2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.16.4.2平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例(15分鐘30分)1.如圖,在重600N的物體上有兩根繩子,繩子與鉛垂線(xiàn)的夾角分別為30°,60°,物體平衡時(shí),兩根繩子拉力的大小分別為()A.300QUOTEN,300QUOTEN B.150N,150NC.300QUOTEN,300N D.300N,300N【解析】選C.作?OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在?OACB中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||·cos30°=300QUOTEN,||=||·sin30°=300N,||=||=300N.2.在四邊形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.5 D.10【解析】選C.因?yàn)椤?0,所以AC⊥BD.所以四邊形ABCD的面積S=QUOTE||||=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=5.3.人騎自行車(chē)的速度是v1,風(fēng)速為v2,則逆風(fēng)行駛的速度為 ()A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.QUOTE【解析】選B.由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1+v2.留意速度是有方向和大小的,是一個(gè)向量.4.已知點(diǎn)O,A,B不在同一條直線(xiàn)上,點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn),且=,則 ()A.點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上B.點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上C.點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上D.點(diǎn)P不在直線(xiàn)AB上【解析】選B.由=,得2=3-,即2(-)=-,即2==-,即=-QUOTE,所以點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上.5.正方形OABC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn),則cos∠DOE=.

【解析】以O(shè)A,OC所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,由題意知:=QUOTE,=QUOTE,故cos∠DOE==QUOTE=QUOTE.即cos∠DOE的值為QUOTE.答案:QUOTE6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,設(shè)AC=m,BC=n.若D為斜邊AB的中點(diǎn),求證:CD=QUOTEAB.【證明】以C為坐標(biāo)原點(diǎn),以邊CB,CA所在的直線(xiàn)分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,由題意得,A(0,m),B(n,0),則=(n,-m),因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),所以DQUOTE,=QUOTE.所以||=QUOTE,||=QUOTE,所以||=QUOTE||,即CD=QUOTEAB.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.點(diǎn)P在平面上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),速度v=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同,且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位).設(shè)起先時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(-2,4) B.(-30,25)C.(10,-5) D.(5,-10)【解析】選C.設(shè)運(yùn)動(dòng)5秒后點(diǎn)P在點(diǎn)M(x,y)處,則=5v,所以(x,y)=(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).2.已知△ABC滿(mǎn)意=·+·+·,則△ABC是()A.等邊三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形【解析】選C.由題意得,=·+·+·=·(+)+·=+·,所以·=0,所以⊥,所以△ABC是直角三角形.3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC中點(diǎn),則cos∠BDC= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.0 D.QUOTE【解析】選B.如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),所以=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC為,的夾角,所以cos∠BDC==QUOTE=QUOTE.4.如圖,在△ABC中,O為BC中點(diǎn),若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,則||=()A.1 B.2 C.QUOTE D.5【解析】選C.依據(jù)題意,O為BC中點(diǎn),所以=QUOTE(+),||2=QUOTE(+2·+)=QUOTE(12+2×1×3×cos60°+32)=QUOTE,所以||=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿(mǎn)意=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1 B.|a|=1C.a∥b D.(4a+b)⊥【解析】選BD.如圖,由題意,=-=(2a+b)-2a=b,則|b|=2,故A錯(cuò)誤;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,B正確;因?yàn)?2a,=b,故a,b不平行,C錯(cuò)誤;設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則+=2,且⊥,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥.6.已知點(diǎn)O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則a與b的關(guān)系有可能是()A.b=a B.b=a3+QUOTEC.b=a3-QUOTE D.b=a3【解析】選BD.由題意,知=(0,b),=(a,a3),=(a,a3-b).因?yàn)椤鱋AB為直角三角形,所以①若⊥,則·=0,即a3b=0,當(dāng)b=0時(shí),點(diǎn)O與點(diǎn)A重合;當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)O與點(diǎn)B重合,故a3b≠0,即OA與OB不垂直.②若⊥,則·=0,即b(a3-b)=0,又b≠0,故b=a3.③若⊥,則·=0,即a2+a3(a3-b)=0,又a≠0,故a3+QUOTE-b=0,即b=a3+QUOTE.故當(dāng)△OAB為直角三角形時(shí),有b=a3或b=a3+QUOTE.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖所示,在傾斜角為37°(sin37°≈0.6),高為2m的斜面上,質(zhì)量為5kg的物體m沿斜面下滑至底部,物體m受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的0.5倍,則斜面對(duì)物體m的支持力所做的功為J,重力所做的功為J(g=9.8m/s2).

【解析】物體m的位移大小為|s|=QUOTE≈QUOTE(m),則支持力對(duì)物體m所做的功為W1=F·s=|F||s|cos90°=0(J);重力對(duì)物體m所做的功為W2=G·s=|G||s|·sin37°=5×9.8×QUOTE×0.6=98(J).答案:0988.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿(mǎn)意3--=0,則△ABM與△ABC的面積之比為.

【解析】如圖,D為BC邊的中點(diǎn),則=QUOTE(+).因?yàn)?--=0,所以3=2,所以=QUOTE,所以S△ABM=QUOTES△ABD=QUOTES△ABC.答案:1∶3四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,已知在△ABC中,BE,CF分別為AC,AB邊上的高,而且BE與CF相交于點(diǎn)O,連接AO并延長(zhǎng),與BC相交于點(diǎn)D.求證:AD⊥BC.【證明】因?yàn)锽E⊥AC,所以·=0,即·=0,因此·=·①因?yàn)镃F⊥AB,所以·=0,即·=0,因此·=·②由①-②可得·-·=0,因此·=0,從而·=0,故BC⊥OA,即AD⊥BC.10.一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)B地,因大霧無(wú)法著陸,故轉(zhuǎn)向C地飛行,若C地在A(yíng)地的南偏西60°方向,并且A,C兩地相距2000km,求飛機(jī)從B地到C地的位移.【解析】方法一:由題意得||=1000km,||=2000km,∠BAC=60°,所以||2=|-|2=+||2-2||·||·cos60°=20002+10002-2×1000×2000×QUOTE=3×106,所以||=1000QUOTE所以||2+||2=||2,所以∠ABC=90°.取AC的中點(diǎn)D,由||=2||且∠BAD=60°,知為正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°.所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000QUOTEkm方法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,并取a=500,則=(2acos150°,2asin150°)=(-QUOTEa,a),=(4acos210°,4asin210°)=(-2QUOTEa,-2a),所以=(-QUOTEa,-3a),||=2QUOTEa,即||=1000QUOTE(km).又cos∠ACB==QUOTE=QUOTE,所以∠ACB=30°.結(jié)合圖形可知的方向?yàn)槟掀?0°,所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000QUOTE1.如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過(guò)程中,下列說(shuō)法中正確的是(寫(xiě)出全部正確的序號(hào)).

①繩子的拉力不斷增大;②繩子的拉力不斷變小;③船的浮力不斷變小;④船的浮力保持不變.【解析】設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,F與水平方向的夾角為θQUOTE.則|F|cosθ=|f|,所以|F|=QUOTE.因?yàn)棣仍龃?cosθ減小,所以|F|增大.因?yàn)閨F|sinθ增大,所以船的浮力減小.答案:①③2.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn),試問(wèn):在線(xiàn)段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM?【解析】以B為原點(diǎn),BC所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由于A(yíng)B=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3,4),C(6,0).則=(3,-4),由于M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).所以=Q