2024高考數(shù)學考點專項突破橢圓的性質與應用含解析

橢圓的性質與應用單選題1、（2024年高考北京卷理數(shù)）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（）A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B.2、（北京師范高校附屬試驗中學2024-2025學年高三第一學期12月月考）△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是()A．x225+C．x216+【答案】D【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定點C的軌跡為以A,B為焦點的橢圓，去掉A,B,C共線的狀況，即2a=10,c=4∴b2=9∴3、（2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p=（）A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．4、（河北省衡水中學2025屆高三第一次摸底考試）已知橢圓和直線，若過的左焦點和下頂點的直線與平行，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直線的斜率為，過的左焦點和下頂點的直線與平行，所以，又，所以，故選A.5、（河北省衡水中學2025屆高三第十次模擬考試數(shù)學（理)試題）如圖，設橢圓：的右頂點為，右焦點為，為橢圓在其次象限上的點，直線交橢圓于點，若直線平分線段于，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設AC中點為M，連接OM，則OM為△ABC的中位線，于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．故答案為：．6、（2024年高考全國Ⅱ理數(shù)）已知，是橢圓的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為為等腰三角形，，所以，由的斜率為可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故選D．7、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．8、（2025屆河北省衡水中學高三上學期五調(diào)考試）已知，為橢圓的兩個焦點，為橢圓短軸的一個端點，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由橢圓定義可知：，，則，所以，因為，即，，即..二、多選題9、（2025屆山東省臨沂市高三上期末）已知P是橢圓C：上的動點，Q是圓D：上的動點，則（）A．C的焦距為B．C的離心率為C．圓D在C的內(nèi)部D．的最小值為【答案】BC【解析】，，則C的焦距為，.設（），則，所以圓D在C的內(nèi)部，且的最小值為.故選：BC.10、（2010栟茶中學期末）設橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一動點，則下列說法中正確的是A．當點不在軸上時，△的周長是6 B．當點不在軸上時，△面積的最大值為 C．存在點，使 D．的取值范圍是，【答案】．【解析】：由橢圓方程可知，，從而．據(jù)橢圓定義，，又，所以△的周長是6，項正確．設點，，因為，則．因為，則△面積的最大值為，項正確．由圖可知，當點為橢圓短軸的一個端點時，為最大．此時，，又，則△為正三角形，，所以不存在點，使，項錯誤．由圖可知，當點為橢圓的右頂點時，取最大值，此時；當點為橢圓的左頂點時，取最小值，此時，所以，，項正確，故選：11、（2024秋?漳州期末）設橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結論正確的是A． B．離心率 C．△面積的最大值為 D．以線段為直徑的圓與直線相切【答案】【解析】：由橢圓可知，，，，所以左、右焦點為，，依據(jù)橢圓的定義，故正確；離心率，故錯誤；所以△面積的最大值為，故錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故正確；故選：．12、（2024?淄博一模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線與橢圓相交于點、，則A．當時，的面積為 B．不存在使為直角三角形 C．存在使四邊形面積最大 D．存在，使的周長最大【答案】【解析】：如圖所示：，對于選項：當時，，，的面積為，故選項正確；對于選項：當時，可以得出，當時，，依據(jù)橢圓的對稱性，存在使為直角三角形，故選項錯誤；對于選項：依據(jù)橢圓的對稱性可知，當時，四邊形面積最大，故選項正確；對于選項：由橢圓的定義得，的周長，，，當過點時取等號，，即直線過橢圓的右焦點時，的周長最大，此時直線的方程為，但是，所以不存在，使的周長最大，故選項錯誤；故選：．三、填空題13、（2025屆浙江省嘉興市3月模擬）已知橢圓的左、右焦點分別是，，點是橢圓上位于軸上方的一點，若直線的斜率為，且，則橢圓的離心率為________．【答案】．【解析】設，由直線的斜率為，知，且，即得，由及橢圓定義知，由余弦定理即可得，，即，化簡得，故或3（舍）即．故答案為：14、（2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）設為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標為___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．設點的坐標為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標為．15、（2024·浙江高三）如圖，過橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_____．【答案】【解析】作點B關于原點的對稱點B1，可得S，則有，所以．