)最大時(shí),寫出k的值.(只需寫出結(jié)論)〖答案〗(1)(2)分布列見〖解析〗,數(shù)學(xué)期望為1(3)2〖解析〗〖祥解〗(1)結(jié)合表格中數(shù)據(jù)求出概率;(2)先得到只服用藥物A和只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率,得到X的可能取值及相應(yīng)的概率,得到分布列和期望;(3)求出只服用藥物A的患者中,14天內(nèi)未康復(fù)的概率,利用獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)求概率公式得到,列出不等式組,求出,結(jié)合得到〖答案〗.〖小問1詳析〗只服用藥物A的人數(shù)為人,且能在14天內(nèi)康復(fù)的人數(shù)有人,故一名患者只服用藥物A治療,估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率為;〖小問2詳析〗只服用藥物A的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為,只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為,其中X的可能取值為,,,,則分布列為:012數(shù)學(xué)期望為;〖小問3詳析〗只服用藥物A的患者中,14天內(nèi)未康復(fù)的概率為,,令,即,解得:,因?yàn)?,所?18.如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,,,E是的中點(diǎn).(1)求證:直線∥平面;(2)已知,點(diǎn)M在棱上,且二面角的大小為,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求的值.條件①:平面平面;條件②:.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.〖答案〗(1)證明過程見詳析(2)〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)中位線定理和線面平行判定即可求解;(2)根據(jù)線面垂直的判定或性質(zhì),以及建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求解二面角的余弦值即可進(jìn)一步得解.〖小問1詳析〗取PA中點(diǎn)F,連接,因?yàn)镋是的中點(diǎn),F(xiàn)是PA中點(diǎn),所以是中位線,所以平行且等于AD的一半,因?yàn)?,所以平行于,又,所以與平行且相等,所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE平行于BF,而平面,平面,所以直線∥平面.〖小問2詳析〗若選①:平面平面,取AD中點(diǎn)O,因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形,所以平面,易證平面,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,所以,所以,所以所以,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,令,解得,所以,易知地面一個(gè)法向量為,又二面角的大小為,所以,所以,解得,又點(diǎn)M在棱上,所以,所以,所以的值為.若選②:則取AD中點(diǎn)O,因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形,所以平面,連接OA,OC,OD,易知,所以,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,所以,所以,所以所以,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,令,解得,所以,易知地面一個(gè)法向量為,又二面角的大小為,所以,所以,解得,又點(diǎn)M棱上,所以,所以,所以的值為.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.〖答案〗(1)(2)〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)當(dāng)時(shí),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求
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