蘇教版高中數(shù)學(xué)（必修5）2.1數(shù)列

第1課時(shí)：§2.1數(shù)列(1)

【三維目標(biāo)】:

一、知識(shí)與技能

1.通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)

公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型；

2.了解數(shù)列的分類，理解數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列數(shù)列的前幾項(xiàng),

會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

3.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力，提高觀察、抽象的

能力.

二、過程與方法

1.通過對(duì)具體例子的觀察分析得出數(shù)列的概念，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納能力；

2.通過對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和

抽象概括能力.

3.通過類比函數(shù)的思想了解數(shù)列的幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.體會(huì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；借助函數(shù)的背景和研究方法來研究有關(guān)數(shù)列的問題，可

以進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)用已知去研究未知的能力。

2.在參與問題討論并獲得解決中，培養(yǎng)觀察、歸納的思維品質(zhì)，養(yǎng)成自主探索的學(xué)習(xí)習(xí)

慣；并通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)工

重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：學(xué)生以閱讀與思考的方式了解數(shù)列的概念；通過類比函數(shù)的思想了解數(shù)列的

幾種簡(jiǎn)單的表示方法；以觀察的形式發(fā)現(xiàn)數(shù)列可能的通項(xiàng)公式。

2.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式

3.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀、尺等.

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路工

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.觀察下列例子中的6列數(shù)有什么特點(diǎn)：

(1)傳說中棋盤上的麥粒數(shù)按放置的先后排成一列數(shù)：1,2,22,23,…，263

(2)某種細(xì)胞，如果每個(gè)細(xì)胞每分鐘分裂為2個(gè)，那么每過1分鐘，1個(gè)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依

次為1,2,4,8,16,…

(3)n精確到0.01,0.001,0.0001…的不足近似值排成一列數(shù)：3.14,3.141,3.1415,

3.14159,3.141592-

(4)人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出它每隔83年出現(xiàn)一次，則從出現(xiàn)那次算起,

這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為1740,1823,1906,1989,…

(5)某劇場(chǎng)有10排座位，第一排有20個(gè)座位，后一排都比前一排多2個(gè)，則各排的座位

數(shù)依次為：20,22,24,26,…，38

(6)從1984年到今年，我國(guó)體育健兒共參加了6次奧運(yùn)會(huì)，獲得的金牌數(shù)依次排成一列數(shù):

15,5,16,16,28,32

(7)"一尺之梅,日取其半，萬(wàn)世不竭"如果將"一尺之趣”視為1份，那么每日剩下的

111

部分依次為1,-1ff',...

24816

這些數(shù)字能否調(diào)換順序？順序變了之后所表達(dá)的意思變化了嗎？思考問題，并理解順序變化

后對(duì)這列數(shù)字的影響.

(組織學(xué)生觀察這六組數(shù)據(jù)后，啟發(fā)學(xué)生概括其特點(diǎn)，教師總結(jié)并給出數(shù)列確切定義)

注意：由古印度關(guān)于國(guó)際象棋的傳說、生物學(xué)中的細(xì)胞分裂問題及實(shí)際生活中的某些例

子導(dǎo)入課題，既激活了課堂氣氛，又讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，提高

學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

二、研探新知

1.數(shù)列的概念

(1)數(shù)列的定義

按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列的一般形式可以寫成q,a2,a.,...,

a,,,...,簡(jiǎn)記為｛q｝.

(2)數(shù)列的項(xiàng)

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，

第2項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，….

說明：數(shù)列的概念和記號(hào)｛q｝與集合概念和記號(hào)的區(qū)別：

①數(shù)列中的項(xiàng)是有序的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們

就是不同的數(shù)列；而集合中的項(xiàng)是無(wú)序的；

②定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)；而

集合中的元素不能重復(fù)

(3)數(shù)列的一般形式：6,由，%，…，。"，…，或簡(jiǎn)記為｛七｝，其中?！笆菙?shù)列的第n項(xiàng)

(4)數(shù)列的分類：

1)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6。是有窮數(shù)列

無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…是無(wú)窮數(shù)列

2)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。

常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。

擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

(5)數(shù)列是特殊的函數(shù)

從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來看，數(shù)列也可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限

子集｛1,2,3,…，n｝)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，數(shù)列的

通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.反過來，對(duì)于函數(shù)y=.f(x),如果/(i)(；=1,2,3,...)

有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列/(I),/(2),/(3)/(“)...(強(qiáng)調(diào)有序性)

對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對(duì)應(yīng)圖象，看來，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公

伊

式畫出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列的圖象，并總z律特點(diǎn).

1J..

