同濟大學(xué)線性代數(shù)y概要

2024/11/61第一章行列式2024/11/62§1

二階與三階行列式1.二階行列式二元線性方程組2024/11/63當(dāng)時，方程組有唯一解用消元法得2024/11/64記則有于是2024/11/65二階行列式，記作也稱為方程組的系數(shù)行列式。行標(biāo)列標(biāo)(1,2)元素2024/11/66對角線法則:主對角線副對角線2024/11/67例.解方程組解：2024/11/682.三階行列式類似地，討論三元線性方程組2024/11/69為三階行列式,記作稱2024/11/610對角線法則：2024/11/611例：2024/11/612§2全排列與逆序數(shù)定義1：把n個不同的元素排成的一列,稱為這n個元素的一個全排列,簡稱排列。把n個不同的元素排成一列,共有Pn個排列。P3=3×2×1=62024/11/613例如：1,2,3的全排列123，231，312，132，213，321共有3×2×1=6種，即一般地，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!P3=3×2×1=62024/11/614標(biāo)準(zhǔn)次序：標(biāo)號由小到大的排列。定義2：在n個元素的一個排列中，若某兩個元素排列的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同，就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序，一個排列中所有逆序的總和稱為這個排列的逆序數(shù)。2024/11/615一個排列的逆序數(shù)的計算方法：設(shè)p1p2…pn是1，2，…，n的一個排列，用ti表示元素

pi的逆序數(shù)，即排在pi前面并比

t=t1

+t2

+…

+tnpi大的元素有ti個，則排列的逆序數(shù)為2024/11/616例4：求排列32514的逆序數(shù)。解：2024/11/617逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例如：123t=0為偶排列，312t=2為偶排列。321t=3為奇排列，2024/11/618§3

n階行列式的定義觀察二、三階行列式，得出下面結(jié)論：每項都是處于不同行不同列的n個元素的乘積。2.n階行列式是n！項的代數(shù)和。3.每項的符號都是由該項元素下標(biāo)排列的奇偶性所確定。2024/11/619定義1：n!項的和稱為n

階行列式(n≥1)，記作2024/11/620例1：寫出四階行列式中含有因子的項。2024/11/621例2：計算四階行列式D=

acfh+

bdeg–adeh–bcfg2024/11/622重要結(jié)論：(1)上三角形行列式2024/11/623(2)下三角形行列式2024/11/624(3)

對角行列式2024/11/625(4)副對角行列式2024/11/626行列式的等價定義2024/11/627§5

行列式的性質(zhì)稱DT

為D的轉(zhuǎn)置行列式。設(shè)則D經(jīng)過“行列互換”變?yōu)镈T

2024/11/628性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。2024/11/629證明：設(shè)則由行列式定義2024/11/630性質(zhì)2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號?；Qs、t兩行：互換s、t

兩列：“運算性質(zhì)”2024/11/631推論：若行列式有兩行（列）相同，則行列式為0。2024/11/632性質(zhì)3：用非零數(shù)k

乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)k

乘此行列式?！斑\算性質(zhì)”用k

乘第i

行：用k

乘第i

列：2024/11/633推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面。2024/11/634性質(zhì)4：若行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式等于0。2024/11/635性質(zhì)5：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于如下兩個行列式的和。2024/11/636性質(zhì)6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。用數(shù)k乘第t

行加到第s

行上：用數(shù)k乘第t

列加到第s

列上：“運算性質(zhì)”2024/11/637利用行列式性質(zhì)計算：（化為三角形行列式）例1：計算2024/11/6382024/11/6392024/11/6402024/11/6412024/11/642例2：計算“行等和”行列式2024/11/6432024/11/644例10：設(shè)證明：02024/11/645證明：利用行的運算性質(zhì)r

把化成下三角形，再利用列的運算性質(zhì)c把化成下三角形，2024/11/646對D的前k行作運算r，后n列作運算c,則有2024/11/647例2024/11/648§6

行列式按行（列）展開問題：一個n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個

n－1階行列式來計算？對于三階行列式，容易驗證：2024/11/649定義1：在n

階行列式中，把元素所在的第i

行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫的余子式,記為稱為(i,j)元素的代數(shù)余子式。做(i,j)元素,同時2024/11/650例如：考慮(2,3)元素(2,3)元素的余子式(2,3)元素的代數(shù)余子式2024/11/651定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即2024/11/6522024/11/653證明：分三種情況討論，只對行來證明此定理。(1)利用上一節(jié)例10的結(jié)論有2024/11/654(2)設(shè)D

的第i

行除了把D

轉(zhuǎn)化為(1)的情形外都是0。2024/11/655先把D

的第i

行依次與第i–1行,第i–2行,···,第1行交換,經(jīng)過i–1次行交換后得2024/11/656再把第j

列依次與第j–1列,第j–2列,···,第1列交換,經(jīng)過j–1次列交換后得2024/11/657(3)一般情形,考慮第i

行2024/11/6582024/11/659例或者那么2024/11/660推論：行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即2024/11/661綜上，得公式2024/11/662例12:證明范德蒙德(

Vandermonde)行列式2024/11/663證明：用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時,2024/11/664(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成立,則2024/11/665=2024/11/666有個因子!2024/11/667例：2024/11/668例：設(shè)求2024/11/669解:2024/11/670例：2024/11/671D按第4列展開，然后各列的提出公因子=2024/11/6722024/11/673例：2024/11/674D2024/11/675例：2024/11/676D2024/11/6772024/11/678§7Cramer法則Cramer法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，2024/11/679即則線性方程組(11)有唯一解，2024/11/680其中2024/11/681證明：2024/11/682再把

n

個方程依次相加，得2024/11/683當(dāng)

D≠0時,方程組(1)也即(11)有唯一的解于是2024/11/684例1：用Cramer法則解線性方程組。2024/11/685解：2024/11/6862024/11/687定理4：定理4’：如果線性方程組(11)的系數(shù)行列式D≠0

則(11)一定有解,且解是唯一的。如果線性方程組(11)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。Cramer法則也可以敘述為定理4的逆否命題是2024/11/688線性方程組非齊次與齊次線性方程組的概念:不全為零，則稱此方程若常數(shù)項組為非齊次線性方程組；若全為零，則稱此方程組為齊次線性方程組。2024/11/689齊次線性方程組易知，是(13)的解，稱為零解。若有一組不全為零的數(shù)是(13)的解，稱為非零解。2024/11/690定理5：定理5’：如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0則齊次線性方程組沒有非零解。對于齊次線性方程組有如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為0。2024/11/691例：問

l

取何值時，齊次線性方程組有非零解？2024/11/692解：因齊次方程組有非零解，則D=0故l=