專(zhuān)題08 （簡(jiǎn)單幾何體表面積與體積）（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試考前必刷題 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下學(xué)期期末考試考前必刷題08

（簡(jiǎn)單幾何體表面積與體積）

試卷滿(mǎn)分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題

區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2021?浙江高一期末）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)

面積的比值是（）

1+2萬(wàn)1+2萬(wàn)1+2萬(wàn)1+4乃

A.---------B.---------C.---------D.---------

4萬(wàn)2萬(wàn)712萬(wàn)

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，得到圓柱的高和底面半徑之間的關(guān)系，然后求出圓柱

的表面積和側(cè)面積即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)圓柱的底面半徑為r,圓柱的高為〃，

???圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，

/.24丫—h，

二圓柱的側(cè)面積為iTrrh=4/r2，

圓柱的兩個(gè)底面積為21產(chǎn),.二圓柱的表面積為24戶(hù)+2兀幣=24/+4/r,

，圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：幺匚菩21=上必，

rITI

故選：B.

2.（2021?浙江高一期末）圓臺(tái)的上，下底面半徑分別為3和4,母線(xiàn)長(zhǎng)為6.則其表面積等

于（）

A.72B.42〃C.61兀D.727r

【答案】C

【分析】

由圓臺(tái)表面積等于上底面積、卜底面積、側(cè)面枳的和，根據(jù)已知條件及圓、扇形的面積公式,

即可求其表面積.

【詳解】

由題意，得如下示意圖：

OCOD3

知：BC=AD-6?而==—，可得OC—OD=18.

OBOA4

團(tuán)表面積為上底面積、下底面積、側(cè)面積的和，即

S=9^-+16^-+（―x24x8^---x18x6^）=67^r.

故選：c

3.（2021?浙江高一期末）半徑為1的球的表面積是（）

44萬(wàn)

A.—B.7C.----D.4乃

33

【答案】D

【分析】

根據(jù)球的表面積公式直接求解即可.

【詳解】

半徑為1的球的表面積為4ix1?=4萬(wàn).

故選：D.

4.（2021?河南洛陽(yáng)市?高一期末）如圖網(wǎng)格中是某幾何體的三視圖（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的

邊長(zhǎng)為1）,則該幾何體的體積為（）

A.2B.75C.4D.275

【答案】A

【分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，計(jì)算體積即可.

【詳解】

還原幾何體如圖，為四枝柱，底面積為1x1，高為2

故體積為：2

故選：A

5.（2021?陜西商洛市?高一期末）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，若過(guò)直線(xiàn)OP的平

面截圓錐所得的截面是面積為4的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.4夜兀B.2近兀C.4萬(wàn)D.（4/+4）萬(wàn)

【答案】A

【分析】

根據(jù)圓錐的軸截面的求得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)和底面半徑，結(jié)合側(cè)面積公式，即可求解.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為/，則gx/x/=4,褥/=20，即母線(xiàn)長(zhǎng)為2友，

設(shè)圓錐的底面半徑為r,（2r）2=/2+/2=16,解得r=2,即圓錐底面圓的半徑為2,

圓錐的側(cè)面積為L(zhǎng)X4萬(wàn)X2夜=4叵兀.

2

故選：A.

6.（2020?北京順義區(qū)?高一期末）已知某圓柱底面的半徑為1,高為2,則該圓柱的表面積

為（）

A.2兀B.4乃C.6兀D.8%

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓柱表面積的計(jì)算公式直接求解即可.

【詳解】

解:因?yàn)閳A柱的底面半徑為1,高為2,

所以圓柱的表面積S=2〃x『+2乃xlx2=6〃.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱表面積的求法，屬基礎(chǔ)題.

7.（2020?浙江高一期末）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)

正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔

高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（）

A.8092MB.4046/7?

c.24276m3D.12138/

【答案】A

【分析】

由題意可知正四棱錐底面正方形邊長(zhǎng)為34〃/，高為21〃?，利用椎體體積公式即可求解.