說明：數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)9

8

(6)通項(xiàng)公式7

61

5

一般地，如果數(shù)列｛4｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)〃之間的4

34"

關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示.那么這個(gè)公式叫做這個(gè)2

11'

數(shù)列的通項(xiàng)公式.7?12345678-o12345678

注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，

如上述數(shù)列④；圖1圖2

⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列:1,0,1,0,1,0,…它的通項(xiàng)公式

可以是％二空巴’也可以是等汽

⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第％項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的

一般表示.通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列

便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng).

2.數(shù)列的表示方法

(1)通項(xiàng)公式法

如果數(shù)列｛?,,｝的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

如數(shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式為=〃+1(“GN*)；

LU…的通項(xiàng)公式為4=T(nwN*)；

…的通項(xiàng)公式為a”=—(neN*)；

234nn

(2)圖象法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)”為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)

a“為縱坐標(biāo)，即以(",a“)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)列

1,工,工,‘,…為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐

234

標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以

直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).

(3)列表法

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1(教材乙0例1)已知數(shù)列的第〃項(xiàng)?！盀?〃一1,寫出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、第2項(xiàng)和

第3項(xiàng).

解：首項(xiàng)為q=2x1—1=1；第2項(xiàng)為4=2x2—1=3；第3項(xiàng)為q=2x3—1=5.

例2（教材屬0例2）已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的

圖象：

2

⑴a.—;(2)G%―2"

〃+1

解：用列表法分別給出這兩個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).

n12345

n12345

〃+123456

(-1)21111_____________1

T2481632

例3（教材舄1例3）寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

(1)1,3,7,15,31；(2)-1,1,-1,1--1

11114916

(3)(4)-一,,??

1x22x33x44x53579

(5)0,2,0,2.

(-1)"+，

解：(1)勺=2"—1.(2)%=(—1)".(3)凡.(4)a.

〃(幾+1)

4=1+(-1)〃.

說明：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式

(1)關(guān)鍵是尋找an與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系an=/（〃）；

(2)符號(hào)用（-1）"或（-1）向來調(diào)節(jié);

(3)分式的分子，分母可以分別找通項(xiàng)，但要充分借助分子與分母的關(guān)系；

(4)并不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，即使有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必是唯一的;

a+b

（5）對(duì)于形如a,b,a,b,...,的數(shù)列，其通項(xiàng)公式均可寫成q+”一

2

四、鞏固深化，反饋矯正

1.寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式:

11

.,；(2)9,99,999,9999.....(3)0.7.0.77,

1524

0.777,0.7777,...

(-1)"71

答案：（1）。“(2)a“=10”-1(3)a,=-(1-----)

〃("+2)""910"

2.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前〃項(xiàng)分別是下列各數(shù):

?_|_/|y,+1

(1)1,0,1,()???；a=---------------,HeN"

n2

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1.數(shù)列及其有關(guān)概念，了解用列表、圖象、通項(xiàng)公式、遞推公式等方法表示數(shù)列；

2.認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型；了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。

3.觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式（會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)求一些

簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式）

4.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想：歸納的思想、函數(shù)的思想、歸納猜想的思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法

等。

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記:

第2課時(shí)：§2.1數(shù)列（2）

【三維目標(biāo)】；

一、知識(shí)與技能

1.要求學(xué)生進(jìn)一步熟悉數(shù)列及其通項(xiàng)公式的概念；了解數(shù)列的遞推公式的意義，明確

遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；了解數(shù)列的遞推公式是確定數(shù)列的一種方法；

2.會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；

3.理解數(shù)列的前〃項(xiàng)和與明的關(guān)系；掌握根據(jù)數(shù)列的前”項(xiàng)和確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4.提高學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

二、過程與方法

經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過程。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式的理解與應(yīng)用；

難點(diǎn)：理解遞推公式；理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.復(fù)習(xí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故其表示方法有列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法.

q=2

2.提問：已知數(shù)列｛q｝滿足<1,,小，能寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)嗎？

4=——+1(〃22)

思考：已知在數(shù)列｛q｝中。,用=?！?2,那么這個(gè)數(shù)列中的任意一項(xiàng)是否都可以寫出來?

二、研探新知

1.遞推公式

(1)遞推公式的概念:

知識(shí)都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活.用其來解決一些實(shí)際問題.觀察鋼管堆放示

意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型.

模型一：自上而下：

第1層鋼管數(shù)為4；即：1C4=1+3

第2層鋼管數(shù)為5；即：2―5=2+3?????

