統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)33平面向量的概念及線性運(yùn)算理含解析北師大版

PAGE課后限時集訓(xùn)(三十三)平面對量的概念及線性運(yùn)算建議用時：25分鐘一、選擇題1．給出下列命題：①兩個具有公共終點(diǎn)的向量肯定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。虎廴籀薬＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中正確命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4A[①錯誤．兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。坼e誤．當(dāng)a＝0時，無論λ為何值，λa＝0.④錯誤．當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，a與b可以是隨意向量．]2．設(shè)a，b是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[當(dāng)λ＜0時，|a＋b|≠|(zhì)a|＋|b|；當(dāng)λ＞0時，|a＋b|＝|a|＋|b|.故選B.]3．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))A[由題意得eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).]4．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線B[∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A，B，D三點(diǎn)共線，故選B.]5．在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是直線BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－4 B．－1C．1 D．4B[∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AN,\s\up6(→))，由B，P，N三點(diǎn)共線可知，m＋2＝1，∴m＝－1.]6．(2024·南昌模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))為()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))B[由平面對量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).]7．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3 B．4C．5 D．6B[如圖，∵D為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O為CD的中點(diǎn)，又∵D為AB中點(diǎn)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，則eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.]8.如圖所示，平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．1 B．2C．3 D．4C[法一：∵eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，兩邊平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，兩邊同乘eq\o(OA,\s\up6(→))得eq\f(3,2)＝λ－eq\f(μ,2)，兩邊平方得eq\f(9,4)＝λ2－λμ＋eq\f(μ2,4)，②①－②得eq\f(3μ2,4)＝eq\f(3,4).依據(jù)題圖知μ＞0，∴μ＝1.代入eq\f(3,2)＝λ－eq\f(μ,2)得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故選C.法二：建系如圖：由題意可知A(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝λ(1,0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ，\f(\r(3),2)μ)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)μ＝\f(\r(3),2)，))∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]二、填空題9．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為________．－eq\f(1,2)[由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).]10．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＝________，μ＝________.eq\f(3,4)eq\f(1,2)[取AB的中點(diǎn)F，連接CF(圖略)，則由題可得CF∥AD，且CF＝AD.∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2).]11．已知△ABC和點(diǎn)M滿意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________.3[由已知條件得eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))，M為△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，則m＝3.]12．下列命題正確的是________．(填序號)①向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa；②在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③只有方向相同或相反的向量是平行向量；④若向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線．④[易知①②③錯誤．∵向量a與b不共線，∴向量a，b，a＋b與a－b均不為零向量．若a＋b與a－b共線，則存在實(shí)數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))此時λ無解，故假設(shè)不成立，即a＋b與a－b不共線．]1．O是平面上肯定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿意：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡肯定通過△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心B[作∠BAC的平分線AD.因?yàn)閑q\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，所以P的軌跡肯定通過△ABC的內(nèi)心，故選B.]2．(2024·株江模擬)如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點(diǎn)P在邊BC上，且滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n均為正實(shí)數(shù))，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為_______．eq\f(7＋4\r(3),4)[eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\