【詳解】

p

如圖正四棱錐尸一ABC。中，A5=BC=34,P0=21,

3

所以正四棱錐尸一ABCD的體積為:xSAHCDxPO=；x34x34x21=8092/n,

故選：A

8.（2021?河南駐馬店市?高一期末（文））在我國(guó)古代，將四個(gè)角都是直角三角形的四面體

稱(chēng)為“鱉1r.在"鱉臊"ABC。中，48，平面8。。，BD上CD且AB=BD=CD,若

4

該四面體的體積為一，則該四面體外接球的表面積為（）

3

D

A.8萬(wàn)B.12兀C.14乃D.16萬(wàn)

【答案】B

【分析】

由題意計(jì)算AB=BD=CD=2,分析該幾何體可以擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，所以只用求長(zhǎng)方體的外

接球即可.

【詳解】

4

因?yàn)槠矫?C。,8。_1。。且/18=8。=。。，yA-BcD=^'

114

而匕U88=§'58。'。。、48=§,所以43=3。=8=2,

所以該幾何體可以擴(kuò)充為正方體方體，所以只用求正方體的外接球即可.

設(shè)外接球的半徑為R，則2R=2，L

所以外接球的表面積為S=4萬(wàn)后=12萬(wàn)

故選：B

【點(diǎn)睛】

多面體的外接球問(wèn)題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：

⑴公式法；（2）多面體幾何性質(zhì)法；（3）補(bǔ)形法；（4）尋求軸截面圓半徑法；（5）確定球心位置

法.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2020?江蘇南通市?高一期末）如圖，在三棱錐。一ABC中，D、E、產(chǎn)分別為棱PC、

AC、AB的中點(diǎn)，出，平面ABC,ZABC=90°,AB^PA^6,BC=8,則（）

A.三棱錐3防的體積為18

B.平面。麻截三棱錐P-ABC所得的截面面積為12

C.點(diǎn)P與點(diǎn)A到平面8DE的距離相等

D.直線(xiàn)與直線(xiàn)OE垂直

【答案】BC

【分析】

先由題意，證明。EJL平面龐下，石尸，AB，根據(jù)三棱錐的體積公式求出三棱錐O—BE下

的體積，可判斷A；取中點(diǎn)為M，連接DM，F(xiàn)M,得到四邊形DMFE即是平面?！陸?hù)

截三棱錐P-A5C所得的截面，從而可求出截面面積，可判斷B；根據(jù)題意，證明K4//平

面BDE，可判斷C；取中點(diǎn)為N,連接ON,FN,得到NEDN即等于直線(xiàn)PB與

直線(xiàn)。E所成的角，根據(jù)余弦定理求得異面cos/FZW，即可判斷D.

【詳解】

因?yàn)?。、E、尸分別為棱PC、AC.AB的中點(diǎn)，

所以DE//PA，EFHBC,

因?yàn)殂@="=6,BC=8,所以=EF、BC=4,BF=-AB=3,

222

因?yàn)镽4_L平面ABC,所以。EJ_平面ABC,即。平面班尸；

又NABC=90。，所以8CLAB，因此￡F_LAB，

所以三棱錐D-BEF的體積為VD_BEF=1S.BEFDE=Y^BFEFDE=6,故A錯(cuò)；

取P3中點(diǎn)為“，連接。Af，F(xiàn)M，易得：DMHBCHEF,DE=-BC=EF,

2

因此四邊形DMFE即是平面DEF截三棱錐P-ABC所得的截面，且四邊形DMFE平行

四邊形，

又￡>￡，平面5萬(wàn)尸，所以￡>E_L所，即四邊形DWFE是矩形,

因此其面積為?所=12，故B正確;