第3層鋼管數(shù)為6；即：3c6=3+3

第4層鋼管數(shù)為7；即：437=4+3

第5層鋼管數(shù)為8；即：5c8=5+3

第6層鋼管數(shù)為9；即：609=6+3

第7層鋼管數(shù)為10；即：7cl0=7+3

若用明表示鋼管數(shù)，〃表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且="+3(1

WnW7)運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)

很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便。

讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律)

模型二：上下層之間的關(guān)系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多l(xiāng)o

即a〕=4；a2=5=4+1=61]+1；a3=6=5+1=?2+1

依此類推：an-an_x+1(2WnW7)

對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來，這一關(guān)系也較為重要。

定義：如果已知數(shù)列上｝的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，以及任一項(xiàng)％與前面一項(xiàng)勺(或前

幾項(xiàng))之間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式叫做｛4｝的遞推公式.

說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89,遞推公式為：

6=3，w=5,??=。―2◎<〃48)

(2)數(shù)列的前〃項(xiàng)的和

數(shù)列｛a“｝中，q+。2+。3+…+?！狈Q為數(shù)列｛/｝的前n項(xiàng)和，記為S”.

S]表示前1項(xiàng)之和:S1=%

S2表示前2項(xiàng)之和：S2=a｛+a2

S,i表示前n-1項(xiàng)之和：S._]=%+/+/+…+a.,-\

S“表示前n項(xiàng)之和：Sn=ai+a2+a3-\—+a?-

.?.當(dāng)n2l時(shí)S“才有意義；當(dāng)n-l'l即n22時(shí)S,i才有意義.

(3)S,與““之間的關(guān)系:

由S”的定義可知，當(dāng)n=l時(shí)，=%；當(dāng)n22時(shí)，an=S?-Sn_t,即

￡(〃=D

注意驗(yàn)證〃=1的情況.

S?-S?_1(n>2)

證明：顯然“=1時(shí)，tz,=S,當(dāng)〃。1即〃22時(shí)Sn=tz,+a2H---1-an,

S“_]=a,+?2+???+a“_|

=S“-S,T(?>2)

S"-S“_]=a

n3(〃=D

注意：(1)此法可作為常用公式；(2)當(dāng)q(=S1)時(shí)滿足S“—S“_i時(shí),則

an=S=-S?_,

(4)數(shù)列的單調(diào)性：

設(shè)。是由連續(xù)的正整數(shù)構(gòu)成的集合，若對(duì)于。中的每一個(gè)〃都有?！?]>%(或

a“+]<a〃)，則數(shù)列｛4｝在。內(nèi)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減).

(5)兩個(gè)重要的變換：

①a“=I+(%-a1)+(4+3“-?！盻])；②a”—q————?…—-^―.

a\a2an-\

注意：1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式與求數(shù)列的前〃項(xiàng)和是數(shù)列的兩個(gè)最基本問題，解決問題

時(shí)必須特別仔細(xì)地計(jì)算項(xiàng)數(shù)，弄錯(cuò)一項(xiàng)將全題盡毀.

2.數(shù)列的單調(diào)性是探索數(shù)列的特點(diǎn)，特別是求數(shù)列的最大、小項(xiàng)的重要方法，若想用

高等方法討論數(shù)列的單調(diào)性，不能直接對(duì)%=/(〃)求導(dǎo)，應(yīng)先對(duì)函數(shù)y=/(x)求導(dǎo)，然

后再分析了(n)的單調(diào)性.

3.冊(cè)與S”的關(guān)系式是解決數(shù)列的問題中使用率非常高的公式，任何時(shí)候使用這個(gè)公

式都必須從“〃》2”開始討論，千萬(wàn)不要錯(cuò)了一項(xiàng).

4.上面提到了兩個(gè)重要變換是解決數(shù)列問題中經(jīng)常使用的兩個(gè)變換.

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

[4=1

例1設(shè)數(shù)列｛&J滿足|,1,八寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。

(a“=l+——(/?>1).

解：分析：題中已給出｛4｝的第1項(xiàng)即%=1,遞推公式:

112158

解：據(jù)題意可知：％=1,2=14=2,%=1----=—，4=1-----=—=一

%a2323'5

變題：已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)4=2,%=—!--l(n>l),求出這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng).(學(xué)生

口答)

例2已知數(shù)列｛a“｝中，卬=I,?=2,。“=3?！盻1+23),試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)

解：由已知得q=1,%=2,%=3a2+6=7,%=3%+%=23

變題：若數(shù)列｛4｝中，4=1,生=4,且各項(xiàng)滿足4+2+2%，則26是該數(shù)

列的第幾項(xiàng)？

例3已知q=2,an+i-2an寫出前5項(xiàng)，并猜想an.

