高一期末模擬卷數(shù)學

高一期末模擬卷數(shù)學

一.選擇題（共8小題）

I.我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”,

它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示若E為A尸的中點，

EG=XAB+|1AD，貝I」入+尸（）

4

2.平行四邊形A8CO中，￡為AO邊上的中點，連接BE交AC于點G,若質(zhì)=入屈+四而，貝ij入+卜=（）

3.一圓臺的兩底面半徑分別為2,4,高為4則該圓臺外接球的表面積為（）

A.48nB.64nC.65TTD.68Tt

4.如圖所示為一個平面圖形采用斜二側(cè)畫法得到的直觀圖，其圖形是一個邊長為I的菱形，則它的平面圖形的面

積為（）

C.返

5.攢尖頂是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形、三角、四角、六角、

八角等結(jié)構(gòu)，多見于亭閣式建筑.如圖所示，某園林的亭閣建筑為六角攢尖頂，它的

屋頂輪廓可近似看作一個正六棱錐，設(shè)正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為2a,則

該正六棱錐底面內(nèi)切圓半徑與側(cè)棱長之比為（）

A.V3sinCLB.VScosClC.2sinaD.2cosa

6.已知點M是△然€*的邊8C的中點，點E在邊AC上，且箴=2瓦，則向量而=（）

A.AAC+IABB.1AC+1ABC.I-TC-AABD.IAC+^AB

23622663

7.在正匹棱錐P-ABC。中，已知刑=A8=2,O為底面ABC。的中心，以點0為球心作一個半徑為2返的球,

3

則該球的球面與側(cè)面PCD的交線長度為（）

A.返兀B.逅兀C.逅兀D.逅兀

6432

8.正三楂錐P-ABC的底面邊長為入門，側(cè)棱長為班，若球“與正三楂錐所芍的棱都相切，則這個球的表面積

為（）

A.-117TB.（44-16a）兀C.9天D.327r

42

二.多選題（共4小題）

9.在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間中點作為代表，則下列說法中正確的是（）

A.成績在［70,80）分的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競賽成績的平均分約70.5分

D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

10.已知兩條不重合的直線。和力兩個不重合的平面a和0,則下列說法

不正確的為（）

A.若《〃。，b//a>則a〃力

B.若qua,則a,8為異面直線

C.若?！╞,aua,則。〃a或。ua

D.若aua,bua,a//p,b〃0,則a〃0

11.在△ABC中，ZA=90°,A5=3,AC=4,點O為線段AB上靠近A端的三等分點，E為CO的中點，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.毒=得■而哈正

B.標與標的夾角的余弦值為至

17

C.標近=-學

2

D.△4EO的面積為2

12.已知正四棱錐的側(cè)面積為幺回，當該棱錐的體積最大時，以下結(jié)論正確的是（）

A.棱錐的高與底面邊長的比為返

2

B.側(cè)棱與底面所成的角為60°

C.棱錐的每一個側(cè)面都是等邊三角形

D.棱錐的內(nèi)切球的表面積為（8-4畬）兀

三.填空題（共4小題）

13.某次學科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖.則參加測試的總?cè)藬?shù)

為,分數(shù)在［80,90）之間的人數(shù)為

14.中國古代數(shù)學家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面

體為“鱉膝”，如圖所示的鱉脯A8CZ）中，A8_L面8cO,CDLBC,若CD=1,

4。=的，且頂點4，B，C,。均在球。上，則球O的表面積為.

15.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽屹，古稱“角黍二如圖，是由六個邊長為3的正

三角形構(gòu)成的平行四邊形形狀的紙片，某同學將其沿虛線折起來，制作了一個粽子形狀的六面體模型，則該六面

體的體積為;若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值

16.在平面五邊形ABCDE中，連接對角線AD,已知四邊形A8C。是邊長為2的正方形，△4DE是正三角形，將

△沿直線AD折疊，使得二面角B-AD-C為直二面角，則四棱錐E-ABCD的外接球的表面積

為.

20.用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形和正五邊形的直觀圖.