因?yàn)镈EHPA,PA<Z平面BDE，E>Eu平面BOE，所以24〃平面3OE，

因此點(diǎn)P與點(diǎn)A到平面8OE的距離相等，故C正確；

取8C中點(diǎn)為N,連接ON,FN,

則。N〃PB，F(xiàn)Ni/AC，且DN=LPB=，JPA2+AB2=3五,

22

NFDN即等于直線(xiàn)依與直線(xiàn)。E所成的角，

22

又FN=；AC='JAB?+BC?=5,DP=7DE+EF=5-

DF2+DN--FN2

因此cos/FDV=

2DF-DN

所以直線(xiàn)P3與直線(xiàn)OR不垂直，即D錯(cuò);

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查立體幾何的綜合，涉及棱錐體積，線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面平行，異面直線(xiàn)所成角的求

法等，屬于常考題型.

10.（2020?山東臨沂市?高一期末）如圖，在四棱錐尸一ABCD中，底面A8CO是正方形,

Q4,底面ABC。，PA=AB,截面3DE與直線(xiàn)PC平行，與PA交于點(diǎn)E,則下列判斷

正確的是（）

A.E為姑的中點(diǎn)

B.平面PAC

C.依與CD所成的角為之TT

3

D.三棱錐C—80E與四棱錐P—ABC。的體積之比等于1:4.

【答案】ABD

【分析】

采用排除法，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理以及線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)角的求法，錐體

體積公式的計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,連接AC交30于點(diǎn)/，連接EM，如圖所示，

;PC〃面BDE，PCu面APC，且面APCPI面,PC〃￡M，

又?.?四邊形ABC。是正方形，為AC的中點(diǎn)，

.1E為24的中點(diǎn)，故A正確.

對(duì)于B,?/PA，面ABCD，BDu面ABCD,PAYBD^

又AC_LB￡>,ACc^PA=A，AC,PAu面以。

8￡>_L面PAC，故B正確.

對(duì)于C,-.-AB//CD,二NPBA為PB與8所成的角，

???PA_L面ABC。，ABI^ABCD,APAA.AB，

71

在RtAPAB中，PA=AB,NPBA=一,故C錯(cuò)誤.

4

對(duì)于D,ill等體積法可得L1BDE=%_8c￡）=]SsCZ）?￡A,Vp-A8c0=§.SABCD?PA

又：588=〈5舫8，抬=2胡，，*皿=:，故D正確?

2VP-ABCD"

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的位置關(guān)系，審清題意，考驗(yàn)分

析能力，屬中檔題.

11.（2020?瓦房店市高級(jí)中學(xué)高一期末）如圖，正方體A3CO-4耳。|。的棱長(zhǎng)為1,則

下列四個(gè)命題正確的是（）

A.直線(xiàn)BC與平面A3GA所成的角等于巴B.點(diǎn)C到面的距離為走

42

7T

C.兩條異面直線(xiàn)和BG所成的角為一D.三棱柱64G外接球表面積為3乃

4

【答案】ABD

【分析】

對(duì)選項(xiàng)A,首先連接用。，交BG于。點(diǎn)，易證C。，平面A6G。，從而得到NC8。為

TT

H線(xiàn)8。與平面ABCtDt所成的角，再根據(jù)ZCBO=-即可判斷選項(xiàng)A正確.對(duì)選項(xiàng)B,根

4

據(jù)CO,平面ABCQ,得到CO為點(diǎn)。到面ABCQ的距離，再計(jì)算CO即可判斷選項(xiàng)B

正確.對(duì)選項(xiàng)C,首先連接D,C,A}B,AC，根據(jù)D\C〃AB,得到ZA.BQ為異面直線(xiàn)RC

和BG所成的角，再計(jì)算N4BG即可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D,根據(jù)三棱柱

BB?的外接球與正方體ABCD-A.B^D,的外接球相同，計(jì)算正方體的外接球

即可判斷選項(xiàng)D正確.

【詳解】

對(duì)選項(xiàng)A,如圖所示：

連接8。，交BG于。點(diǎn).