法一：卬=2/=2x2=22%=2x2?=23,觀察可得=2"

法二：由七+1=2a“an=2。“_]即烏-=2

an=q?2"T=2"

變題：若數(shù)列｛%｝中，％=2,且各項(xiàng)滿足%+1=2%-1,寫出該數(shù)列的前四項(xiàng).

例4已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為①S,,=2/一〃；②S“=〃2+〃+1。求數(shù)列｛4｝的

通項(xiàng)公式。

解①當(dāng)〃=1時(shí)4=S]=1當(dāng)n>2時(shí)

22

an=2n—n—2(〃一I)+(〃—1)=4〃—3,經(jīng)檢驗(yàn)〃=1時(shí)-1也適合

an=4〃-3

②當(dāng)〃=1時(shí)q=S[=3n>2

22

an=n+TH-1-(n-1)-(n-1)-1=In

3(H=1)

/.a—<

"\2n(〃>2)

思考題：已知數(shù)列｛%｝為3,7,11,15,試寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)遞推公式，再根據(jù)遞推

公式寫出它的通項(xiàng)公式.

例5已知數(shù)列(??｝的前〃項(xiàng)和S?=2n+,-2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)a=4+4,用，求數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式.

解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，4=&=22-2=2；

n+,nfl+1nH

當(dāng)時(shí)，an=S?-Sn_,=2-2-(2-2)=2-2=2；所以%=2”.

n+ln+1

(2)因?yàn)?=%+an+l,且勺=2",an+l=2,所以々=2"+2=3?2"

說明：由數(shù)歹U｛??｝的前〃項(xiàng)和S“求a”時(shí)，要注意分〃=1和〃22討論，然后將〃=1代

入所得的通項(xiàng)公式，看結(jié)果是否符合〃=1的情況，不是則需要寫成分段形式.

四、鞏固深化，反饋矯正

L根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式：

(1)/=0,%+]=%+(2n—1)(neN)；(2)a,=3,an+i=3a?—2(neN).

2a

(3)at=1,an+｝=---、(nGN)；

a?+2

2.已知數(shù)列｛可｝滿足q=1,%+|=￡](〃eN*),寫出它的前5項(xiàng)，歸納其通項(xiàng)公式,

并驗(yàn)證是否滿足遞推公式.

3.數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S“滿足1g⑸+1)=〃+1,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4.解答下述問題：(I)數(shù)列｛a“｝中嗎=—,。用-%=——,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

24n-1

（II）在［1000,2000］內(nèi)，被4除余數(shù)1且被5除余數(shù)為2的整數(shù)有多少個(gè)？說明理由.

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1.遞推公式及其用法；遞推公式（簡(jiǎn)單階差、階商法）

2.通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或〃項(xiàng)）之間

的關(guān)系.

3.S”的定義及與%之間的關(guān)系，由數(shù)列的前"項(xiàng)的和S,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程.

六、承上啟下，留下懸念

4=0,2+1=匕2,寫出該數(shù)列的前四項(xiàng)，并歸納其通項(xiàng)公式，并

1,數(shù)列｛為｝中,

3—

驗(yàn)證是否滿足遞推公式.

2.數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S”=2〃2+〃+1（〃GN*）,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3.根據(jù)數(shù)列%=1,/=*_1+」一"22）的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)

an-\

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

1.重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的概念及表示法的過程的評(píng)價(jià)關(guān)注學(xué)生在數(shù)列概念與表示法的學(xué)習(xí)

中，對(duì)所呈現(xiàn)的問題情境是否充滿興趣；在學(xué)習(xí)過程中，能否發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的項(xiàng)的規(guī)律特點(diǎn)，

寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，或遞推公式。

2.正確評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能能否類比函數(shù)的性質(zhì)，正確理解數(shù)列的概念，正

確使用通項(xiàng)公式、列表、圖象等方法表示數(shù)列，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。了解遞推公式

也是數(shù)列的一種表示方法。

2.1數(shù)列教學(xué)過程（二）

四、教學(xué)過程：

【基礎(chǔ)知識(shí)詳解】

i.舉例引入

新課之前，先請(qǐng)大家一起來回答一個(gè)問題：世界四大文明古國(guó)分別是哪四個(gè)國(guó)家?