21.某校從高二年級學生中隨機抽取60名學生，將期中考試的政治成績(均為整數(shù))分成六段：［40,50),［50,

60),［60,70),…，［90,100］后得到如下頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，分別求小眾數(shù)，中位數(shù)；

(2)估計該校高二年級學生期中考試政治成績的平均數(shù)；

(3)月分層抽樣的方法在各分數(shù)段的學生中抽取一個容量為20的樣本，則在［70,90)分數(shù)段抽取的人數(shù)是多

少？

40SO60708090100成輔

22.如圖，在四棱錐P-ABCO中，AD//BC,平面APD_L平面ABC。，PA=PD,七在40上，且4B=BC=CO=

DE=EA=2.

(1)求證：平面PEC_L平面PBD；

(2)設(shè)直線PB與平面PEC所成的角為？L,求平面AP8與平面PEC所成的銳二面角的余弦值.

6

高一期末模擬卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”,

它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示若E為A尸的中點，

EG=XAB+|1AE，貝入+尸()

A.AB.旦C.2D.A

2535

【解答】解：以E為坐標原點，E尸所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖直角坐標系,

設(shè)|ER=1.由E為A尸的中點，

可得E(0,0),G(1,1),A(-1,0),B(1,-1),D(0,2),

所以成=(1,1),AB=(2,-1),AD=(L2)，

因為函:入至十|1而，所以(1,1)=入(2,-1)+n(1,2),

'2入+四=1,

解得，則X+|l=4-

-X+2=1,■5

故選：D.

2.平行四邊形ABC。中，E為A。邊上的中點，連接8E交AC于點G,若前:入蒜十四同，則入+黑=()

A.1B.苴C.—D.A

633

【解答】解：???四邊形48CO為平行四邊形，???AQ=8C,

??,￡為A。邊上的中點，：,AE=^AD,

2

*：AD/；BC,：.AAEG^ACBG,

**?AG=-^-AC=~（AB+AE）=-i-AB+-^-AD?

3333

VAG=XAB+tlAE?

1o

?二人=U=^,A+p=^.

33

故選：C.

3.一圓臺的兩底面半徑分別為2,4,高為4則該圓臺外接球的表面積為（）

A.48nB.64nC.65TTD.68n

【解答】解：作出軸截面如圖，

設(shè)圓臺外接球的球心為0,半徑為「，

則drZ-2Z+Vr2.42=4（或《產(chǎn)-：2=4+>/r2-42），

解得

4

，該圓臺外接球的表面積為4TT/=65TT.

4.如圖所示為一個平面圖形采用斜二側(cè)畫法得到的宜觀圖，其圖形是一個邊長為I的菱形，則它的平面圖形的面

A.2B.IC?華D.2A/2

【解答】解：由條件可知，菱形高為lXsin45。=返，

2

，直觀圖的面積為1義返=返，

22

???其平面圖形的面積返X2加=2.

2

故選：A.

5.攢尖頂是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形、三角、四角、六角、八角等結(jié)構(gòu)，多見于亭閣式

建筑.如圖所示，某園林的亭閣建筑為六角攢尖頂，它的屋頂輪廓可近似看作一個正六楂錐，設(shè)正六棱錐的側(cè)面

等腰三角形的頂角為2a,則該正六棱錐底面內(nèi)切圓半徑與側(cè)棱長之比為()

A.VasinaB.C.2sinaD.2cosa

【解答】解：如圖，正六邊形是正六棱錐的底面，

等腰三角形是正六棱錐的側(cè)面，

設(shè)側(cè)棱SA=S8=/h底面邊長底面內(nèi)切圓半徑OC=r,

ZASB=2a,

則△QA8是等邊三角形，r=asin600巫a，

2

在側(cè)面ASAB中，〃=2加ina,

,r=V3bsina,即^"Resina-

故選：A.

6.已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且箴=2瓦，則向量而=()

M

A.-i-AC+^ABB.IAC+4ABC.4-AC-4-SD.IAC+^AB

23622663

【解答】解：由題意結(jié)合向量的加法法則可得：

EM=EC+CM

=1AC4CB

32

=2菽+2（CA4-AB）

32

=2位△菽+工標

322

="AC+—AB.