因?yàn)檎襟wABC?！?

所以四邊形BCGg為正方形，CO±BC,.

又因?yàn)锳BL平面8CC4,。。匚平面8。。百，所以A3,CO.

ABICO

<CO1BC}nco_L平面ABC,Dy.

ABcBCX=B

所以ZCBO為直線(xiàn)5c與平面ABCR所成的角，

TC

又因?yàn)镹CBO=一,故選項(xiàng)A正確.

4

對(duì)選項(xiàng)B,由上知：CO_L平面ABGA，

所以CO為點(diǎn)C到面ABG9的距離.

又因?yàn)檎襟w邊長(zhǎng)為1，所以CO=立，故選項(xiàng)B正確.

2

對(duì)選項(xiàng)C,如圖所示：

連接。c，AXB,AG.

因?yàn)??！?%乃,所以N4BG為異面直線(xiàn)℃和BCi所成的角.

又因?yàn)?AG=J5,所以NABG=(,故選項(xiàng)c錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)槿庵?。一BB°I的外接球與正方體ABCD-A^C^

的外接球相同，設(shè)外接球半徑為R,H=4+>+『=旦

22

5=4"/?2=3%，故選項(xiàng)D正確.

故選:ABD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線(xiàn)面成角，異面直線(xiàn)成角，同時(shí)考查了點(diǎn)到面的距離和三棱柱的外接球，屬

于簡(jiǎn)單題.

12.（2020?遼寧高一期末）正四棱錐P-A3C。中，底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面與底面所成二面角

的大小為60。，下列結(jié)論正確的是（）

A.直線(xiàn)左與8C、24與CD所成的角相等

B.側(cè)棱與底面所成角的正切值為好

3

C.該四凌錐的體積為4月

25%

D.該四凌錐的外接球的表面為學(xué)

【答案】AD

【分析】

對(duì)于A,根據(jù)異面成角的概念，直線(xiàn)小與BC、A4與CD所成的角分別為NA4。，ZPAB.

再根據(jù)正四棱錐的特點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)A是否正確;對(duì)于B,由題意可證尸O，平面ABCD,

則NP4O是側(cè)棱與底面所成角，在RFAPAO即可求出側(cè)棱與底面所成角的正切值，即可判

斷選項(xiàng)B是否正確；對(duì)于C,利用體積公式即可求出該四棱錐的體積，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C是否

正確；對(duì)于D,利用球心和頂點(diǎn)連線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出外接球的半徑，

進(jìn)而求出外接球的表面積，即可判斷選項(xiàng)D是否正確.

【詳解】

連結(jié)AC,BD，交于點(diǎn)。，連結(jié)尸O,取AD中點(diǎn)E，連結(jié)OE、PE，如下圖所示：

時(shí)于A,因?yàn)樗灾本€(xiàn)必與6c所成角為ZPA￡＞，

因?yàn)镃O//4?，所以Q4與CO所成的角為“46，

團(tuán)PA.=PB=PD，AB=AD，回ZPAD=XPAB，

團(tuán)直線(xiàn)Q4與3C、Q4與CO所成的角相等，故A正確;

對(duì)于B,回P01平面ABC。，回NQ4O是側(cè)棱與底面所成角，

04正四棱錐「一488中，底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面與底面所成二面角的大小為60。,

回AC=、AC=；j22+22=0,ZPEO=60°,OE=\,PE=2,PO=4-]2=/，

0ffi棱與底面所成角的正切值為tanZPAO=￡=旦,故B錯(cuò)誤；

V22

對(duì)于C,該四棱錐的體積為V=；xS正方形ABCDXPO=；X2X2XJ^=3；，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由題意可知正四凌錐P-ABCD中外接球的球心在PO匕

設(shè)外接球的球心為M，連接,

AB

設(shè)該四棱錐的外接球半徑為R,

在RfVMOC中，MC=RQM=6一RQC=6

（省-R『+（0『，解得R=東，

由勾股定理，可得R2

25乃

回該四棱錐的外接球的表面積為5=4TTR2,故D正確.

