河南駐馬店市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月月考試題數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二、三冊(cè)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（）A．48 B．36 C．24 D．82．在等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C．1 D．43．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．4．已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，并計(jì)算出變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)為，，，則經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限5．已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則|的最小值為（）A． B． C． D．6．已知，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則“有極值”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為5，則△PAB的面積為（）A．75 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在的展開(kāi)式中，各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則（）A．常數(shù)項(xiàng)為 B．C．項(xiàng)的系數(shù)為40 D．項(xiàng)的系數(shù)為16010．若數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則稱為“凸數(shù)列”．下列結(jié)論正確的是（）A．若分，則數(shù)列為“凸數(shù)列”B．若，則數(shù)列為“凸數(shù)列”C．若單調(diào)遞減數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列為“凸數(shù)列”D．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為“凸數(shù)列”，則為單調(diào)遞減數(shù)列11．已知，，，且a，b，c成等差數(shù)列，隨機(jī)變量X的分布列為X123Pabc下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機(jī)變量，且，則______．13．用4種不同顏色的顏料給圖中五個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有______種．14．已知函數(shù)在R上連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x滿足，當(dāng)時(shí)，．若，則a的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．（15分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD為銳角，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，，且四棱錐PABCD的體積為2．（1）證明：AD⊥PB．（2）若E是PC的中點(diǎn)，求平面ABE與平面PAD夾角的余弦值．17．（15分）某考試分為筆試和面試兩個(gè)部分，每個(gè)部分的成績(jī)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，其中A等級(jí)得3分、B等級(jí)得2分、C等級(jí)得1分甲在筆試中獲得A等級(jí)、B等級(jí)、C等級(jí)的概率分別為，，，在面試中獲得A等級(jí)、B等級(jí)、C等級(jí)的概率分別為，，，甲筆試的結(jié)果和面試的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級(jí)的概率；（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望．18．（17分）已知雙曲線的離心率為，半焦距為，A為C的左頂點(diǎn)，直線．（1）求C的方程．（2）若l過(guò)定點(diǎn)，且交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．（3）若l與C有唯一的公共點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線分別與x軸y軸相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．20232024學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案1．A．2．B設(shè)的公比為q，則，所以．由，得，所以．3．C因?yàn)?，所以，則，，故函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．4．B由相關(guān)系數(shù)為，知x，y負(fù)相關(guān)，所以．又，，即點(diǎn)在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，且在第三象限，所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．5．A將l的方程轉(zhuǎn)化為，令解得，即l過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)OM⊥l時(shí)，取得最小值．6．B因?yàn)?，，所以，故?．C，若有極值，則，解得，所以“有極值”是“”的充要條件．8．D當(dāng)F，Q，P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且，所以，解得，所以．由，得．設(shè)，，則曲線在處的切線方程為，即．因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以．同理可得，所以直線AB的方程為，即．聯(lián)立方程組得，則．因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F，所以，點(diǎn)P到直線的距離，所以．9．BD因?yàn)檎归_(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，所以，解得，常數(shù)項(xiàng)為，項(xiàng)的系數(shù)為．10．BC若，則，故A錯(cuò)誤．若，則，故B正確．若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，所以，即，故C正確．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為“凸數(shù)列”，則，即，所以，則從第二項(xiàng)起，為單調(diào)遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤．11．BCD由得A錯(cuò)誤，B正確．由，得，則，C正確．，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，D正確．12．0.5因?yàn)?，所以，則．13．721，2，3三個(gè)區(qū)域有種涂法，當(dāng)1和5區(qū)域同色時(shí)，有種涂法，當(dāng)1和5區(qū)域不同色時(shí)，有種涂法．綜上，共有72種涂法．14．由，可得．令，則，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，所以，又在R上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增．由，可得，即，所以，解得．15．解：（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以．?）由（1）可得，則．16．（1）證明：取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OP，BD．因?yàn)椤鱌AD是正三角形，所以．又平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．因?yàn)?，所以，，解得，又∠BAD為銳角，所以，則△ABD為正三角形，從而OB⊥AD．因?yàn)?，所以AD⊥平面PBO．又平面PBO，所以AD⊥PB．（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．設(shè)平面ABE的法向量為，由得令，得．由圖可知，平面PAD的一個(gè)法向量為．故平面ABE與平面PAD夾角的余弦值為．17．解：（1）甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級(jí)的概率為．（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，5，6，，，，，，則X的分布列為X23456P所以．18．（1）解：因?yàn)榘虢咕酁?，所以．因?yàn)殡x心率為，所以．由，得，則C的方程為．（2）證明：因?yàn)閘過(guò)定點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程組消去x得，由，，得，且．設(shè)，，則，，直線AE的斜率，直線AF的斜率，所以，即直線AE與AF的斜率之積為定值．（3）解：因?yàn)榕cC有唯一的公共點(diǎn)M，所以l與C相切．當(dāng)時(shí)，過(guò)M且與l垂直的直線與x軸重合，不符合題意，所以．聯(lián)立方程組消去x得．由，得，且．記切點(diǎn)，則，，代入l得，即．過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線方程為．令，得，令，得，所以因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，代入，化?jiǎn)得．因?yàn)?，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為．19．（1）解：因?yàn)?，所以．若，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．若，令，解得．若，即，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若，即，則在上恒成立；若，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，