62

故選：B.

7.在正匹棱錐P-48co中，已知用=A8=2,0為底面ABC。的中心，以點0為球心作一個半徑為2返的球,

3

則該球的球面與側(cè)面PCD的交線長度為（）

A.返兀B.逅兀C.逅兀D.逅兀

6432

【解答】解：取CD的中點￡則有0E_LC。，PEVCD,

因為朋=48=2,所以0E=l,PE=V3?

則OP=VPE2-0E2=V2,

△PCD為正三角形，球心0在平面PC。二的投影M即為△PCO的中心，

則0H=°P?°E乖,球的半徑。尸=變3,

PE33

在RtAOM/中，則截面圓的半徑M尸=近2_01=返,

3

在正二角形產(chǎn)中，以點M為圓心，作半徑為返的圓，圓與二角形截得的二個部分，圓心角都為9。°,

3

故球的球面與側(cè)面PCD的交線長度為截面圓周長的工，

4

所以該球的球面與側(cè)面尸CZ）的交線長度為工X2兀XMF=—

46

故選：A.

p

8.正三棱錐尸-ABC的底面邊長為2?,側(cè)棱長為班，若球”與正三棱錐所芍的棱都相切，則這個球的表面積

為（）

A.-11JrB.（44-16V6）71C.9兀D.327T

42

【解答】解：設(shè)底面ABC的外接圓的圓心為0,連接P。，AO,延長A0交于M

球”與棱心和8C切于點M,N,設(shè)球”的半徑為「，

則40=返義2誼=2,0"=返義2第-2=1,

32

而P0_L底面A8C,P0LA0,

可得月。="8-4=2,

在直角三角形OMN中，0"42_],1VY2b,

在直角三角形PMH中，PM=MH=r,

所以P。=/77+?！埃从?=近地,2_r

解得r=2yj~2-M，

2

則這個球的表面積為4TT，=47Tx（2V2-V3）=（44-16加）n,

二.多選題（共4小題）

9.在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間中點作為代表，則卜.列說法中正確的是（)

A.成績在［70,80）分的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競賽成績的平均分約70.5分

D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

【解答】解：4選項，由頻率分布直方圖可得，成績在［70,80）的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，所以選項A

正確，

6選項，由頻率分布直方圖可得，成績在［40,60）的頻率為0.25,囚此，不及格的人數(shù)為4000X0.25—1000,

所以選項3正確，

C選項，由頻率分布直方圖可得，平均分等于45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5（分）,

所以選項C正確，

D選項,因為成績在［40,70）的頻率為0.45,在［70,80）的頻率為0.3,

所以中位數(shù)為70+10X"?-71.67（分），所以選項。錯誤，

0.3

故選：ABC.

10.已知兩條不重合的直線a和力兩個不重合的平面a和0,則下列說法不正確的為（）

A.若a〃a,b//af貝！ja〃匕

B.若qua,"up,則a,〃為異面直線

C.若a〃b,aua,則b〃a或bua

D.若aua,bua,a〃0,〃〃樂則a〃0

【解答】解：對于4,若?！╝,/?〃a,則a〃b或。與力相交或。與〃異面，放4錯誤；

對于8,若aua,方u0,則小人的位置關(guān)系是平行、相交或異面，故B錯誤；

對于C,若a〃A,aua,貝或bua,故C正確；

對于。，若aua,bua,a〃0,b〃0,則Q〃0或a與0相交，添加條件。與b相交時，可得a〃仇故。錯誤.

故選：ABD.

11.在△45C中，NA=90°,A8=3,AC=4,點O為線段A3上靠近A端的三等分點，E為CO的中點，則下列

結(jié)論正確的是（)

標=看正總正

A.

標與標的夾角的余弦值為至

B.