3

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了考查空間中異面直線(xiàn)成角、線(xiàn)面角、錐體的體積以及錐體的外接球等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2021?浙江高一期末）已知圓錐的體積為@乃，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則它

3

的母線(xiàn)長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】

山側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓可得/=2r,再根據(jù)體積建立關(guān)系即可求出.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為一，母線(xiàn)長(zhǎng)為/,

因?yàn)樗膫?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則271r=兀/,即/=2廠，

又圓錐的體枳為」7T產(chǎn)=避~兀,

33

則可解得廠=1」=2,故母線(xiàn)長(zhǎng)為2.

故答案為：2.

14.（2021?廣西河池市?高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,

△小。為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=4,則四棱錐尸一ABC。的

外接球的表面積為.

P

【分析】

先根據(jù)面面垂直，取平面PAD的外接圓圓心G,平面ABCD的外接圓圓心從分別過(guò)兩點(diǎn)

作對(duì)應(yīng)平面的垂線(xiàn)，找到交點(diǎn)為外接球球心。，再通過(guò)邊長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算半徑，代入球的表面

積公式即得結(jié)果.

【詳解】

如圖，取AO的中點(diǎn)E，8C的中點(diǎn)/，連EE，尸￡，在PE匕取點(diǎn)G,使得PG=2GE,

取所的中點(diǎn)H，分別過(guò)點(diǎn)G、H作平面PAD、平面A38的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)相交于點(diǎn)。，

顯然點(diǎn)。為四棱錐尸—ABC。外接球的球心,

由AD=2，AB=4，可得PE=百,GE=OH=

AH=JAE?+EH°=#+2?=石,

則半徑r=O4=

故四棱錐P-ABCD外接球的表面積為44x

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正

方體或長(zhǎng)方體中去求解：

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線(xiàn)，則球心一定在垂線(xiàn)上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

15.（2021?河南洛陽(yáng)市?高一期末）在棱長(zhǎng)為9的正方體A6C?！狝'3'C'。'中，點(diǎn)E，/分

4/7T）'p

別在棱AB,加上，滿(mǎn)足====2,點(diǎn)P是。。'上一點(diǎn)，且PB〃平面CEF,則

EBFD

四棱錐ABCD外接球的表面積為一

【答案】178〃

【分析】

以。為原點(diǎn)，DA,DC，DD'分別為x，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(O,O,f),由//〃

平面CEF可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)四棱錐P-ABCD的特點(diǎn)可得外接球的直徑可得答案.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，DA,DC、。。分別為x，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

.AED'Fc

0(0,0,0),由---=----=2.

EBFD

則上(9,6,0),C(0,9,0),6(0,0,3),8(9,9,0),設(shè)P((W),

=(-9,3,0),CF=(O,-9,3),麗=(9,9,T)

設(shè)平面FEC的法向量為7=(x,y,z)，

n-EC-0-9x+3y=01

則《一，即《c二八，不妨令z=3,則y=l,x=—

n-CF^O—9y+3z=03

得［=因?yàn)椤ㄆ矫??！晔?/p>

所以而不=0，即gx9+lx9-3f=0,解得/=4,

所以「(0,0,4),

由尸￡>_L平面ABCD,且底面是正方形，

所以四棱錐尸-ABCD外接球的直徑就是PB，

由麗=(9,9,T),得|而|=j92+92+16=VI7i,

所以外接球的表面積S=4萬(wàn)=1784.

故答案為：178萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐外接球的表面積的求法，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，確定球的半徑，

考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.

16.（2021?河南平頂山市?高一期末）已知三棱錐A-38的四個(gè)頂點(diǎn)在表面積為64%的球

面上，AB=23,CD=4后,M，N分別是棱AB和CD的中點(diǎn)，則線(xiàn)段MN的最

大長(zhǎng)度為.