將直線AB1方程，代入橢圓方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韋達定理解得，，三式聯(lián)立，可解得離心率．故答案為：．16、（2025屆浙江省杭州市高三3月模擬）設是橢圓的兩個焦點，是C上一點，且滿意的面積為則的取值范圍是____.【答案】【解析】依題意，，所以，則，而，所以.由于，，依據(jù)二次函數(shù)的性質可知：，所以，所以，解得.故答案為：17、（2024年高考浙江卷）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如圖，設F1為橢圓右焦點.由題意可知，由中位線定理可得，設，可得，與方程聯(lián)立，可解得（舍），又點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：（焦半徑公式應用）由題意可知，由中位線定理可得，即，從而可求得，所以.18、（2025屆浙江省中學發(fā)展共同體高三上期末）已知橢圓的內(nèi)接的頂點為短軸的一個端點，右焦點，線段中點為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可設，，線段中點為，且，可得為的重心，設，，由重心坐標公式可得，，，即有的中點，可得，，由題意可得點在橢圓內(nèi)，可得，由，可得，即有.故答案為：.19、（2025屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）雙曲線的左焦點為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，延長交雙曲線右支于點，若，則該雙曲線的離心率為_________【答案】【解析】取雙曲線的右焦點,連接，延長交雙曲線于，連接，（如圖）由，可得四邊形為矩形，設，由對稱性可得：，，即有，由雙曲線的定義可得：，①在直角三角形中，，可得，②由①②可得，即，代入①可得：，化簡可得：，即有故答案為：20、（2024年高考浙江卷）已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿意=2，則當m=___________時，點B橫坐標的肯定值最大．【答案】【解析】設，，由得，，所以，因為，在橢圓上，所以，，所以，所以，與對應相減得，，當且僅當時取最大值．解答題21、（2024·浙江溫州中學3月高考模擬）已知直線與橢圓恰有一個公共點，與圓相交于兩點.（I）求與的關系式；（II）點與點關于坐標原點對稱.若當時，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.【解析】（I）由，得，則化簡整理，得；（Ⅱ）因點與點關于坐標原點對稱，故的面積是的面積的兩倍.所以當時，的面積取到最大值，此時，從而原點到直線的距離，又，故.再由（I），得，則.又，故，即，從而，即.22、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【解析】（1）由題設得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.則，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.所以E的方程為+y2=1．（2）設C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t≠0，設直線CD的方程為x=my+n，由題意可知–3<n<3.由于直線PA的方程為y=（x+3），所以y1=（x1+3）.直線PB的方程為y=（x–3），所以y2=（x2–3）.可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.由于，故，可得，即①將代入得所以，．代入①式得解得n=–3（含去），n=.故直線CD的方程為，即直線CD過定點（，0）．若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點（，0）.綜上，直線CD過定點（，0）.23、（2025屆浙江省嘉興市5月模擬）設點為拋物線上的動點，是拋物線的焦點，當時，．（1）求拋物線的方程；（2）過點作圓：的切線，，分別交拋物線于點．當時，求面積的最小值．【解析】（1）當時，，所以，故所求拋物線方程為.（2）點為拋物線上的動點，則，設過點的切線為，則，得，是方程（*）式的兩個根，所以，，設，因直線，與拋物線交于點A，則得，所以，即，同理，設直線，則，，又，，所以令，，當且僅當，即時，取得最小值.24、（2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且．（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程．【解析】（1）由已知可設的方程為，其中.不妨設在第一象限，由題設得的縱坐標分別為，；的縱坐標分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，設，則，，故.①由于的準線為，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的標準方程為，的標準方程為.25、（2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【解析】（1）由題設可得，得，所以的方程為.（2）設，依據(jù)對稱性可設，由題意知，由已知可得，直線BP的方程為，所以，，因為，所以，將代入的方程，解得或.由直線BP的方程得或8.所以點的坐標分別為.，直線的方程為，點到直線的距離為，故的面積為.，直線的方程為，點到直線的距離為，故的面積為.綜上，的面積為.26、（2025屆山東省泰安市高三上期末）已知橢圓的離心率e滿意，右頂點為A，上頂點為B，點C(0，－2)，過點C作一條與y軸不重合的直線l，直線l交橢圓E于P，Q兩點，直線BP，BQ分別交x軸于點M，N；當直線l經(jīng)過點A時，l的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)證明：為定值．【解析】（1）由解得或（