湖南省懷化市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

懷化市中小學(xué)課程改革教育質(zhì)量檢測(cè)試卷2024年上期期考試題高一數(shù)學(xué)考試時(shí)長(zhǎng)：150分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，，可求.【詳解】解得，解得，所以，所以.故選：B.2.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑為1和4，母線為5，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓臺(tái)的高，然后利用圓臺(tái)體積公式即可得解.【詳解】令圓臺(tái)的高為h，由圖可知，所以，故選：C.3.已知m，n是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】借助面面平行與線面垂直的性質(zhì)可得A；借助線面平行的性質(zhì)可得B；借助線面垂直的性質(zhì)與線面平行的判斷及面面平行的性質(zhì)定理可得C；由線面平行的性質(zhì)定理可得D.【詳解】對(duì)A：由，得，又，所以，故A正確；對(duì)B：若，，，則，故B正確；對(duì)C：由，得，又，所以，故C正確；對(duì)D：若，，則或，故D錯(cuò)誤.故選：D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合中間值比較可得．【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D．5.下列判斷正確的是（）A.“實(shí)部等于零”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的充要條件B.“”是“向量，的夾角是鈍角”的充要條件C.“存在唯一的實(shí)數(shù)k，使”是“”的充要條件D.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，“”是“”的充要條件【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)數(shù)量積的符號(hào)與夾角之間的關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)正弦定理合充分、必要條件分析判斷.【詳解】對(duì)于A：實(shí)部等于零時(shí)，復(fù)數(shù)z不一定是純虛數(shù)（還要虛部不等于零），所以充分性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若時(shí)，可知向量，的夾角可能是鈍角或平角，所以充分性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：例如時(shí)，由不能得出存在唯一的實(shí)數(shù)k，使，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由正弦定理可得，所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：D.6.在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)P在CD邊上，，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可得點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，再利用余弦定理求出，結(jié)合勾股定理逆定理可得，從而可求得答案.【詳解】由，得在上的投影向量的模，因?yàn)?，，所以在上的投影為，所以如圖1，得，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以，故選：A.7.連續(xù)投擲一枚質(zhì)地均勻骰子兩次，這枚骰子兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的情況，結(jié)合樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)，得到概率.詳解】易知樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)，記“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”為事件A，則，所以，所以.故選：B.8.已知函數(shù)對(duì)任意的都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.是奇函數(shù)C.是周期為4的周期奇函數(shù) D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件可判斷函數(shù)的奇偶性，周期性以及單調(diào)性，由此一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，知的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤.在中，令得，又，所以，所以，知是周期為6的周期函數(shù)，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，所以，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于D，，，由在上單調(diào)遞減，得即，D正確，故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（）A. B.C.是圖象的一條對(duì)稱軸 D.點(diǎn)是圖象一個(gè)對(duì)稱中心【答案】BD【解析】【分析】由圖象可知，求出，進(jìn)而求出即可判斷A.再將最高點(diǎn)代入可求出判斷B．根據(jù)對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)最高或者最低點(diǎn)，對(duì)稱中心在中間判斷C和D．【詳解】對(duì)于A，由圖象知，得，所以，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由得，由圖知，即，由得，所以B正確.對(duì)于C和D，由前述推導(dǎo)知，所以，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)事件的運(yùn)算關(guān)系以及對(duì)立事件的概率，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由，，即，知，所以C錯(cuò)誤.又，所以A正確.同理可得，B正確.又，所以D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)M，使B.當(dāng)M位于頂點(diǎn)D時(shí)，直線MP與所成角的余弦值為C.三棱錐體積的最大值為D.若，線段PM運(yùn)動(dòng)所形成的曲面的面積為【答案】AB【解析】【分析】當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)可判斷A，由余弦定理求角余弦可判斷B，當(dāng)M位于頂點(diǎn)D時(shí)可求出棱錐的體積判斷C，由軌跡為半圓錐側(cè)面，求出面積判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，顯然，M為的中點(diǎn)時(shí)，，A正確.對(duì)于B，如圖，延長(zhǎng)到使，連和，則或其補(bǔ)角等于直線MP與所成角，易得，，，所以，所以B正確.對(duì)于C，如圖，顯然面積為定值，要三棱錐的體積最大，只要高最大，即當(dāng)M位于頂點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，如圖所示，易知M軌跡是以為直徑，位于側(cè)面內(nèi)的一段半圓弧.線段PM運(yùn)動(dòng)所形成的曲面是一個(gè)半圓錐側(cè)面，其面積為，所以D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應(yīng)橫線上.12.已知復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則________.【答案】【解析】【分析】先由求出復(fù)數(shù)z，然后可求出復(fù)數(shù)z的?！驹斀狻恳?yàn)?，所以?故答案為：13.已知，，則________.【答案】【解析】【分析】?jī)蛇吰椒郊纯傻玫?，代入得到即?【詳解】由已知，所以，所以.故答案為：.14.統(tǒng)計(jì)學(xué)中，協(xié)方差用來(lái)描述兩個(gè)變量之間的總體的誤差.設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均值為，另一組數(shù)據(jù)的平均值為，則協(xié)方差.