17

C.AE-CD=

2

D.△4EO的面積為2

【解答】解：在△A8C中，ZA=900,A8=3,AC=4,

故以點4為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，

則4(0,0),B(3,0),C(0,4),D(1,0),E(工，2)，

2

所以標嗎，2),AB=(3,0),AC=(O,4)，EB=(p-2)，CD=(1,-4)，

對于A,因為看■建亭64(3,0)總(0,4)嗎，2)，

所以AE=-1-AB+yAC?故詵項A正確：

對于B，AE-EB=(y,2)嗚，-2)號

乙乙七

后邛，IEB|=M

9

所以AE與EB的夾角的余弦值為舊《五二反1依故選項8錯誤；

-2-><_2-

對于C,AE?CD=(y,2)?(1,-4)=^^，故選項C正確；

對于￡),△AEO的面積為上XADXE=-^X1X2=1>故選項。錯誤.

2，2

12.已知正四棱錐的側(cè)面積為砥，當該棱錐的體積最大時，以下結(jié)論正確的是()

A.棱錐的高與底面邊長的比為返

2

B.側(cè)棱與底面所成的角為60°

C.棱錐的每一個側(cè)面都是等邊三角形

D.棱錐的內(nèi)切球的表面積為(8-4畬)兀

【解答】解：設(shè)底面邊長為2a,側(cè)棱長為b,則S側(cè)面=4x/x2aX廬?2^2=而即

aVb^a2^

22222

而V=yX(2a)2XVb-a-a又a7b-a=V3,

(a)=3a2-a6(0<a<Vs)f則/")=6。-6/=6。(1-6/4)=6。U+J)(l+?)-a),

易知函數(shù)/(〃)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,如)單調(diào)遞減，

???當a=l時，f(a)取得最大值，此時棱桂的體積最大，且匕=2,

???底面邊長為2,側(cè)棱長為2,PE=V3,0P=V2,

，棱錐的高與底面邊長的比為返，選項4正確；

2

側(cè)棱與底面所成的角為NP8O,而sin/FB0=°P秀,則/尸8。=45°,選項8錯誤;

由于底面邊長與側(cè)棱長均為2,故側(cè)面為筆邊三角形，選項。正確;

設(shè)內(nèi)切球的半徑為八由于小&?電2,S^=4+4X(yX2X2X^)=4+4V3,

_3VW2_V2限近

；?S內(nèi)=4兀?(旄y=(8-幺笈)加選項。正確?

故選：ACD.

c

■?填空題（共4小題）

13.某次學科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖.則參加測試的總?cè)藬?shù)為

25,分數(shù)在［80,90）之間的人數(shù)為4

【解答】解：成績在［50,60）之間的頻數(shù)為2,結(jié)合頻率分布直方圖，得到分數(shù)在［90,100）之間的頻數(shù)也是2,

所以2=10X0.008,解得〃=25,故參加測試的總?cè)藬?shù)為25人；

n

成績在［80,90）之間的人數(shù)為25-（2+7-10+2）=4人.

故答案為：25；4.

14.中國古代數(shù)學家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉膈”，如圖所示的鱉

儒ABC。中，CDYBC,若CO=1,AC=正,且頂點A,B,C,O均在球。上，則球O的表面

積為6ir.

【解答】解：由題意可■知，球0為鱉脯ABCO的外接球,

因為AB_L平面BCQ,BD,CQu平面6CQ,

所以4B_LgABLCD,

又CDLBC,ABCBC=B,AB,BCu平面ABC,

所以CD_L平面ABC,又4Cu平面ABC,

所以CD_LAC

取AO的中點E,連結(jié)5E,DE,

因為AB_LBC,所以BE=AE=OE,

同理可得，CE=AE=DE,

故點E與球。的球心O重合，

則球O的半徑中

乙乙乙

所以球。的表面積為S主=4兀R2=6m

表

故答案為：6n.

