山西省呂梁市高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)

姓名__________準(zhǔn)考證號(hào)__________.秘密★啟用前呂梁市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.3.設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)是的（）A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（）A.B.C.D.5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的可能值為（）6.設(shè)，當(dāng)變化時(shí)的最小值為（）A.B.C.D.7.在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（）8.設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（）A.1B.0C.1D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.中最小項(xiàng)為10.已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.是公差為1的等差數(shù)列11.已知正方體的棱長(zhǎng)為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為B.平面平面C.若，則的最小值為D.若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________.（用數(shù)字作答）13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，已知，則__________.14.對(duì)任意閉區(qū)間I，用表示函數(shù)在I上的最大值，若正實(shí)數(shù)a滿足，則a的值為_(kāi)_______.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題13分）國(guó)家高度重視食品、藥品的安全工作，某市質(zhì)監(jiān)部門(mén)根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對(duì)本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核，通過(guò)隨機(jī)抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)（單位：分），并制成如下頻率分布直方圖.（1）求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）及中位數(shù)a（精確到0.01）；（2）該市質(zhì)監(jiān)部門(mén)打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會(huì)，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取5家考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績(jī)?cè)诘钠髽I(yè)數(shù)為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中μ近似為50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有多少家？（結(jié)果保留整數(shù)）.附參考數(shù)據(jù)與公式：，則，16.（本小題15分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）若對(duì)任意的，倠恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（本小?15分）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面四的內(nèi)接正三角形，且的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且，.（1）求證：，并求三棱錐的體積；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.18.（本小題17分）如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.19.（本小題17分）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)任意且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列”，且，求所有可能的取值；②若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.數(shù)學(xué)參考答案1.D【詳解】因?yàn)椋瑒t則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在第四象限.故選：D.2.B【詳解】在中，取為基底，則，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.3.C【詳解】的定義域?yàn)?，且，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增.進(jìn)而可得在上單調(diào)遞增，，故對(duì)任意實(shí)數(shù)是的充要條件，故選：C4.C5.B【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足所以，則，即.令，則.所以函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).令，解得：；令，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.作出函數(shù)的圖象：又因?yàn)?，所?故選：B6.C【詳解】在上，在上，設(shè)到準(zhǔn)線做墼線交準(zhǔn)線于點(diǎn)軸于.，又為焦點(diǎn)到上點(diǎn)的最小值，故，故選C.7.A【詳解】由題可知，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，所以，即，由橢圓定義可知，即，所以到中點(diǎn)距離的最大值為，所以中，時(shí)的最大值為38.B【詳解】函數(shù)，依題意，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立，因此對(duì)恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.BD【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故錯(cuò)誤由，可得到，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由以上可得：，，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使得成立的最大自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.10.BCD【詳解】設(shè)，由于橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，所以，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：所以，由余弦定理得，，，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.BCD【詳解】對(duì)于，選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則則因?yàn)樗?，故，則的取值范圍為，故A不正確；對(duì)于B，在正方體中，平面平面顯然成立.故B正確；對(duì)于C，如圖1，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，則由，即，故點(diǎn)是線段上一點(diǎn).將平面沿展開(kāi)至與平面共面，此時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)（如圖2），取得最小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖3，連接并與交于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，由三邊長(zhǎng)均為，故此時(shí)截面面積最大值為.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖4，延長(zhǎng)異與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確，故選BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.1513.【詳解】由，可得，所以①，且，又可設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得：，，故，從而②，結(jié)合①②可得從而.故答案為：14.或【詳解】當(dāng)時(shí)，，由可得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，或.若，則由可得，因，故無(wú)解；若，則由可得，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，因區(qū)間的長(zhǎng)度至少為，故，而顯然不成立，故舍去；綜上，a的值為或.故答案為：或.四?解答題：本題共5小題，共77分.15.解：（1）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)為：由頻率分布直方圖得內(nèi)，，解得中位數(shù)（分）.（2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)有家其中考核成績(jī)?cè)趦?nèi)的企業(yè)有家，由題意可知，的可能取值為，，的分布列為：012（3）由題意得，（家）估計(jì)該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有11家.16.解：（1）的定義域?yàn)?，令，又，，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得其中，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令在，若恒成立，符合題意.，當(dāng)恒成立，令則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，若，同理恒成立，由知，當(dāng)所以不存在滿足條件的.綜上所述：法二：.令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立，令，則恒成立；又①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹愠闪?，所以解得綜上，.17.解：（1）設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，為中點(diǎn)，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又面，又面，又面，所以又平面，平面平面平面；為中點(diǎn)，，即，又平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，.（2）為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，；設(shè)平面的法向量，則則令，解得：，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則，，當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，，點(diǎn)到平面的距離.18.解：（1）由題知，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由得又，得又，得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，又因?yàn)?，取，所以，所以切線的斜率，所以切線方程為由，可得，假設(shè)，所以切線方程為：，即，所以切線的方程為，令得