國(guó)際象棋這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)起源四大古國(guó)中的哪一個(gè)呢？

國(guó)際象棋這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)就起源于古印度.關(guān)于它的起源有這樣一個(gè)傳說：古印度國(guó)王要獎(jiǎng)賞

國(guó)際象棋的發(fā)明者，問他想要什么？發(fā)明者說：“我的棋盤上有8行8歹U，共64個(gè)格子，黑

白相間，請(qǐng)?jiān)谄灞P的第一格里放一粒麥子，第二格放2粒，第三格放4粒，第四格放8粒，

依次類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的2倍，直到第64個(gè)格子，我就要棋

盤上的這點(diǎn)麥子就夠了

國(guó)王能否滿足發(fā)明者的要求我們暫且不談，同學(xué)們能否將棋盤中各個(gè)格子里的麥粒數(shù)分

別寫出來呢？

1,2,22,2\…，263①

正整數(shù)1,2,3,4,…的倒數(shù)排成一列數(shù)：

1?，1，-1，1，??1,，，***(2)

234n

-1的1次幕，2次幕，3次累，4次塞，…排成一列數(shù)：

-b1,-1,1,-③

從1984年到2004年,我國(guó)體育健兒共參加了6屆奧運(yùn)會(huì),獲得的金牌數(shù)排成的一列數(shù):

15,5,16,16,28,32④

2.數(shù)列

按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或者首項(xiàng)),

第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，…，第〃項(xiàng)，….數(shù)列的項(xiàng)通常用字母加右下角標(biāo)表示，其中右下角標(biāo)

表示項(xiàng)的位置序號(hào).

數(shù)列的一般形式可以寫成

%,。2，。3，，…

上面的數(shù)列可簡(jiǎn)記為{%}.其中，表示這個(gè)數(shù)列的第〃項(xiàng)，〃表示這一項(xiàng)在數(shù)列中的位

置序號(hào)，是數(shù)列的簡(jiǎn)記符號(hào).

例如，把數(shù)歹U1--簡(jiǎn)記作{1}.

23nn

分析數(shù)列①，說明在數(shù)列的項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間存在著函數(shù)關(guān)系

請(qǐng)學(xué)生觀察上面的4個(gè)數(shù)列，能不能將每個(gè)數(shù)列的第〃項(xiàng)a“與項(xiàng)的序號(hào)〃之間的函數(shù)

關(guān)系用公式來表示呢？

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛凡｝的第〃項(xiàng)與〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

%=/(〃)

其中，序號(hào)〃是自變量，項(xiàng)a“是函數(shù)值，是項(xiàng)的序號(hào)”在法則作用下而得到的，但值得

注意的是定義域的問題.

我們還是來看數(shù)列①，其通項(xiàng)公式為=2"T,它的定義域是什么呢？

數(shù)列①的通項(xiàng)公式是4=2'T(n<64)；數(shù)列②的通項(xiàng)公式是a“=L；數(shù)列③的通

n

項(xiàng)公式是4=(-!)".

于是，數(shù)列是定義在正整數(shù)集N+(或它的有限子集｛1,2,3,?…，九｝)的函數(shù)，其

值域就是項(xiàng)的集合.

雖然數(shù)列④的通項(xiàng)公式的確存在，只是用解析式不容易表示，但我們能否用函數(shù)的其他

表示方法來表示呢？

函數(shù)還有什么表示方法呢？

4.數(shù)列的圖象

數(shù)列既然是函數(shù)，可以用圖象直觀地的表示出來，其圖象是無(wú)限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn).

5.數(shù)列的分類

根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列；項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫

無(wú)窮數(shù)列.上面的數(shù)列①②是有窮數(shù)列，數(shù)列③④是無(wú)窮數(shù)列.

在寫數(shù)列時(shí)，對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)(有窮數(shù)列的最后一項(xiàng)叫末項(xiàng))寫出，例如數(shù)列

1,3,5,7,---,2?一1表示有窮數(shù)列；如果把數(shù)列寫成1,3,5,7,9,-?或

1,3,5,7,--,2?-1,-,它就表示無(wú)窮數(shù)列(無(wú)窮數(shù)列沒有末項(xiàng)).

【典型例題解析】

例1.根據(jù)下面數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng)：

⑴%=/一;⑵4=(—1)"〃.

n+\

分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第八項(xiàng)%與它的位置序號(hào)之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替

公式中的〃，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).

解：⑴在通項(xiàng)公式中依次取九=1,2,3,4,5,得到數(shù)列｛凡｝的前5項(xiàng)依次為

12345

-9"""~7'—>“■

23456

⑵在通項(xiàng)公式中依次取n=1,2,3,4,5，得到數(shù)列｛七｝的前5項(xiàng)依次為

—1,2,—3,4,—5.

例2.根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)3,6,9,12,???；(2)1,3,5,7,???

,、381524

⑶4,9,16,25,…；(4)一一一；一