15.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽吃，古稱“角黍”.如圖，是由六個邊長為3的正

三角形構(gòu)成的平行四邊形形狀的紙片，某同學將其沿虛線折起來，制作了一個粽子形狀的六面體模型，則該六面

體的體積為2返；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為

【解答】解：該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的校長為3,

如圖，在棱長為3的正四面體S-ABC中，

取8C的中點O,連接SO,A。，作SOJ_平面ABC,垂足。在4。上，

則AD=SD="^^，0D-AD=^y-?SO=7sD2-OD2=V6,

???該六面體的體積為V=2噎BC=2X日4X3乂華~x加駕I

當該六面體內(nèi)有一球，且該球的體積取得最大值時，球心為。，且該球與SZ）相切，過球心0作OE_L5。，則

0E就是球的半徑,

■:SOXOD=SDXOE,

/TyV3_

.SOXOD-V6

?，°E二SD二麗一營

2

???該球體積的最大值為vW^X（堂）3=^^兀.

故答案為：迤；色色兀.

227

16.在平面五邊形A8COE中，連接對角線AD,已知四邊形A3CO是邊長為2的正方形，△ADE是正三角形，將

△ADE沿直線4。折疊，使得二面角5-A0-C為直二面角，則四棱錐E-43CD的外接球的表面積為絲L.

一3一

【解答】解：如圖,

正方形ABC。的邊長為2,平面E4￡>_L平面ABC。，

△班。為正三角形，設(shè)正方形ABC。的中心為G,三角形￡4。的外心為“，

分別過G、H作平面4BCD與平面￡4。的垂線，相交于O,則。為四棱錐E-4BCO的外接球的球心.

0G=^22-12-GC=Uc=^

則四棱錐E-A8CD的外接球的表面積為471R2=4兀X0C2二笙^

3

故答案為：282L

3

四.解答題（共6小題）

17.已知廣(-2,1),b=(l,m),C=(2,n),

（1）若aj_b，且（a+b）//c，求實數(shù)m,〃的值；

（2）若〃=1,且（3-；）與石的夾角為6（T,求實數(shù)〃?的值.

【解答】解：(1)若則-2X1+1X〃?=O,解得m=2.

因為Z+E=(T,3>且(a+b)//c?

所以-1X〃=2X3,解得〃=-6,

所以m=2,n=-6.

,

⑵若〃=1,M7-a=(4,0)?*(c-a)b=4Xl+0Xm=4Ic-a1=4.

因為（3-Z）與E的夾角為60°,

(c-a)b41

所以cos60°

Ic-a|X|b|Hl+m?2

解得m=土時，

所以，，"的值為加或-灰.

18.在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為小b,c,且c2?/?H=0.

（1）求證：C=2A；

（2）若a=2,求c的取值范圍.

【解答】解：（1）證明：因為c?-/-必=0,

結(jié)合余弦定理，得?2aZ?cosC,

所以ab=B-2abcosC,即a=b-27cosC,

由正弦定理，得sinA=sin8-2sinAcosC=sin（A+C）-2sinAcosC

—sinCcosA-sinAcosC=sin(C-4),

因為AABC為銳角三角形，

所以A=C-A,BPC=2A；

(2)日⑴C=2A,

由正弦定理，得一^——,所以c=2acosA=4cosA,

sinAsinC

0<A<^

2

0<兀-3A<手，解得工三

由題意，得1<A<

64

0<2A<-^-

2

所以c=4cosAW(2V2?2^/3).

19.如圖所示，在四棱錐P-A8CO中，a=PB=PD=AB=2,四邊形A8CD為菱形，且/84。=60°.

（1）求證：8O_L平面MC；

（2）求三棱錐P-BCD的體積.

【解答】（1）證明：???四邊形48CO為菱形，???4CJ_8。,

設(shè)AC與BD交于點F,連接PR如圖所示，

?:PD=PB,：.PFLBD,

又TP尸AAC=尸，PF、ACu平面必C,

???8O_L平面PAC,

(2)解：由必=PB=PO=45=AO=2,ZBAD=60°,

得三棱錐P-A8￡＞為正四面體，過P作底面垂線，垂足為。，

則0在A尸上，得A0=2_12=2^3f...尸0=4p人2.A02=J2?_隹2）,

xpoTx^X2X2X坐

32233

20.用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形和正五邊形的直觀圖.

E

(a)(h)

【解答】解：(1)用斜二測畫法畫出水平放置的等腰梯形，如圖1所示:

分成六段：[40,50),[50,

60),［60,70),…，［90,100］后得到如下頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，分別