【答案】5

【分析】

根據(jù)球的面積求出球的半徑，根據(jù)球的性質(zhì)求出I。加I和ION|,根據(jù)

|兇0用|+1ON|可求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球的球心為。，半徑為R，

則4兀R。=64萬(wàn),所以R=4，

因?yàn)镸，N分別是棱AB和CO的中點(diǎn)，所以QW_LAB,ON工CD,

所以|OA1|=74Ml2=J16—7=3,]ONI=JR2_]CN『=J16-12=2，

所以|〃N|SOM|+|QN|=3+2=5,當(dāng)且僅當(dāng)。在線(xiàn)段MNI二時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球的性質(zhì)求出10Ml和ION再根據(jù)|力0國(guó)。知|+|?？蓔求解是解題

關(guān)鍵.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.（2021?浙江高一期末）將一個(gè)底面圓的直徑為2、高為1的圓柱截成橫截面為長(zhǎng)方形的

棱柱（如圖），設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形截面的一條邊長(zhǎng)為X,對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2,截面的面積為A.

(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求出截得棱柱的體積的最大值.

【答案】(1)A=x.j4__?(0<%<2)；(2)2.

【分析】

(1)求得長(zhǎng)方形另一條邊長(zhǎng)后，可得面積A,由實(shí)際意義可知0<x<2,由此得到函數(shù)關(guān)

系式；

22

(2)根據(jù)棱柱體積公式求得V=L(X-2)+4(0<x<2)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最

大值.

【詳解】

(1)?.?長(zhǎng)方形一條邊長(zhǎng)為x,對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，...另一條邊長(zhǎng)為J二3，

:,A=x-yl4-x2>又圓柱的直徑長(zhǎng)為2，，0<x<2，

面積A以％為自變量的函數(shù)關(guān)系式為：A=x-yl4-x2(0<x<2).

(2)截得的棱柱的體積V=尤，4-dx1=74X2-X4=卜2_2『+4(0<x<2)，

.?.當(dāng)*2=2,即》=及時(shí)，匕皿=2,即截得棱柱體積的最大值為2.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型的建立，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略自變量的取值范圍，造

成函數(shù)關(guān)系式不完整.

18.(2021?陜西西安市西光中學(xué)高一期末)如圖，在直四棱柱ABC。一A4G。中，=3,

AD=4,E是Ag的中點(diǎn)，且BE1平面AAGD

AID1

(1)證明：AO,平面43旦4；

（2）求四棱錐。-AB耳％的體積.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）12.

【分析】

（1）根據(jù)線(xiàn)面垂克的性質(zhì)，由題中條件，得到B耳，A。，BELAD^再由線(xiàn)面垂直的

判定定理，即可得出結(jié)果：

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用棱錐的體積公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

（1）因?yàn)樗睦庵鵄BC。-45cA為直四棱柱，所以平面A8CD,

又ADu平面ABCD,所以BB}1AD；

因?yàn)锽E1平面ABCQ,ADu平面ABC。，AB,u平面A4CQ，

所以3石，AD，BE±AB,；

因?yàn)?Eu平面A884，64u平面4384，BEcBB*,

所以ADI平面AB4A；

（2）由（1）可得，BEVAB,,因?yàn)镋是Aq的中點(diǎn)，所以A8=B4=3；

因此四棱錐。一AB4A的體積為VD_ABBtAt=1S”明&?AO=g?32?4=12.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

證明空間位置關(guān)系的方法：

（1）利用判定定理和性質(zhì)證明：根據(jù)線(xiàn)面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合題中條件，

即可證明；

（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，

根據(jù)空間位置的向量表示，即可證明.

19.（2021?廣西河池市?高一期末）如圖，在三棱柱ABC-44G中，NACC\=NBCC],

AC=BC.