某次考試結(jié)束后，抽取了高一年級(jí)10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)x、物理成績(jī)y如下表：序號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)135124118107958774635344物理成績(jī)97788283776567524445已知，則________.【答案】474【解析】【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，算出，再對(duì)協(xié)方差公式進(jìn)行展開(kāi)化簡(jiǎn)，再代入求值即得.【詳解】由已知得，，則.故答案為：474.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，.（1）若，求x；（2）若，且），求.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）用向量平行的坐標(biāo)結(jié)論可解；（2）用向量和坐標(biāo)運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)結(jié)論可解．【小問(wèn)1詳解】由得，所以.【小問(wèn)2詳解】由得，，所以，，由得，即，即所以.16.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，，利用余弦定理可求得；（2）由（1）可求得，進(jìn)而利用正弦定理可求得，進(jìn)而求得，利用兩角差的正弦公式可求值.【小問(wèn)1詳解】由已知，設(shè)，，，，由余弦定理.【小問(wèn)2詳解】由，，得，由正弦定理，得.又由已知是最小邊，所以是銳角，得，所以.17.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài).某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具和飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示.為更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺(tái)用分層抽樣方式抽取了80個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢調(diào)查.（1）應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？（2）工作人員對(duì)直播商家的每日平均利潤(rùn)狀況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作了如圖2所示的頻率分布直方圖.估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)，求平均值時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值代替）；（3）甲、乙、丙三人進(jìn)入該直播平臺(tái)后，下單購(gòu)物的概率分別為，，，且各自是否下單購(gòu)物相互獨(dú)立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下單購(gòu)物的概率.【答案】（1）28，8（2）中位數(shù)為433元，平均數(shù)為440元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；（3）記“甲、乙、丙三人下單購(gòu)物”分別為事件A，B，C，，，，“三人中有且只有1人下單購(gòu)物”為事件D，，利用互互斥事件概率加法公式與獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，小吃類商家占35%，，玩具類商家占10%，，所以小吃類、玩具類商家應(yīng)分別抽取28家、8家.【小問(wèn)2詳解】由已知，所以，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)榍皟山M的頻率之和為0.3，前三組的頻率之和為0.6，所以，且，解得，.所以，估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為433元，平均數(shù)為440元.【小問(wèn)3詳解】記“甲、乙、丙三人下單購(gòu)物”分別為事件A，B，C，“三人中有且只有1人下單購(gòu)物”為事件D，由已知，，，則.18.如圖1，在矩形ABCD中，，，M是邊BC上的一點(diǎn)，將沿著AM折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置.（1）如圖2，若M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段PD的中點(diǎn)，求證：平面PAM；（2）如圖3，若點(diǎn)P在平面AMCD內(nèi)射影H落在線段AD上.①求證：平面PAD；②求點(diǎn)M的位置，使三棱錐的外接球的體積最大，并求出最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析；②M位于點(diǎn)C，【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定即可得證；（2）①根據(jù)線面垂直判定可證；②先分析得O是三棱錐外接球的球心，再求得直徑，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，進(jìn)而利用球的體積公式求出球的體積的最大值即可【小問(wèn)1詳解】如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接ME和EN，則EN是的中位線，所以且，又且，所以且，所以四邊形ENCM是平行四邊形，所以，又平面PAM，平面PAM，所以平面PAM.【小問(wèn)2詳解】①由平面AMCD，平面PFH，得，又已知，且AD，PH是平面PAD內(nèi)兩條相交直線，所以平面PAD.②，由①知平面PAD，又平面PAD，所以，所以是，由平面AMCD，平面AMCD，所以，是.如圖，取PC的中點(diǎn)O，則點(diǎn)O到三棱錐各頂點(diǎn)的距離都相等，所以O(shè)是三棱錐外接球的球心.如圖，過(guò)點(diǎn)P作于F，連HF和BF，因?yàn)槠矫鍭MCD，平面AMCD，所以，又PF，PH是平面PHF內(nèi)兩條相交直線，所以平面PFH，又平面PFH，所以，由和翻折關(guān)系知，所以B，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，且，設(shè)，則，，又，所以，，，由，得，所以，，所以，，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最大值，此時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)的C位置，所以，，.所以點(diǎn)M位于點(diǎn)的C時(shí)，三棱錐外接球的體積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.19.射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從一點(diǎn)向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)中心投影之后的投影點(diǎn)分別為.對(duì)于四個(gè)有序點(diǎn)，定義比值叫做這四個(gè)有序點(diǎn)的交比，記作.（1）若點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，求；（2）證明：；（3）已知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，求.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，可求得，，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，將邊長(zhǎng)之比轉(zhuǎn)化成面積之比，再結(jié)合題設(shè)定義，即可證明結(jié)果；（3）方法一：根據(jù)條件得到，再利用幾何關(guān)系得到，設(shè)，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：設(shè)，根據(jù)條件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由已知，，所以.【小問(wèn)2詳解】在，，，中，，同理，所以，又在，，，中，，同理，所以，又，，，，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】方法一：由，可得，即，所以，又點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，即，所以，又，所以，，，又已知，所以.設(shè)，，由，得，即，解得，…①在中，由正弦定理可得，得，…②在中