(1)若三棱柱ABC-A4G的體積為1，求三棱錐G-ABC的體積；

(2)證明：AB±CC,.

【答案】(1)I；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)根據(jù)三棱柱ABC-\BXCX的體積為1,由三棱錐C,-ABC的體積為三棱柱三棱柱

ABC-44G的;求解.

(2)取4?的中點(diǎn)。，連CO,C,D,易得AACG絲ABCG，則ABLCD,

利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得AB，平面CDC、即可.

【詳解】

(1)設(shè)三棱柱ABC-44G的高為力，AABC的面積為S,

由三棱柱ABC—A4G的體積為1，可得匕BC-AMG=S〃=1，

可得三棱錐C,-ABC的體積為1S/z=

33

(2)如圖所示：

D

A

取AB的中點(diǎn)。，連C￡＞，G。，

\AC=BC

E＜CC]=CC],

[ZACq=NBCG

0AACCJmABCC],

0AC]=BC],

SAD=DB，AC|=BC1,

0AB1CQ

^AD=DB-AC=BC,

0AB1CD,

0AJ51QZ),AB±CD.。。,。|。＜=平面。。。|，CDryC1D=D,

13AB_L平面COG

0AB_L平面COG，CC]＜=平面CC1D,

0ABICC,.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法

(1)定義：兩條直線(xiàn)所成的角為90。.

(2)平面幾何中證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法.

(3)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：a0a,b^aBOSb.

(4)線(xiàn)面垂直的性質(zhì):a0a,bSaEafflb.

20.(2021?河南焦作市?高一期末)如圖所示，在四棱錐P—A3CD中，AD//BC,40=3,

BC=4,M為線(xiàn)段A￡＞上點(diǎn)，且滿(mǎn)足N為PC的中點(diǎn).

N

（國(guó)）證明：MN//平面PAB；

V.

（團(tuán)）設(shè)三棱錐N-3cM的體積為匕，四棱錐P-ABCD的體積為匕，求

V.2

【答案】（團(tuán)）證明見(jiàn)解析；（團(tuán)），=

7

【分析】

（回）要證明線(xiàn)面平行:，需證明線(xiàn)線(xiàn)平行，取3P的中點(diǎn)T，連接AT，77V，證明MN//AT；

（0）利用錐體體積公式，分別求兩個(gè)錐體底面積和高的比值，表示體積比值.

【詳解】

（0）如圖，取3P的中點(diǎn)T，連接AT，77V.

因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，所以7N//BC，且TN=LBC=2.

2

又因?yàn)锳M=2AO=2,且AD〃3C，

3

所以刀V〃4M,TN=AM,即四邊形AAWT為平行四邊形，

所以MN/Z4T，

因?yàn)锳Tu平面BAB，MNU平面PAB，所以〃平面

（0）設(shè)四棱錐P-ABC。的高為〃，AO與間的距離為4.

!I17

貝IJK=§x〃xS梯形他8=§〃*萬(wàn)"（3+4）=%九",

..1hoIh1hd

匕=§X]XSABCM=-X-X-X4^=—

V.2

因此昔=5.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了線(xiàn)面平行的判斷定理，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，不管是

證明面面平行，還是證明線(xiàn)面平行，都需要證明線(xiàn)線(xiàn)平行，證明線(xiàn)線(xiàn)平行的幾種常見(jiàn)形式,

1.利用三角形中位線(xiàn)得到線(xiàn)線(xiàn)平行；2.構(gòu)造平行四邊形；3.構(gòu)造面面平行.

21.（2021?河南平頂山市?高一期末）如圖，A3為O。的直徑，PA垂直于所在的平

面，A/為圓周上任意一點(diǎn)，AN1PM,AO1PB,垂足分別為N,Q.

(1)求證：PBA.NQ.

（2）若24=AM=1,28=石，求三棱錐P—ANQ的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）—.

36

【分析】

（1）根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角，及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)